（辅导班）2026年新高三数学暑假讲义(基础班)第07讲 三角函数的图象与性质（原卷版）

第页第07讲三角函数的图象与性质知识点一：用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（1）在正弦函数，的图象中，五个关键点是：．（2）在余弦函数，的图象中，五个关键点是：．知识点二：正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中）函数图象定义域值域周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间递减区间无对称中心对称轴方程无注：正（余）弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是；正（余）弦曲线相邻两个对称中心的距离是；正（余）弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离；知识点三：与的图像与性质（1）最小正周期：．（2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A，A]．（3）最值假设．①对于，②对于，（4）对称轴与对称中心．假设．①对于，②对于，正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置．（5）单调性．假设．①对于，②对于，（6）平移与伸缩由函数的图像变换为函数的图像的步骤；方法一：．先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形．方法二：．先周期变换，后相位变换，再振幅变换．注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少．【解题方法总结】关于三角函数对称的几个重要结论；（1）函数的对称轴为，对称中心为；（2）函数的对称轴为，对称中心为；（3）函数函数无对称轴，对称中心为；（4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得，即对称中心为．（5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为题型一：函数的奇偶性【例题1-1】使函数为偶函数，则的一个值可以是（

）A．B．C．D．【例题1-2】函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，若函数是偶函数，则（

）A．B．C．D．【变式1-1】已知的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，且的图象关于y轴对称，则的最小值为（

）A．B．C．D．【变式1-2】函数是（

）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数题型二：函数的周期性【例题2-1】将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若对满足的，总有的最小值等于，则（

）A．B．C．D．【例题2-2】函数对于，都有，则的最小值为（

）.A．B．C．D．【变式2-1】设函数在的图象大致如图所示，则的最小正周期为（

）A．B．C．D．【变式2-2】函数的最小正周期是______．【变式2-3】已知函数的最小正周期是，则______.题型三：函数的单调性【例题3-1】已知函数，则下列说法错误的是（

）A．的值域为B．的单调递减区间为C．为奇函数，D．不等式的解集为【例题3-2】已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（

）A．B．C．不等式的解集为D．将的图象向右平移个单位长度后所得函数的图象在上单调递增【变式3-1】将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数（

）A．在区间上单调递减B．在区间上单调递减C．在区间上单调递增D．在区间上单调递增【变式3-2】已知函数，则（

）A．在上单调递减B．在上单调递增C．在上单调递减D．在上单调递增题型四：函数的对称性（对称轴、对称中心）【例题4-1】已知函数，若将的图像向右平移个单位长度后图象关于轴对称，则实数的最小值为（

）A．B．C．D．【例题4-2】已知，函数，的最小正周期为，将的图像向左平移个单位长度，所得图像关于轴对称，则的值是______．【变式4-1】已知函数，若，且直线为图象的一条对称轴，则的最小值为______．【变式4-2】将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象.若函数的图象关于点对称，则的最小值为______.题型五：函数的定义域、值域（最值）【例题5-1】实数满足，则的范围是___________.【例题5-2】的最小值为__________.【变式5-1】若关于的方程在上有实数解，则实数的取值范围是_____.【变式5-2】函数的最大值为______．题型六：三角函数性质的综合【例题6-1】已知函数的部分图象如图所示.

(1)求的解析式；(2)将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在内的零点.【变式6-1】，，，(1)若，求的值；(2)若函数的最小正周期为①求的值；②当时，对任意，不等式恒成立，求的取值范围第07讲三角函数的图象与性质1．将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则下列正确的是（

）A．直线是图像的一条对称轴B．的最小正周期为C．的图像关于点对称D．在上单调递增2．函数图象的对称轴可以是（

）A．直线B．直线C．直线D．直线3．将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在区间上的值域为（

）A．B．C．D．4．已知函数，若对于任意实数x，都有，则的最小值为（

）A．2B．C．4D．85．在下列四个函数中，在定义域内单调递增的有（

）A．B．C．D．6．已知函数，，将函数的图象经过下列变换可以与的图象重合的是（

）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位7．已知函数，则关于的下列结论不正确的是（

）A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称C．在区间上是单调递减函数D．将的图象向左平移个单位即可得到的图象8．若函数为奇函数，则的最小值为______.9．已知，当（其中）时，有且只有一个解