大学数学：微积分练习题

《微积分(1)》练习题

单项选择题

1.设广(%)存在，则下列等式成立的有()

/(x0-Av)-/(x0)/(x0-Ar)-/(x0)

A.lim=/(与)B.lim=一/(%)

Ar->0Ar->0

/(XO+2/7)-/(.¥O)/(/+2/7)-

C.lim=/'(%)D.lim

ft->0h/r->0h

2.下列极限不存在的有［)

A.limxsin-Vlim6-21

XTfX+1

C.limexD.limWil

XTOf2x+x

3.设/(x)的一个原函数是e-2)则/(x)=()

A.-2e~2xB.e~2xC.4e~2xD.-2xe~2x

2y［x,0<X<1

4.函数/(X)=<1,X=\在［0,+8)上的间断点工=1为()间断点。

1+X,X>1

A.跳跃间断点；B.无穷间断点；

C.可去间断点；D.振荡间断点

5.设函数/(x)在卜,以上有定义，在(。/)内可导，则下列结论成立的有()

A.当/(〃)/⑹<0时，至少存在一点4£(〃/),使/6)=0;

B.对任何有呵［/(6-/6)］=0；

C.当/(〃)=/⑹时，至少存在一点二£(〃,办使广⑥=0;

D.至少存在一点4£(。力)，使/0)—/(〃)=/'(4X〃一4);

6.已知f(x)的导数在x=4处连续，若=则下列结论成立的有()

fx-a

A.x=4是/(x)的极小值点;B.X=4是/(A)的极大值点;

C.(aj(a))是曲线)，=/(元)的拐点;

D.x=〃不是/(x)的极值点，(。,/(〃))也不是曲线丁=/(工)的拐点；

二.填空：

1.设)，=/(arcsin，〕，/可微，则)，'(x)=_____________________

kx)

2.若)，=3/—2/+x—3,则)，⑹二

3.过原点(0,1)作曲线y=/、的切线，则切线方程为

4.曲线)，=幺3_2的水平渐近线方程为

厂

铅垂渐近线方程为_______________________________

5.设;(lnx)=l+x,则:(x)=/W=

二.计算题：

(1)lim「7(2)

Ix~+2x-3-八x)

(3).约5(4)y=[in(1-2x)(求dy

>T°xsin3x

(5)exy4-y3-5x=0

四.试确定”，b,使函数/(x)=[""smx)+"+2,在工=0处连续且可导。

—eaxx<()

五.试证明不等式：当x>l时，e-x<ex<1(xex+e)

六.设产(x)/⑴一/⑷,(x>a),其中/(x)在鼠”)上连续，/〃⑴在(凡”)内存

x-a

在且大于零，求证产⑴在(4,+8)内单调递增。

《微积分》练习题参考答案

七.单项选择题

1.(B)2.(C)3.(A)4.(C)5.(B)6.(B)

八.填空：(每小题3分，共15分)

1(\\

1.-----.frarcsin—

\x\ylx2-]IX)

2.y⑹=0

3.y=lx+\

4.y=-2»x=0

5./'(x)=1+c',/(x)=x+ex+c

r2

三，计算题：(1)lim---------

7r+2x-3

Ix2+2x-3

2x

=vhm-------

xf2x+2

~2

ln(l+x2)

(3)lim----------(4)y=[in(1-2x)『求dy

ioxsin3x

]im蚂3办=2[m("2班士・(-2皿

jcsin3x

二4M(1-2刈公

x3x31—2x

⑸^+/-5x=0求穿L

e"(y+孙')+3y2y_5=0

,5-y*

=>y=­；--------

3)产+叱

又x=o=>y=-1

[_,5-xvv

"_3y2+3x=o=2

)，=-i

九.试确定“，〃，使函数/(x)[""s"「)+"+2,X>()

在x=0处连续且可导。

[el-1,x<0

(8分)

解：/(()+0)=lim以1+sinx)+a+2]=n+b+2

.v->04

/(0-0)=limeat-ll=0，函数/(x)在X=0处连续/(O+o)=/(0-0)

x->0"

a+〃+2=(),(1)

/J(O)=lim)史亩±〃±2]二}土伫2]=/?

+x~>o+x

z.,/\*-1-[a+h+2]e<LX—1

j_(n0)=lrim----------------------=lim-------=a

r->0-xI。X

函数/(x)在x=0处可导/：(0)=£(0),故a=〃(2)

由(1)(2)知。=。=一1

十.试证明不等式：当/>1时，ex<ex<^(xex+e)(8分)

证：(法一)设/re[l,x]则由拉格朗日中值定理有

e(x-l)<e'-e=e4(x-\)<ex(x-\)je(l,x)

整理得：e・xve'<g(xe'+e)

法二：设/(<)="-纣

f\x)=ex-e>0(x>l)故/(x)="-ex在1时，为增函数,

/(.r)=ex—ex>/(l)=0,即ex>ex

设/(x)="-^-(xex+e)

f\x)=ex-i(ex+.rev)=ev(1-x)<0(x>l)故f(x)=ex-^(xex+e]在

戈>1时，为减函数，

/(x)=ex--{ex+xex)</(l)=0,即e'<-(xex+e)

22

综上，ex<ex<—（xex+e）

十一.设尸（1）=F（"）A"）（X〉4）,其中f（x）在［。,48）上连续，/"（x）在（凡行）内

x-a

存在且大于零，求证Rx）在（。,内）内单调递增。（5分）

/（或