全品高考备战2027年数学一轮学生用书03重点强化练(三)函数零点问题【答案】

重点强化练(三)函数零点问题1.B[解析]函数f(x)=lnx+x-2x的定义域为(0,+∞),且函数y=lnx,y=x,y=-2x在(0,+∞)上都单调递增,所以函数f(x)=lnx+x-2x在(0,+∞)上单调递增.又f(1)=ln1+1-2=-1<0,f(2)=ln2+2-1=ln2+1>0,所以f(1)·f(2)<0,所以f(x)的零点所在的区间为(1,2)2.B[解析]∵2a-1a-1=2+log2a,∴1a-1=log2a.∵3b-2b-1=3+log3b,∴1b-1=log3b.∵4c-3c-1=4+log4c,∴13.D[解析]由f(x)=0得lnx-2x=1-x,令g(x)=lnx-2x,y=1-x,因为g(x)+g(2-x)=lnx-2x+ln-x2如图所示,两个函数图象有两个交点,设两个交点的横坐标分别为x1,x2,这两个交点关于点(1,0)对称,所以x1+x2=2.故选D.4.B[解析]当x≤0时,令f(x)=-x-1=0,解得x=-1;当x>0时,令f(x)=log3x-2=0,解得x=9.所以函数f(x)的零点为-1,9.故选B5.B[解析]当x≤0时,f(x)=|2x-1|=1-2x<1,当0<x≤2时,f(x)=|2x-1|=2x-1,由[f(x)]2-(m+1)f(x)+m=0,可得f(x)=1或f(x)=m.由题意可知,关于x的方程f(x)=1,f(x)=m共有5个不同的实数根,作出函数f(x)的图象如图所示,由图可知,方程f(x)=1有2个根,故方程f(x)=m有3个根,则0<m<1.故选B.6.B[解析]令f(x)=0,得ex+x+lnx=lna+ax,即ex+x=ax+lnax=elnax+lnax,设函数F(x)=ex+x(x≥1),问题转化为求方程F(x)=Flnax的根的个数,又F(x)单调递增,故问题转化为求x+lnx=lna,x∈[1,+∞)的根的个数问题.令h(x)=x+lnx,x∈[1,+∞),易知h(x)在[1,+∞)上单调递增,故h(x)∈[1,+∞),所以当a≥e时,方程x+lnx=ln7.A[解析]令sinπx+π6=0,得x=-16+k(k∈Z),当k=0时,x=-16;当k=1时,x=56.由正弦型函数可知,当x∈-16,56时,sinπx+π6≥0;当x∈-1,-16∪56,1时,sinπx+π6≤0.因为不等式(|x-a|-b)sinπx+π6≤0,x∈[-1,1]恒成立,所以当x∈-16,56时,|x-a|-b≤0;当x∈-1,-16∪56,1时,|x-a|-8.B[解析]因为f2x=-f(2x),所以f1x=-f(4x),故-f(x)=-f(4x),即f(x)=f(4x).当x∈[1,2]时,f(x)=(x-1)(x-2),故当x∈[2,4]时,4x∈[1,2],故f(x)=-f4x=-4x-当x∈[1,2]时,f(x)=(x-1)(x-2)=x-322-14∈-14,0,又f(x)在1,32上单调递减,在32,2上单调递增,故f(x)=-14在[1,2]上有且只有一个实数解为x=32;当x∈(2,4]时,f(x)=-4x-14x-2=-4x-322+14,又4x∈[1,2),故f(x)∈0,14,此时f(x)=-14在(2,4]上无解.故当x∈[4k,4k+1](k∈N*)时,x4∈[4k-1,4k],则f(x)=fx4,结合f(x)的性质可得f(x)=-14在[4k-1,2×4k-1]上有且只有一个实数解,且该实数解为x=3×4k-12=32×4k-1,在(2·4k-1,4k]上无实数解,又439.ABD[解析]对于A,若f(x)=x2,则y=f(x)-cosx=x2-cosx,因为f(x)=x2是偶函数,y=cosx是偶函数,所以y=x2-cosx是偶函数,易知该函数在(0,+∞)上单调递增.当x=0时,y=02-cos0=-1<0,当x=1时,y=1-cos1>0,所以y=x2-cosx在(0,1)内有一个零点,根据偶函数图象的对称性,可得y=x2-cosx在(-1,0)内有一个零点,共2个零点.故A正确.对于B,若f(x)=ex+e-x,则y=f(x)-cosx=ex+e-x-cosx,因为f(x)=ex+e-x是偶函数,y=cosx是偶函数,所以y=ex+e-x-cosx是偶函数.因为ex+e-x≥2ex·e-x=2,cosx∈[-1,1],所以y∈[1,+∞).当x=0时,y=e0+e0-cos0=1+1-1=1>0,所以函数的零点个数为0,是偶数,故B正确.对于C,若f(x)=cos2x,则y=f(x)-cosx=cos2x-cosx,因为f(x)=cos2x为偶函数,y=cosx为偶函数,所以y=cos2x-cosx是偶函数.当x=0时,y=f(0)-cos0=0,根据偶函数的图象的性质知函数y=cos2x-cosx的零点个数不是偶数,故C错误.对于D,若f(x)=ln|x|,则x≠0,y=f(x)-cosx=ln|x|-cosx,因为f(x)=ln|x|是偶函数,y=cosx是偶函数,所以y=ln|x|-cosx是偶函数.当x>0时,y=lnx-cosx,y'=1x+sinx,当0<x<π时,y'=1x+sinx>0,函数y=lnx-cosx在(0,π)内单调递增,当x=1时,y=ln1-cos1=-cos1<0,所以当x∈(0,1]时,y恒小于0,无零点;当x=e时,y=lne-cose=1-cose>0,所以当x∈(1,e)时,存在1个零点;当x>e时,lnx>1,cosx∈[-1,1],所以y=lnx-cosx恒大于0,无零点.所以y=ln|x|-cosx在(0,+∞)内存在1个零点,根据偶函数图象的对称性,y=ln|10.ABC[解析]函数f(x)=msin2x+sin3x-sinx,其中x∈[0,π],令f(x)=0,即msin2x+sin3x-sinx=sinx(msinx+sin2x-1)=0,可得sinx=0或msinx=-sin2x+1,则x=0或x=π或m=-sinx-1sinx,x∈(0,π).设t=sinx,则m=-t-1t,t∈(0,1],函数g(t)=-t-1t在(0,1]上单调递减,且g(t)min=0.当m∈(-∞,0)时,方程m=-t-1t在(0,1]上无解,即t=sinx无解,此时f(x)=0只有两个实数根,即函数f(x)可能有两个零点;当m=0时,可得sinx=t=1,解得x=π2,此时f(x)=0只有三个实数根,即函数f(x)可能有三个零点;当m∈(0,+∞)时,方程m=-t-1t在(0,1]上有一个解,则sinx=t11.ACD[解析]如图,不妨设x1<x2,不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2)到直线y=13的距离相等,∵点A到直线y=13的距离不超过13,而点(0,1)到直线y=13的距离为23,∴x2<0,故x1x2>0,故A选项中说法错误;根据不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2)到直线y=13的距离相等,得13-3x1=3x2-13,∴3x1+3x2=23,则23x1+x2<23,故3x1+x2<19,解得x1+x2<-2,故B选项中说法正确;y1>0,y2>0且y1≠y2,又y1+y22=13,故y1+y2=23,由基本不等式得y1y2<y1+y2212.2[解析]令u(x)=ex+1,φ(x)=lnx-1,h(x)=2-x,则函数u(x)=ex+1和φ(x)=lnx-1的图象与函数h(x)=2-x的图象交点的横坐标分别为a,b,又易得u(x)=ex+1和φ(x)=lnx-1的图象关于直线y=x对称,设u(x)=ex+1和φ(x)=lnx-1的图象与h(x)=2-x的图象的交点坐标分别为(a,2-a),(b,2-b),则交点也关于直线y=x对称,所以a=2-b,即a+b=2.13.1[解析]设f(x)=log(n-1)x-logn(x+1)(x>0),由换底公式得f(x)=lnxln(n-1)-ln(x+1)lnn,可知f'(x)=1xln(n-1)-1(x+1)lnn=(x+1)lnn-xln(n-1)x(x+1)ln(n-1)lnn=x[lnn-ln(n-1)]14.1-1e,1-ln22[解析]设f(x)=t,则f(t)=x,那么(x,t),(t,x)都在函数y=f(x)的图象上.假设x>t,因为函数y=f(x)单调递增,所以f(x)>f(t),即t>x,与假设矛盾;假设t>x,因为函数y=f(