全品高考备战2027年数学一轮学生用书11第14讲函数与方程【答案】听课手册

第14讲函数与方程●课前基础巩固【知识聚焦】1.(1)实数x(2)零点x轴(3)f(a)f(b)<0至少有一个f(c)=02.(1)连续不断f(a)f(b)<0一分为二近似值(2)①[a,b]②中点c③(i)f(c)=0(ii)(a,c)④|a-b|<ε【对点演练】1.1[解析]由题知,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(2)<0,f(3)>0,故函数f(x)存在唯一的零点.2.(0,3)[解析]令f(x)=0,则x·2x-kx-2=0,由x∈(1,2),可得k=2x-2x,令φ(x)=2x-2x,x∈(1,2),则由题知直线y=k与φ(x)=2x-2x,x∈(1,2)的图象有交点.∵φ(x)=2x-2x在(1,2)上单调递增,且φ(1)=0,φ(2)=3,∴3.52,3[解析]令f(x)=2x-x-4,则f(2)=4-2-4=-2<0,f(3)=8-3-4=1>0,f52=252-52-4<0,由4.2[解析]由题知f(x)的定义域为(1,+∞),由f(x)=0,得(9x-3)ln(x-1)=0,即9x-3=0或ln(x-1)=0,解得x=12(舍)或x=2,所以函数f(x)=(9x-3)ln(x-1)的零点为25.①②③[解析]由题知f(-1)·f(0)<0,f(2)·f(3)<0,f(5)·f(6)<0,因为f(x)的图象是连续不断的,所以函数f(x)在(-1,0),(2,3),(5,6)三个区间内均有零点,但不能判断有几个零点,故①②③正确,④不正确.故填①②③.6.2[解析]当x≤0时,由x2-2=0可得x=-2;当x>0时,由lnx=0,解得x=1.所以函数f(x)=x2-●课堂考点探究例1[思路点拨](1)根据函数零点存在定理分析判断.(2)将函数零点问题转化为函数图象交点问题,通过数形结合求解.(1)C(2)B[解析](1)函数f(x)的定义域为(0,+∞),易知函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,又f(1)=-1<0,f(2)=ln2=12ln2>0,所以函数f(x)的零点在(1,2)内.故选C(2)由f(x)=2x+x=0得2x=-x,由g(x)=log2x+x=0得log2x=-x,由h(x)=x3+x=0得x3=-x.在同一坐标系内作出函数y=2x,y=log2x,y=x3和y=-x的图象,如图所示.由图可知,a∈(-1,0),c=0,b∈(0,1),所以a<c<b.故选B.变式题(1)B(2)3[解析](1)由已知得函数f(x)的图象是连续的,且f(x)单调递增.因为f14=2+14-2=2-74<0,f12=2+12-2=12>0,所以f14f12(2)令函数f(x)=ex-3-(-x+5)=ex-3+x-5,显然函数f(x)在R上单调递增,所以f(x)至多有一个零点.由函数y=ex-3与y=-x+5的图象的交点为(x0,y0),得函数f(x)的零点为x0,而f(3)=-1<0,f(4)=e-1>0,即f(3)f(4)<0,因此x0∈(3,4),所以n=3.例2[思路点拨](1)作出函数y=f(x)的图象,分a=0,a<0,a>0三种情况讨论直线y=ax+2与y=f(x)的图象的交点个数,从而得解.(2)由奇函数的性质可得f(0)=0,由f(x+1)=f(x)得函数f(x)的周期为1,从而可得f(-1)=f(0)=f(1)=0,赋值可得f12=0,最后结合周期性即可得结果(1)C(2)C[解析](1)作出函数y=f(x)的图象,如图所示.将原问题转化为直线y=ax+2(过定点(0,2))与函数y=f(x)的图象交点的个数问题.由图可知,当a=0时,直线y=2与函数y=f(x)的图象只有1个交点;当a<0时,直线y=ax+2与函数y=f(x)的图象没有交点;当a>0时,直线y=ax+2与函数y=f(x)的图象有3个交点.所以直线y=ax+2与函数y=f(x)的图象不可能有2个交点.故选C.(2)由f(x)是定义域为R的奇函数可得f(0)=0,再由f(x+1)=f(x)可得函数f(x)的周期为1,则f(-1)=f(0)=f(1)=0.f(x+1)=f(x)中取x=-12,得f12=f-12=-f12,所以f12=0,f-12=0,f32=0,f变式题(1)B(2)8[解析](1)方法一:由y=ex+1和y=x+1都在R上连续且单调递增,得f(x)=ex+1+x+1在R上连续且单调递增.因为f(-2)=e-2+1+(-2)+1=1e-1<0,f(-1)=e-1+1-1+1=1>0,所以函数f(x)有且只有一个零点.故选B方法二:由题知,f(x)的零点个数即为函数y=ex+1和y=-x-1的图象的交点个数.画出两函数的图象如图所示,由图可知两函数图象交点的个数为1,即f(x)的零点个数为1.故选B.(2)∵f(x+4)=f(x),∴偶函数y=f(x)是周期为4的函数.由当x∈[0,2]时,f(x)=1-12x,可作出函数f(x)在[-10,10]内的图象,同时作出函数y=log8|x|在[-10,10]内的图象,如图所示.由图可得两图象的交点个数为8,即方程f(x)=log8|x|在[-10,10]内的根的个数为8例3[思路点拨]①作出函数f(x)的图象,函数g(x)无零点,即y=f(x)的图象与y=a的图象无交点,由图可得到a的一个取值;②由图象的对称性,即可得出x1+x2+x3+x4的值.①-1(答案不唯一)②-2[解析]画出函数f(x)=x2+2①函数g(x)=f(x)-a无零点,即关于x的方程f(x)-a=0无解,即y=f(x)的图象与y=a的图象无交点,由图可知a<0,可取a=-1.②函数g(x)有4个零点,即关于x的方程f(x)-a=0有4个根,即y=f(x)的图象与y=a的图象有4个交点,作出y=a的图象如图,不妨设x1<x2<x3<x4.因为x1,x4关于直线x=-1对称,所以x1+x4=-2,因为x2,x3关于直线x=0对称,所以x2+x3=0,所以x1+x2+x3+x4=-2.变式题①②④[解析]当a=1时,f(x)=|2x-1|-kx-3,令f(x)=0,得|2x-1|=kx+3,在同一坐标系中作出y=|2x-1|,y=kx+3的图象,如图(a)所示,由图及y=kx+3的图象过定点(0,3)知,y=kx+3与y=|2x-1|的图象至少有一个交点,则函数f(x)至少有一个零点,故①正确.当a=-4,k=0时,在同一坐标系中作出y=|2x+4|=2x+4,y=3的图象,如图(b)所示,由图可知,两函数的图象无交点,则函数f(x)无零点,故②正确.当a=6,k=-12时,在同一坐标系中作出y=|2x-6|,y=-12x+3的图象,如图(c)所示,由图可知,两函数的图象有三个交点,则函数f(x)有三个零点,故③错误.当a=0时,在同一坐标系中作出y=|2x|=2x,y=kx+3(k>0)的图象,如图(d)所示;当a<0时,在同一坐标系中作出y=|2x-a|=2x-a,y=kx+3(k>0)的图象,如图(e)所示;当a>0时,在同一坐标系中作出y=|2x-a|,y=kx+3(k>0)的图象,如图(f)所示.由图(d)(e)(f)可知,对任意实数a,总存在实数k>0使得两函数的图象有两个交点,则函数f(x)有两个零点,故④正确.故填 例4[思路点拨](1)利用零点存在定理及f(x)的单调性求出f(x)的零点所在的区间,再判断式子的符号.(2)思路一:令h(x)=f(x)-g(x),则根据题意得h(x)有唯一零点,由h(x)为偶函数,得零点为0,从而得到结果;思路二:令f(x)=g(x),转化为函数G(x)=cosx(x∈(-1,1))与F(x)=ax2+a-1(x∈(-1,1))的图象有唯一交点,从而得到结果;思路三:通过参变分离,研究函数y=cosx+1(1)B(2)D[解析](1)由题意可知f(x)单调递增且f(3)=3+log24-4<0,f(4)=2+log25-4>0,则x0∈(3,4),所以x0-1>0,x0-2>0,x0-3>0,x0-4<0,所以(x0-1)(x0-2)(x0-3)(x0-4)<0.故选B.(2)方法一:令h(x)=f(x)-g(x)=ax2+a-1-cosx,则h(x)为偶函数,因为当x∈(-1,1)时,曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点,所以h(0)=a-2=0,得a=2.方法二:令f(x)=g(x),得ax2+2ax+a-1=cosx+2ax,即ax2+a-1=cosx.设F(x)=ax2+a-1(x∈(-1,1)),G(x)=cosx(x∈(-1,1)),易知F(x),G(x)都为偶函数.当a≤0时,F(x)<0,G(x)>0,故曲线y=F(x)与y=G(x)无交点;当a>0时,作出F(x)与G(x)的大致图象,如图所示,因为曲线y=F(x)与y=G(x)恰有一个交点,且G(0)=1,所以F(0)=a-1=1,则a=2.方法三:令f(x)=g(x),得ax2-cosx+a-1=0,得a=cosx+1x2+1.当x∈(-1,0]时,y=cosx+1单调递增,y=x2+1单调递减,且cosx+1>0,x2+1>0,故y=cosx+1x2+1单调递增,其取值范围是1+cos12,2;当x∈[0,1)时,y=cosx+1单调递减,y=x2+1单调递增,且cosx+1>0,x2+1>0,故y=cosx+1变式题(1)C(2)C[解析](1)由h(x)=f(x)-g(x)=0,得a(x-1)2-1=cosπx2-2ax,依题意得ax2+a-1=cosπx2对x∈(-1,1)有解.记F(x)=ax2+a-1,G(x)=cosπx2,则函数F(x)与G(x)在(-1,1)上的图象有公共点.当x∈(-1,1)时,0<G(x)≤1.当a≤0时,F(x)=ax2+a-1≤-1,显然函数F(x)与G(x)在(-1,1)上的图象无公共点;当a>0时,函数F(x)与G(x)的图象都关于y轴对称,则F(0)≤G(0),F(1)(2)当0<x<e时,f(x)=x-lnx,求导得f'(x)=1-1x,令f'(x)=0,可得x=1,当0<x<1时,f'(x)<0,当1<x<e时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,e)上单调递增,所以f(x)≥f(1),又f(1)=1-ln1=1>0,所以f(x)在(0,e)上无零点.当x≥e时,f(x)=exx-ex+e2x-e2x2=ex(x-1)-e2x(x-1)=(x-1)(ex-e2x).令f(x)=0,得(x-1)(ex-e2x)=0,又x≥e,所以ex-e2x=0,即ex=e2x,因为x0为函数f(x)的零点,所以ex0=e2x0,两边取自然对数得lnex0=lne2+lnx0,所以x0例5[思路点拨]作出函数y=f(x)的图象,将问题转化为求方程f[f(x)]=1的根的个数,令t=f(x),先确定f(t)=1的根,再得f[f(x)]=1的根的个数,结合函数图象即可求解.C[解析]作出函数f(x)=2sinx,0≤x≤π,x2,x<0的图象,如图所示.令t=f(x),则由f(t)-1=0,即f(t)=1,得2sint=1(0≤t≤π)或t2=1(t<0),所以t=π6或t=5π6或t=-1.当t=π6时,则f(x)=π6,结合函数y=f(x)的图象可得f(x)=π6的根有3个;当t=5π6时,则