尺规作图讲义

第1课时定义及三个基本轨迹

【要点归纳】

1.点的轨迹：把符合某些条件的所有点的集合.

2.三个基本轨迹

（1）和一条线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线.

（2）在一个角的内部（包拈顶点）旦到这个角两边的距离相等的点的轨迹是这个角的平分线.

（3）到定点的距离等于定长的点的轨迹是以这个定点为圆心，定长为半径的圆.

【疑难分析】

例已知线段AB.作图并说明符合下列条件的点的轨迹（不要求证明）：

（1）以线段AB为底边的等腰三角形的顶点C的轨迹；

（2）以线段AB为腰的等腰三角形的顶点C的轨迹；

（3）设AB=2厘米，到点A、B的距离之差等于2厘米的点的轨迹.

分析在（1）中,AC=BC,可看出点C到两定点A、B的距离相等，因此，点C一定在线段AB

的垂直平分线上，而AB的中点不能为顶点C,要舍去.

在⑵中,AC=AB或BC=AB,可以看出点C到定点A（或B）的距离等于定长（AB的长）.因

此，点C在以AB为半径的圆上，但直线AB与圆的交点除外.

在（3）中,由于三角形的任意两边之和大于第三边而得任意两边之差小于笫三边，所以满足

条件的点一定在直线AB上，而AB=2厘米,所以满足条件的点在AB（或BA）的延长线上.

解（1）所求的轨迹是AB的垂直平分线（AB的中点除外）（如图19-26）.

（2）所求的轨迹是以分别以点A、B为圆心，AB为半径的两个圆（直线AB与圆的交点

除外）（如图19-27）.

（3）所求的轨迹是线段AB的延长线，线段BA的延长线以及A、B两点（如图19-28）.

图19-26

图19-27

注意求点的轨迹时，要注意以下两点：①不能少，例如上题（2）中不能漏掉以点B为圆

心，AB为半径的圆；②不能含杂质，例如上题（1）中，AB的中点除外.

【基础训练】

一、填空题：

I.经过点A、B的圆的圆心的轨迹是：

2.在NAOB的内部，到NAOB两边距离相等的点的轨迹是:

3.到点A的距离为2厘米的点的轨迹是；

4.已知AB=2厘米,则到A、B两点的距离之和等于2厘米的点的轨迹是；

二、说出下列点的轨迹是什么图形，并画出图形：

5.如图，已知直线AB、CD交于点0,说出到直线AB、CD的距/

离相等的点的轨迹.C/

6.已知点P和线段a,说出经过点P,且半径等于a的圆的圆心的第5题

轨迹.

第6题

7.已知两定点M、N,说出经过点M、N的圆的圆心的轨迹.

8.已知线段AB,说出以线段AB为底边的等腰三角形的两底角平分线交点的轨迹.

笫8题

【拓展训练】

9.作图并说明符合下列条件的点的轨迹：

在平面直角坐标系内，到坐标轴的距离相等的点轨迹.

第2课时交轨法作图

【要点归纳】

交轨法：先找出符合一部分作图要求的点的轨迹，再找出符合另一部分作图要求的点的轨迹,

然后得出这两个轨迹的交点.这种利用轨迹相交进行作图的方法叫做交轨法.

【疑难分析】

例1如图19-29,己知线段a,ZAOB及定点M,在/AOB

的内部求作点P,使点P到NAOB的两边相等，且

PM=a.

分析由点P到边OA、0B的距离相等，可知点P在NAOB的

图19-29

平分线上；由PM=a可知点P在以点M为圆心、线段a为半径

的圆上，所以点P在NAOB的平分线与这个圆的交点处.

作法如图如图19-30.

1.作NAOB的平分线.

2.以点M为圆心、线段a为半径作圆，交作NAOB的平

分线于点Pi、P2.

则点Pl、P2就是所求作的点.

说明(1)当点M到NAOB的平分线的距离d>a时，无交点;

当点M到NAOB的平分线的距离d=a时,有唯一交点；当点M到NAOB的平分线的距离d<a

时,有两个交点.

(2)用交轨法作图时，凡是满足条件的图形作出，不要遗漏.m

例2如图19-30,已知线段a、m及Na,求作AABC,

a

使BC=a,ZABC=Za,BC边上的中线长AM=m.

分析假设AABC已作出，则BC=a,可以确定点B、C,

由NABC=/a可知点A在射线BD上，以中线AM=m,点

又在到定点M的距离为m为圆上.

作法1.作BC=a;

2.作NDBC=/a；

3.取线段BC的中点M

4.以M为圆心,m为半径作圆,交射线BD于线A;

图19-31

5.联结AC;

则△ABC就是所求作的三角形（如图19-31）.

【基础训练】

一、填空题

1.和已知线段的两端点距离相等，且到已知点的距离等于定长的点最多有个

2.已知△ABC,到三个顶点的距离相等的点有人.

3.已知△ABC,到三边的距离相等的点有个.

二、作图题B/

4.如图，已知NAOB,直线/,在NAOB内部求作一点P,

使点P到OA、0B的距离相等，且点P在直线./上./'''\

第4题

5.如图，已知NAOB,点M,在NAOB内部求作点P,使点

P至IJOA、OB的距离相等，且OP=MP.

第5题

6.如图，直线k上找到一点P,使P到直线4的

距离相等.

第6题

7.如图，已知线段a、b.

求作等腰三角形,使其底

边长为a,底边上的中线上为b.

第7题

8.如图，已知线段a、b及Na,求作△ABC,使N