中南大材料结构分析学教案第3章 X射线衍射的几何原理

第三章X射线衍射的几何原理

如图，一束波λ照射空间任意两阵点A、B，则产生散射，在空间某方向总有干涉加强的波程差：δ=nλ(n=0，1，2，……)相差：φ=n2π波阵面：若δ=AM-BM=nλ或φ=干涉加强若δ=（2n+1）λ或φ=（2n+1）π削弱为0,干涉加强——即衍射.第一节布拉格方程在推导布拉格方程之前，把晶体看作由许多平行的原子面堆积而成，衍射线看作是原子面对入射线的反射，即X-ray照射到的原子面中所有原子的散射波在原子面反射方向上的相位是相同的，是干涉加强的方向。假定在参与散射的晶体中：①晶面完整、平直②入射线平行，且为单色X-ray（波长一定）1.1布拉格定律的推证如前所述，当X射线照射到晶体上时，各原子周围的电子将产生相干散射和非相干散射，相干散射线会产生干涉，在相邻散射波波程差为波长整数倍的方向上，将出现X-ray衍射线。图2-1布拉格反射1.1.1一层原子面上散射X-ray的干涉如图2-1，X-ray以θ角入射到原子面A并以β角散射时，相距为a的任意两原子P、K的散射X射线的光程差为：δ=QK-PR=a(cosθ-cosβ)(1)当δ=nλ时，在β方向干涉加强假定原子面上所有原子的散射线同位相，即δ=0，则a(cosθ-cosβ)=0，θ=β即当入射线与散射角相等时，一层原子面上所有散射波干涉加强。与可见光的反向定律相类似，X-ray从一层原子面呈镜面反射的方向，就是散射线干涉加强的方向：即一层原子面对X-ray的衍射在形式上可看成原子面对入射线的反射。1.1.2相邻原子面的散射波的干涉因X-ray具有强的穿透力，晶体的散射线来自若干层原子面，除同一层原子面的散射线互相干涉外，各原子面的散射线之间还要互相干涉。如图示-1，一束波长λ的X-ray，射到面间距为d的A，B晶面上，当满足2dsinθ=nλ时，产生衍射。1-1`和2-2`的波程差：δ=ML+LN=2dsinθ若δ=nλ则相邻原子面散射波干涉加强——产生衍射即2dsinθ=nλ（n=0,1,2,3,…)此即布拉格方程方程中：d——晶面间距；θ——掠射角或布拉格角（半衍射角）λ——入射线波长2θ——衍射角；n——为整数，称反射级数1.2布拉格方程的讨论1.2.1选择反射X-ray在晶体中的衍射，实质上是晶体中各原子相干散射波之间互相干涉的结果。一束可见光以任意角度投射到镜面上时都可以产生反射，不受条件限制。X-ray从原子面的反射是有选择地，其选择条件为布拉格方程1.2.2产生衍射的限制条件由2dsinθ=nλ，因sinθ≤1考虑n=1（即1级反射）的情况，有——即能产生衍射的限制条件它说明：波长λ的X-ray照射晶体时，只有面间距的晶面才能产生衍射。1.2.3干涉面和干涉指数在上述布拉格方程中，对一定的d、λ，当n不同时，θ不同，所以不能求出d由此引入实用布拉格方程。2dhklsinθ=nλ令，H=nh,K=nk,L=nl得2dHKLsinθ=λ这样，由（hkl）晶面的n级反射，可以看成由面间距为的（HKL）晶面的1级反射，且（hkl）∥（HKL）面间距为dHKL的晶面不一定是晶体中的原子面，而是为了简化布拉格公式而引入的反射面——称为干涉面。（HKL）——称干涉指数。可能有公约数n的晶面指数——广义晶面指数。有2dsinθ=λ——实用布拉格方程即：H=nhK=nkL=nl1.2.4衍射线方向与晶体结构的关系由2dsinθ=λ有波长λ一定时，则θ是d的函数将上述立方、斜方晶系的面间距公式代入布拉格公式，平方，得：第二节衍射矢量方程图2-2衍射矢量平行于反射晶面法线设入射角θ，满足布拉格方程，P为原子面（HKL），N为法线，入射线方向用单位矢量S0表示，衍射线方向用单位矢量S表示，则S-S0称衍射矢量︱S0︱=︱S︱=1——即S0、S为单位矢量则△ABC为等腰矢量△，BC⊥AD有——衍射矢量方程第三节厄瓦尔德（Ewald）作图

3.1原理衍射矢量方程可以用等腰矢量三角形表达，它表明入射线方向、衍射线方向和倒易矢量之间的几何关系。这种关系说明：要使（HKL）晶面发生反射，入射线必须沿一定方向入射，以保证反射线方向的矢量端点恰好落在倒易矢量的端点上，即的端点应落在HKL倒易点上。由于晶体中存在各种方位和各种面间距的晶面，因此当入射线沿一定方位入射时，可能同时有若干束衍射线发生，则可用厄瓦尔德图解法求衍射线束的方向。设有n族面符合反射条件，则可作n个衍射矢量三角形，该三有形以C为顶点，为一公共边，各自的倒易阵点至C≡，它们构成一个球面，称厄瓦尔德球或反射球。3.2作图作晶体的倒易点阵，O*为倒易原点。入射线沿OO*方向入射，且令以O为球心，以为半径画一个球——称反射球。若球面与倒易点P相交，连OP1则有因OO*=OP1=，故△OO*P为与衍射矢量方程图解等效的等腰矢量三角形，OP1是一衍射线方向。同理，P2是落在反射球面上的另一倒易点，OP2是另一衍射线方向。由此可见，当X-ray沿OO*方向入射，所有能发生反射的晶面，其倒易点都应落在以O为球心，以1/λ为半径的球面上，即在球面上的倒易阵点可以反射，不在球面上的倒易阵点一定不可反射，从球心O指向倒易点的方向是相应晶面反射线的方向。以上求衍射线方向的作图法称厄瓦尔德图解。第四节劳埃方程组由衍射矢量方程：劳埃方程组由衍射矢量方程推出，也表