（辅导班）2026年新高三数学暑假讲义(基础班)第08讲 解三角形（解析版）

第⑤在中，内角成等差数列．知识点三：实际应用（1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角（如图①）．（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）．（3）方向角：相对于某一正方向的水平角．（1）北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向（如图③）．（2）北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向．（3）南偏西等其他方向角类似．（4）坡角与坡度（1）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角θ为坡角）．（2）坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，i为坡度）．坡度又称为坡比．【解题方法总结】1、方法技巧：解三角形多解情况在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式解的个数一解两解一解一解无解2、在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：（1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；（2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；（3）若式子含有的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；（4）代数变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到．3、三角形中的射影定理在中，；；．题型一：正弦定理的应用【例题1-1】在中，角所对的边分别为，若，则（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，因为，所以．故选：C.【例题1-2】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若且，，则（

）A．B．C．8D．4【答案】D【解析】在中，由可得，即所以，因为，所以，且，所以，又，可得，由正弦定理可得．故选：D.【变式1-1】在中，内角的对边分别是，若，且，则（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意结合正弦定理可得，即，整理可得，由于，故，据此可得，则.故选：C.【变式1-2】在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．若，则的值为（

）A．B．C．1D．【答案】A【解析】依题意，由正弦定理得.故选：A【解题方法总结】（1）已知两角及一边求解三角形；（2）已知两边一对角；．（3）两边一对角，求第三边．题型二：余弦定理的应用【例题2-1】已知的内角所对的边分别为满足且，则（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题，,又，，，故选：A.【例题2-2】在中，角的对边分别为，若，则（

）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】由正弦定理，得，又，所以，所以，因为，所以或，故选：C.【变式2-1】设△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，由正弦定理有，根据余弦定理有，且，故有，即，又，所以.故选：D.【变式2-2】在中，角的对边分别为，且，则的值为（

）A．1B．C．D．2【答案】A【解析】因为，所以，由正弦定理与余弦定理得，化简得.故选：A【解题方法总结】（1）已知两边一夹角或两边及一对角，求第三边．（2）已知三边求角或已知三边判断三角形的形状，先求最大角的余弦值，若余弦值题型三：判断三角形的形状【例题3-1】在中内角的对边分别为，若，则的形状为（

）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】由正弦定理，余弦定理及得，，即，则，即或为等腰三角形或直角三角形．故选：D.【例题3-2】在中，若，则的形状为（

）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】由正弦定理，以及二倍角公式可知，,即，整理为，即，得，或,所以的形状为等腰三角形或直角三角形.故选：D【变式3-1】已知的三个内角所对的边分别为．若，则该三角形的形状一定是（

）A．钝角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．锐角三角形【答案】C【解析】因为，由正弦定理（为外接圆的直径），可得，所以．又因为，所以．即为等腰三角形.故选：C【变式3-2】设的内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为（

）A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等边三角形【答案】C【解析】已知等式利用正弦定理化简得：，整理得：，即，，即，，，，，则或，即为等腰三角形或直角三角形．故选：C．【解题方法总结】（1）求最大角的余弦，判断是锐角、直角还是钝角三角形．（2）用正弦定理或余弦定理把条件的边和角都统一成边或角，判断是等腰、等边还是直角三角形．题型四：正、余弦定理与的综合【例题4-1】锐角是单位圆的内接三角形，角的对边分别为，且，则等于（

）A．2B．C．D．1【答案】C【解析】由，得，由余弦定理，可得，又由正弦定理，可得，所以，得，又，所以，所以.又，所以，故选：C【例题4-2】已知的三个角，，的对边分别为，，，且．(1)若，求；(2)求的值．【解析】（1）若，则．因为，所以，，整理得．解得（舍），，因为，所以．（2）因为．所以，整理得由正弦定理得，由余弦定理得，即，所以．【变式4-1】在中，，则（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以由正弦定理得，即，则，故，又，所以.故选：B.【变式4-2】在中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若的面积是，则（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】由余弦定理可得：由条件及正弦定理可得：，所以，则．故选：A【解题方法总结】先利用平面向量的有关知识如向量数量积将向量问题转化为三角函数形式，再利用三角函数转化求解．题型五：解三角形的实际应用【例题5-1】山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标（如图1），其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“”完美嵌入其中，寓意无限未知､无限发展､无限可能和无限的科技创新.如图2，为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间的距离，无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平方向飞行600米到点D，此时测得点A和点B的俯角分别为45°和60°（A，B，C，D在同一铅垂面内），则A，B两点之间的距离为______米.【答案】【解析】由题意，，所以，所以在中，，，又，所以，在中，由正弦定理得，，所以，在中，，由余弦定理得，，所以.故答案为：【变式5-1】如图，为了测量两点间的距离，选取同一平面上的，两点，测出四边形各边的长度（单位：km）：，，，，且四点共圆，则的长为_________.【答案】7【解析】∵四点共圆，圆内接四边形的对角和为﹒∴，∴由余弦定理可得，，∵，即，∴,解得,故答案为：7【变式5-2】山西应县木塔（如图1）是世界上现存最古老、最高大的木塔，是中国古建筑中的瑰宝，是世界木结构建筑的典范．如图2，某校数学兴趣小组为测量木塔的高度，在木塔的附近找到一建筑物，高为米，塔顶在地面上的射影为，在地面上再确定一点（，，三点共线），测得约为57米，在点处测得塔顶的仰角分别为30°和60°，则该小组估算的木塔的高度为__________米．【答案】【解析】如图，过点A作作垂线，垂足为，由题意可知，，米，设米，则米，米，∵，则，解得，所以估算木塔的高度为米．故答案为：.【解题方法总结】根据题意画出图形，将题设已知、未知显示在图形中，建立已知、未知关系，利用三角知识求解．题型六：倍角关系【例题6-1】记的内角的对边分别为，已知.(1)证明：；(2)若，求的面积.【解析】（1）证明：由及正弦定理得：，整理得，.因为，所以，所以或，所以或（舍），所以.（2）由及余弦定理得:，整理得，又因为，可解得，则，所以△是直角三角形，所以△的面积为.【例题6-2】已知分别是的角的对边，.(1)求证：；(2)求的取值范围.【解析】（1）由正弦定理及知，，由余弦定理得，，或..（2）由（1）和正弦定理得，，，设，则，则，设，则在上单调递增，则，即.的取值范围为.【变式6-1】已知分别为锐角ABC内角的对边，．(1)证明：；(2)求的取值范围．【解析】（1）∵．∴，∴，因为为锐角三角形内角，所以，，所以，所以，即；（2）由题意得，解得，所以，由正弦定理得，因为函数在上单调递减，所以当时，，所以当时，，所以，∴的取值范围为．【变式6-2】已知中角的对边分别为，．(1)求；(2)若，且的面积为，求周长．【解析】（1）由和正弦定理可得，，因为，所以，所以，，，，；（2），，又，，，的周长为.【解题方法总结】解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．第08讲解三角形1．在中，若，则一定是（

）A．正三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等腰三角形【答案】D【解析】由及余弦定理得：，即.故选：D2．在中，角的对边分别是，若，则（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】由得，所以，由于,故选：A3．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，由，得，所以.故选：C.4．抚松县第一中学全体师生为庆祝2023年高考圆梦成功，选定大方鼎雕塑为吉祥物，为高考鼎立助威.若在处分别测得雕塑最高点的仰角为和，且，则该雕塑的高度约为（

）（参考数据）

A．4.93B．5.076C．6.693D．7.177【答案】A【解析】在中，结合图形可知，，由正弦定理得：，在中，；故选：A5．在中，若，，则（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，由正弦定理可得，且，由余弦定理可得：.故选：C．

6．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设的三个内角所对的边分别为，，，面积为S，则“三斜求积”公式为，若，，则用“三斜求积”公式求得的面积为（

）A．B．C．D．1【答案】A【解析】由得，由得，故，股癣：A7．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，则（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】由及正弦定理，可得．由，可得．又，∴．又，解得，则，∴B为钝角，C为锐角．∴，．故，∴．故选:A.8．在锐角中，，，若在上的投影长等于的外接圆半径R，则R=______.【答案】2【解析】由题意得，，，即，即，因为，所以，故，故.故答案为：29．在中，已知，则角的大小为__________.【答案】【解析】因为，由正弦定理得