大学概率论与数理统计公式全集

大学概率论与数理统计公式全集

一、随机事件和概率

1、随机事件及其概率

运算律名称表达式

交换律A+B=8+AAB=BA

结合律(A+B)+C=A+(B+C)=A-t-B+C(AB)C=A(BC)=ABC

分配律A(B±O=AB±ACA+(BC)=(A+B)(A+C)

德摩根律A+B=A13AG=A+B

2、概率的定义及其计算

公式名称公式表达式

求逆公式P(A)=\-P(A)

加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

条件概率公式产邮)=逊

1P(A)

乘法公式P(AB)=P(A)P(小)P(AB)=P(B)P(A|B)

n

全概率公式P（8）=2尸代）户（町）

贝叶斯公式

P(A/网—―

（逆概率公式）1=1

伯努利概型公式2伏)=d-(1-P尸,u,…〃

两件事件相互独立P(AB)=P(A)P⑶；P(B\A)=P(5)；尸(@A)=尸(平)；尸(叫4)+P(率)=1；

相应公式0(取)+P(Bp)=l

二、随机变量及其分布

1、分布函数性质

2、离散型随机变量

分布名称分布律

0-1分布3(1,p)P(X=&)=/(1-〃尸，2=0,1

二项分布8(〃,〃)P1x=k)=。3八1一〃)"“，&=0,1,…,〃

4A

泊松分布尸⑷p(x=k)=e_A一，&=0,1,2,…

k\

几何分布G(p)P(X=k)=(l—p)kTp,2=0,12…

超几何分布P(X=k)="心&=/,/+1,…,min(〃,M)

/

3、连续型随机变量

分布名称密度函数分布函数

1,O.x<a

-----,a<x<bx-a/

均匀分布/(x)=•b-aF(x)=-----,a<x<bt

b-a

.0,其他

%-5x>0F(x)=(0,x<0

指数分布EQ)f(x)=«

.0,其他1-产，X>0

_(丁一〃)2X(，-")2

正态分布N(〃Q2)f[x}=-----e2b-co<x<+ooF(x)='.___'Pe2/讥

J24(TJ2乃CTJ-00

标准正态分布

1--

@(x)=j—e2-oo<x<-KOF(x)=.___\e21dl

N(0,l)飞2冗j27r(TJy

三、多维随机变量及其分布

1、离散型二维随机变量边缘分布

2、离散型二维随机变量条件分布

3、连续型二维随机变量(X,V)的联合分布函数八“小"，

J-COJ-00

4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数

边缘分布函数：尸x(x)=「刃如小，边缘密J度-8J函—8数：/x(x)=J「—87(xj)八

5、二维随机变量的条件分布

四、随机变量的数字特征

1、数学期望

离散型随机变量：E(X)-皂工内卜连续型随机变量：E(X)=J：W”必

*=1一”

2、数学期望的性质

⑴假设XY相互独立那么：£(xy)=£(x)£(y)

3^方差:D(X)=E(X2)-E:(X)

4、方差的性质

(1)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cm>(X,Y)假设XY相互独立那么：D(X±X)=0(X)4-D(D

5、协方差：G)v(X,Y)=E(X,Y)-E(X)E(Y)假设XY相互独立那么：G)v(X,Y)=0

6、相关系数：(X,y)=,心丫)假设XY相互独立那么：/灯=0即*丫不

相关

7、协方差和相关系数的性质

8、常见数学分布的期望和方差

分布数学期望方差

0-1分布8(1,0)PP(l-P)

二行分布叩〃/川-/7)

泊松分布P(Q2

_1_1一〃

几何分布G(p)

PP~

MM八M、N-m

超几何分布n一n—(1------)----------

NNNN-I

a+b♦02

均匀分布U(ah)

212

1E态分布N(〃02)b

1

指数分布EQ)I7

五、大数定律和中心极限定理

1、切比雪夫不等式

假设E(X)=//,D(X)=o-2,对于任意S>0有P{|X-E(X)|>^}<^^-或

2、大数定律：假设%…先相互独立且〃-8时,If£(%,.)

nrnY

1=1/=i

⑴假设X|…X”相互独立，E(Xj)=也、以X且那么：

1-A15^

片>',—P^一z£(为),(〃78)

"i=l〃/■!

⑵假设天...X〃相互独立同分布，月.£(X,)=〃,那么当…8时：L之

3、中心极限定理

⑴独立同分布的中心极限定理：均值为i方差为M>o的独立同分布时，当

n充分大时有：

⑵拉普拉斯定理：随机变量〃.(〃=L2…)〜仇〃,〃)那么对任意x有：

>,X«-n/t

(3)近似计算：P(a<YX,<b)=P中<、一<与竺卜①(与竺)-1)(与经)

Iyjncyy/ncry/ncryjncr

六、数理统计

1、总体和样本

总体X的分布函数F(x)样本(X1,X2…X")的联合分布为厂(阳,%2,••%”)=代bg)

£=1

2、统计量

⑴样本平均值：亍=充>(2)样本方差：S2=±£(X「方2==£(xj&2)

r=l/=1i=\

⑶样本标准差：S^-LpX^X)2(4)样本攵阶原点距：W*1,2…

⑸样本左阶中心距：Bk=Mk=-Y(X,-X)*^=2,3-

(6)次序统计量:设样本(X“2…X”)的观察值(zf)，将和巧…/按照由小到

大的次序重新排列，得到飞)£、)《•..«”),记取值为文⑴的样本分量为X⑴，那么

称X([)KX⑵KYX⑺为样本因冬…X〃)的次序统计量。X(|)=min(X],X2…X〃)为最小次

序统计量；Xw=max(X1,X2…X")为最大次序统计量。

3、三大抽样分布

(1)/分布：设随机变量九X2…X〃相互独立，且都服从标准正态分布MOJ)，那

么随机变量/=X：+X§+…X：所服从的分布称为自由度为〃的/分布，记为

/〜/(〃)

性质：①E[r(n)]=n.D[r(n)]=2n②设X〜/(㈤丫〜Z2®且相互独立,那么

X+V〜/2(in+n)

(2*分布：设随机变量X-MO,I),Y〜/⑺，且X与Y独立,那么随机变量：丁=占

所服从的分布称为自由度的〃的，分布，记为7~«〃)

性质：©E[t(n)]=0,D[t(n)]=—.(n>2)@liml(n)=^((),1)=-j=e

n-2J24

⑶厂分布：设随机变量八/(〃)丫~/(叱)，且。与vz独立，那么随机变量

=■所服从的分布称为自由度(〃],〃,)的尸分布，记为F〜

V/n2

性质：设X〜F(m,n)，那么,〜F(n,m)

A

七、参