（辅导班）2026年新高三数学暑假讲义(基础班)第12讲 等比数列及其前n项和（原卷版）

、第页第12讲等比数列及其前n项和知识点一．等比数列的有关概念（1）定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数（不为零），那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示，定义的表达式为．（2）等比中项：如果，，成等比数列，那么叫做与的等比中项．即是与的等比中项⇔，，成等比数列⇒．知识点二．等比数列的有关公式（1）等比数列的通项公式设等比数列的首项为，公比为，则它的通项公式．推广形式：（2）等比数列的前n项和公式等比数列的公比为，其前项和为注①等比数列的前项和公式有两种形式，在求等比数列的前项和时，首先要判断公比是否为1，再由的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比是否为1时，要分与两种情况讨论求解．②已知（项数），则利用求解；已知，则利用求解．③，为关于的指数型函数，且系数与常数互为相反数．知识点三．等比数列的性质（1）等比中项的推广．若时，则，特别地，当时，．（2）①设为等比数列，则（为非零常数），，仍为等比数列．②设与为等比数列，则也为等比数列．（3）等比数列的单调性（等比数列的单调性由首项与公比决定）．当或时，为递增数列；当或时，为递减数列．（4）其他衍生等比数列．若已知等比数列，公比为，前项和为，则：①等间距抽取为等比数列，公比为．②等长度截取为等比数列，公比为（当时，不为偶数）．【解题方法总结】（1）若，则．（2）若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列．（3）在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即为等比数列，公比为．（4）公比不为－1的等比数列的前项和为，则，，仍成等比数列，其公比为．（5）为等比数列，若，则成等比数列．（6）当，时，是成等比数列的充要条件，此时．（7）有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方．（8）若为正项等比数列，则为等差数列．（9）若为等差数列，则为等比数列．（10）若既是等差数列又是等比数列是非零常数列．题型一：等比数列的基本运算【例题1-1】在等比数列中，，，则等于（

）A．9 B．72 C．9或70 D．9或【例题1-2】已知递增的等比数列中，前3项的和为7，前3项的积为8，则的值为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【变式1-1】在等比数列中，若，，则公比q应为（

）A． B． C． D．－2【变式1-2】设等比数列的各项均为正数，前n项和，若，，则（

）A． B． C．15 D．40【变式1-3】已知正项等比数列{}的前n项和为，若，则=（

）A．64 B．81 C．128 D．192题型二：等比数列的判定与证明【例题2-1】已知数列和，，，.(1)求证数列是等比数列；(2)求数列的前项和.【变式2-1】数列的前和满足，(1)求的值及与的关系；(2)求证：是等比数列，并求出的通项公式.【变式2-2】已知数列满足．(1)证明是等比数列；(2)若，求的前项和．题型三：等比数列项的性质应用【例题3-1】已知等比数列的前n项和为，则__________.【例题3-2】若m，n是函数的两个不同零点，且m，n，这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则__________.【变式3-1】已知等比数列的公比，该数列前9项的乘积为1，则______．【变式3-2】在正项等比数列中，与是方程的两个根，则_________.【变式3-3】在和之间插入三个数，使这五个数组成正项等比数列，则中间三个数的积等于_____________.【变式3-4】若数列是等比数列，且，则__________．【变式3-5】已知等比数列的首项为，且，则__________.题型四：等比数列前n项和的性质【例题4-1】已知数列为等比数列，为其前n项和.若，，则的值为_______.【例题4-2】已知等比数列的前项和为，若，，则______.【变式4-1】已知是正项等比数列的前n项和，，则的最小值为______．【变式4-2】已知数列是等比数列，是其前项和，且，，则______.【变式4-3】已知等比数列的前项和为，，，则___________.【变式4-4】已知等比数列的前项和为，若，，则的值为_______题型五：求数列的通项【例题5-1】记数列的前n项和为，已知向量，，若，且，则通项为________．【变式5-1】已知数列的前项和为且满足，则数列的通项_______．【变式5-2】数列的前项和为，则数列的通项___________．题型六：奇偶项求和问题的讨论【例题6-1】已知数列满足，且(1)设，求数列的通项公式；(2)设数列的前n项和为，求使得不等式成立的n的最小值．【例题6-2】已知数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式;(2)若，求数列的前项和．【变式6-1】记为等差数列{}的前n项和，已知，数列{}满足.(1)求数列{}与数列{}的通项公式；(2)数列{}满足，n为偶数，求{}前2n项和.题型七：等差数列与等比数列的综合应用【例题7-1】在等差数列中，．(1)求等差数列的通项公式；(2)设数列是首项为1，公比为2的等比数列，求数列的前项和．【变式7-1】公差不为0的等差数列中，，且成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)若为等差数列的前项和，求使成立的的最大值.【变式7-2】设数列的前n项和为，，，.(1)证明：为等差数列；(2)设，在和之间插入n个数，使这个数构成公差为的等差数列，求的前n项和.第12讲等比数列及其前n项和1．设等比数列的前项和为，已知，，则（

）A． B． C． D．2．在各项均为正数的等比数列中，，，则使得成立的n的最小值为（

）A．7 B．8 C．9 D．103．在等比数列中，，，则（

）A．3 B．6 C．9 D．184．已知公比不为1的等比数列满足，则（

）A．40 B．81 C．121 D．1565．数列{an}满足，，数列的前项积为，则（

）A．B．C．D．6．在等比数列中，，则（

）A．4 B．8 C．32 D．647．已知各项都为正数的等比数列，满足，若存在两项，，使得，则最小值为（

）A．2 B． C． D．18．若数列为等比数列，则_______．9．设等