重大计算机在材料工程中的应用课件02材料科学中的数值模拟与计算

第2章材料科学中的数值模拟与计算重庆大学材料学院汤爱涛温度场的模拟计算浓度场的模拟计算2.1温度场的模拟计算导热问题的求解概述导热问题的三种基本方法(1)理论分析法;(2)数值计算法;(3)实验法三种方法的基本求解过程(1)所谓理论分析方法,就是在理论分析的基础上,直接对微分方程在给定的定解条件下进行积分,这样获得的解称之为分析解,或叫理论解;(2)数值计算法,把原来在时间和空间连续的物理量的场,用有限个离散点上的值的集合来代替,通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程,从而获得离散点上被求物理量的值;并称之为数值解;(3)实验法就是在传热学基本理论的指导下,采用对所

研究对象的传热过程所求量的方法

2.1温度场的模拟计算概述（续）三种方法的特点分析法精确解、普遍性、局限性(2)数值法:适应性、成本低(3)实验法:适应性差、成本高分析解法与数值解法的异同点：•

相同点：根本目的是相同的，即确定

T=f(x

，y，z，τ)；•

不同点：数值解法求解的是区域或时间空间坐标系中离散点的温度分布代替连续的温度场；分析解法求解的是连续的温度场的分布特征，而不是分散点的数值。数值解法的实质

对物理问题进行数值解法的基本思路可以概括为：把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如导热物体的温度场等，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物理量的值。该方法称为数值解法。

这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的数值解。2.1温度场的模拟计算概述（续）数值解法:有限差分法(finite-difference)有限元法(finite-element)边界元法(boundary-element)2.1温度场的模拟计算导热问题数值求解的基本思想建立控制方程及定解条件确定节点(区域离散化)建立节点物理量的代数方程设立温度场的迭代初值求解代数方程是否收敛解的分析改进初场

建立控制方程及定解条件确定节点（区域离散化）建立节点物理量的代数方程设立温度场的迭代初值求解代数方程是否收敛解的分析改进初场是否2.1温度场的模拟计算导热方程定解条件初始条件边界条件热物性性参数的处理差分求解应用举例2.1.1导热方程见教材p61~622.1.2定解条件初始条件:求解问题的初始温度场

Tlt=0=T0

Tlt=0=T0(x,y,z)边界条件第一类边界条件:物体边界上的温度分布函数已知第二类边界条件:边界上的热流密度已知第三类边界条件:对流边界条件物体与周围环境介质间对流系数k和介质温度已知2.1.3热物性性参数的处理热物性性参数比热容c,热导率λ,密度ρ处理方法温度变化不大:平均值法温度变化大:”近似值”法建立离散方程的常用方法：(1)Taylor（泰勒）级数展开法；*(2)多项式拟合法；(3)控制容积积分法；(4)控制容积平衡法(也称为热平衡法)泰勒级数展开法根据泰勒级数展开式，用节点(i,j)的温度ti,j来表示节点(i+1,j)而温度ti+1,j用节点(i,j)的温度ti,j来表示节点(i-1,j)的温度ti-1,j将上两式相加可得将上式改写成的表达式，有同样可得：表示未明确写出的级数余项中的ΔX的最低阶数为2

根据导热问题的控制方程(导热微分方程)若△x=△y则有

得2.1.4差分求解稳态导热问题求解非稳态导热问题求解二维稳态导热问题求解划分网格差分方程建立边界条件的处理方程组求解二维矩形域内稳态无内热源，常物性的导热问题例题条件（a）（b）xynm(m,n)MN基本概念：控制容积、网格线、节点、界面线、步长二维矩形域内稳态无内热源，常物性的导热问题

如图（a）所示二维矩形域内无内热源、稳态、常物性的导热问题采用数值解法的步骤如下：

（1）建立控制方程及定解条件

针对图示的导热问题，它的控制方程（即导热微分方程）为：

边界条件对流传热边界条件热流边界条件绝热边界条件给定温度边界条件（2）区域离散化（确立节点）

用一系列与坐标轴平行的网格线把求解区域划分成若干个子区域，用网格线的交点作为需要确定温度值的空间位置，称为节点(结点)

，节点的位置用该节点在两个方向上的标号m，n表示。

相邻两节点间的距离称步长。如图(b)所示。

（3）建立节点物理量的代数方程（离散方程）

节点上物理量的代数方程称离散方程。其过程如下：•

首先划分各节点的类型；•

其次，建立节点离散方程；•

最后，代数方程组的形成。

对节点(m,n)的代数方程，当△x=△y时，有：

边界条件的差分格式对流传热边界条件热流边界条件绝热边界条件给定温度边界条件（4）设立迭代初场

代数方程组的求解方法有直接解法与迭代解法，传热问题的有限差分法中主要采用迭代法。采用迭代法求解时，需对被求的温度场预先设定一个解，这个解称为初场，并在求解过程中不断改进。

（5）求解代数方程组

求解时遇到的问题：

①线性；

②非线性；

③收敛性等。如图（b），除m=1的左边界上各节点的温度已知外，其余(M-1)N个节点均需建立离散方程，共有(M-1)N个方程，则构成一个封闭的代数方程组。1）线性代数方程组：代数方程一经建立，其中各项系数在整个求解过程中不再变化；

2）非线性代数方程组：代数方程一经建立，其中各项系数在整个求解过程中不断更新。3）是否收敛判断：是指用迭代法求解代数方程是否收敛，即本次迭代计算所得之解与上一次迭代计算所得之解的偏差是否小于允许值。（5）求解代数方程组(续)

（6）解的分析

通过求解代数方程，获得物体中的温度分布，根据温度场应进一步计算通过的热流量，热应力及热变形等。因此，对于数值分析计算所得的温度场及其它物理量应作详细分析，以获得定性或定量上的结论。

非稳态导热问题求解显式差分方程的建立隐式差分方程的建立6点隐式差分方程的建立2.1.5应用举例

——平板加热非稳态导热计算平板在炉内加热,厚度s=210mm,λ=41w/m.K,cp=504J/kg.K,ρ=8000kg/m3,入炉前t0=20℃,在1000℃,恒温加热.平板上下对流给热系数α=200w/m2.k。求解平板加热5分钟，整个平板沿厚度方向上的温度分布。2.1.5应用举例

——二维淬火温度场的模拟计算一、淬冷温度场的计算模型柱坐标下（r,z)的二维热传导方程的一般形式式中τ：时间，s；

T：温度，℃，是r、z、τ的函数；

ρ：材料的密度

c：比热容，J/(g.℃)λ:导热系数，w/(cm.℃)h:内热源强度,w/cm3

相变潜热对于式中L为单位体积相变所释放的热量;

Δf为Δτ时间内相变的体积分数.令cρ=ρc

,则有式中cρ材料的比热容J/(cm3.℃);H为热扩散系数(cm2/s)将上式代入前式,则沿r轴方向有沿z轴方向有计算框图温度场的计算结果将大端半径R=1.5cm的T8钢式样加热到850℃完全奥式体化,淬入60℃的水中,冷却至2.5s,7.0s,10.0s,12