现代控制理论基础 第5版 课件 孙炳达 第4-8章 控制系统的稳定性分析-Matlab在本书的应用

1第四章

控制系统的稳定性分析2主要内容动态系统的外部稳定性动态系统的内部稳定性李雅普诺夫判稳第一方法李雅普诺夫判稳第二方法李雅普诺夫方法在线性系统中的应用3控制系统的稳定性，通常有两种定义方式：1、外部稳定性：是指系统在零初始条件下通过其外部状态，即由系统的输入和输出两者关系所定义的外部稳定性。有界输入有界输出稳定(BIBO)。2、内部稳定性：指系统在零输入条件下通过其内部状态变化所定义的内部稳定性。状态稳定。外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于线性系统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统，只有在满足一定的条件下两种定义才具有等价性。不管哪一种稳定性，稳定性是系统本身的一种特性，只和系统本身的结构和参数有关，与输入－输出无关。稳定性是控制系统能否正常工作的前提条件。44.1动态系统的外部稳定性有界输入，有界输出稳定性定义：对于零初始条件的因果系统，如果存在一个固定的有限常数及一个标量，使得对于任意的，当系统的输入满足时，所产生的输出满足则称该因果系统是外部稳定的，也就是有界输入-有界输出稳定的，简记为BIBO稳定。5对于零初始条件的定常系统，设初始时刻，单位脉冲响应矩阵为，传递函数矩阵为，则系统为BIBO稳定的充分必要条件为，存在一个有限常k，使的每一个元

或者为真有理分式函数矩阵，且其每一个元传递函数的所有极点处在左半复平面。满足64.2动态系统的内部稳定性系统的平衡状态状态向量范数李雅普诺夫意义下稳定性定义（4种）（1）稳定（2）渐近稳定（3）大范围渐近稳定（4）不稳定7一、系统的平衡状态平衡状态：对所有时间t，如果满足，称xe为系统的平衡状态或平衡点。稳定性针对平衡状态而言。3、对任意，总可经过一定的坐标变换，把它化到坐标原点（即零状态）。一般将平衡状态取为状态空间原点。说明：1、对于线性定常系统：

A为非奇异阵时，x=0是其唯一的平衡状态。

A为奇异阵时，系统有无穷多个平衡状态。2、对于非线性系统，有一个或多个平衡状态。4、孤立平衡状态：如果多个平衡状态彼此是孤立的，则称这样的状态为孤立平衡状态。单个平衡状态也是孤立平衡状态。8二、状态向量范数符号称为向量的范数，为状态向量端点至平衡状态向量端点的范数，其几何意义为“状态偏差向量”的空间距离的尺度，其定义式为：9李氏稳定几何表示法：三、李雅普诺夫意义下稳定性意义1、稳定与一致稳定：（系统的自由响应是有界的）设为动力学系统的一个孤立平衡状态。如果对球域或任意正实数，都可以找到另一个正实数或球域，当初始状态满足时，对由此出发的X的运动轨迹有，则称平衡状态在李雅普诺夫意义下是稳定的。如果与初始时刻无关，则称平衡状态是一致稳定的。如果与初始时刻无关，则称平衡状态xe为一致渐近稳定。

设xe为系统的孤立平衡状态，如果它是李氏稳定的，且当t趋向于无穷大时，有：即收敛于平衡状态xe，则称平衡状态xe为渐近稳定的。渐近稳定几何表示法：2、渐近稳定和一致渐近稳定113、大范围渐近稳定如果对状态空间的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐近稳定特性，即：对所有点都成立，称平衡状态xe为大范围渐近稳定的。其渐近稳定的最大范围是整个状态空间。结论：如果线性定常系统是渐近稳定的，则它一定是大范围渐近稳定的。必要性：整个状态空间中，只有一个平衡状态。（假设有2个平衡状态，则每个都有自己的稳定范围，其稳定范围不可能是整个状态空间。）124、不稳定如果对于某一实数，不论取得多么小，由内出发的轨迹，只要有一个轨迹超出，则称平衡状态xe是不稳定的。说明：虽然不稳定的轨迹超出了，但并不一定趋向于无穷远处，有可能趋向于外的某个极限环。不稳定几何表示法134.3李雅普诺夫判稳第一方法李氏第一法判稳思路：（间接法）1、线性定常系统－特征值判断2、非线性系统－首先线性化，然后用线性化系统的特征值判断14内部稳定性判据：线性定常连续系统渐近稳定的充分必要条件为：A阵的所有特征值全为负实数或具有负实部的共轭复根。等同于特征方程的根全部位于s平面的左半部。线性定常连续系统的传递函数是，当且仅当其极点都在s的左半平面时，系统才是输入输出稳定的。否则系统是不稳定的（在此，虚轴上的临界稳定，对应等幅周期振荡，控制工程上认为是不稳定的）。外部稳定性判据：稳定区不稳定区临界稳定S平面图解表示：二、线性定常系统15[例4-6]

设系统方程为：

试确定其外部稳定性、内部稳定性。[解]

（1）系统的传递函数为：极点位于s左半平面，s=2的极点被对消掉了。系统是有界输入有界输出稳定的。（2）

求系统的特征方程：系统不是渐近稳定的。164.4李雅普诺夫判稳第二方法1）如果系统的某个平衡状态是渐近稳定的，即。那么随着系统的运动，其贮存的能量将随时间增长而衰减，直至趋于平衡状态而能量趋于极小值。2）实际系统很难找到一个统一的能量函数。3）虚构一个广义能量函数，称为李雅普诺夫函数（李氏函数），根据它和它的一阶导数的正负来判断系统稳定性。4）第二法判稳的过程，只要找到一个正定的标量函数，而是负定的，这个系统就是稳定的。而就是李氏函数。

李氏第二法思路：直接法，用能量观点分析稳定性17李雅普诺夫函数说明：

1）李氏函数是一个标量函数，且为正定，其一阶导数为(半)负定。

2）对于给定系统，如果存在李氏函数，它不是唯一的。用第二法判稳时，找到一个李氏函数就可以。

3）李氏函数最简单形式是二次型，P是正定实对称方阵。18一、标量函数V(x)的符号性质标量函数V(x)：1）正定性：当且仅当x=0时，才有；对任意非零X，恒有，则为正定。2）负定性：当仅当X=0时，才有；对任意非零x,恒有，则为负定。193）半正定和半负定如果对任意，恒有,则V(X)为半正定。如果对任意，恒有,则V(X)为半负定。5）不定性如果无论取多么小的零点的某个邻域，V(X)可为正值也可为负值，则V(x)为不定。4）(半)正定和(半)负定间的关系

V(x)为正定，则－V(x)为负定；

V(x)为半正定，则－V(x)为半负定；20二、二次型标量函数的符号性质如果，则称P为实对称矩阵。1、二次型函数V(x)：211）二次型为正定，或实对称矩阵P为正定的充要条件是P的所有主子行列式均为正，即：

则P为正定，即V(x)正定。

如果2）二次型为负定，或实对称阵P为负定的充要条件是P的主子行列式满足；（i为偶数）i=1，2，3，…,n。2、二次型函数V(x)正(负)定性判定：赛尔维斯特判据22判据1：设系统的状态方程为为其平衡状态，如果有连续一阶偏导数的标量函数存在，并且满足以下条件：

1）是正定的。

2）是负定的。则在原点处的平衡状态是渐近稳定的。如果随着，有，则原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。说明：判据1是充分条件，判稳过程是寻找李氏函数V(x)，如果没找到，不能判断系统不稳定，只是可能还没有找到而已。三、稳定性判据23判据2：设系统的状态方程为为其唯一的平衡状态，如果有连续一阶偏导数的标量函数存在，并且满足以下条件：

1）是正定的。

2）是半负定的。

3）对任意初始时刻时的任意状态，在时，除了在时有外，不恒等于零。则系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。说明：恒等于零意味着运动轨迹是某个特定的曲面。不恒等于零意味着仅在某个特定时刻，在某个点上和某个特定的曲面相切。24判据3：设系统状态方程为：为其平衡状态。如果存在一个标量函数，它具有连续的一阶偏函数，且满足下列条件：在原点的某一邻域内是正定的，在同样的邻域内是正定的，则系统在原点处的平衡状态是不稳定的。25令，得是系统唯一的平衡状态。2）选取李氏函数选，则正定的

[解]：1）平衡状态3）当，即，得则在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。由判据1可知，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。[例]

设系统方程如下，试确定其平衡状态的稳定性。26[例]

设系统方程为：

试确定其平衡状态的稳定性。[解]：1）平衡状态令，得是系统唯一的平衡状态。同时有不可能恒为零。2）选李氏函数由判据2可知，系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。274.5李雅普诺夫方法

在线性系统中的应用28讨论：选择二次型函数为李氏函数。目的：将李氏第二法定理来分析线性定常系统的稳定性负定正定由上一节讨论的判据1知道系统渐近稳定，故有以下判据：且标量函数就是系统的一个李氏函数。判据4：线性连续定常系统：在平衡状态处渐近稳定的充要条件是：给定一个正定对称矩阵Q，存在一个正定实对称矩阵P，使满足：一、线性定常连续系统的稳定性分析291）因为正定对称矩阵Q的形式可任意给定，且最终判断结果和Q的不同形式选择无关，所以通常取。2）该定理阐述的条件，是充分且必要的。说明：3）如果除了在时有外，不恒等于零,则由上一节判据2可知，Q可取做半正定。为计算简单，此时Q可取作如下矩阵：30[例4-12]

用李氏第二法，求使下列系统稳定的K值。

[解]：1、写出状态空间表达式

31状态空间描述为：2、用李氏第二法判稳（令u=0）1）Q能不能取做半正定？2）计算使实对称矩阵P为正定的k值范围由判据4得：32注意：P为正定实对称矩阵。解得：根据赛尔维斯特法则：如果P正定，则12-2k>0，且k>0

所以系统稳定的k值范围为0<k<633二、线性定常离散系统的稳定性分析判据5：线性定常离散系统的状态方程为则系统在平衡点Xe=0处渐近稳定的充要条件是：对于任意给定的对称正定矩阵Q，都存在对称正定矩阵P，使得：且系统的李雅普诺夫函数是：推导：34

当取时：说明2：如果沿任意一解序列不恒等于零，Q也可取为半正定的。说明1：仿线性连续系统，先给出正定对称矩阵Q，从以下方程中解出实对称阵P，然后验证P是否正定，是则系统是李氏渐近稳定的。35试用李氏第二法确定系统在平衡点为渐近稳定的k值范围。根据得：[解]：取：[例4-13]：已知线性离散时间系统状态方程为：其中：36根据赛尔维斯特法则：如果P正定，则，即：k<2，所以系统渐近稳定的k值范围为0<k<2解得：37线性定常系统的综合第五章38第一节

线性反馈控制系统的基本结构带输出反馈结构的控制系统带状态反馈结构的控制系统带状态观测器结构的控制系统解耦控制系统39将系统的输出量乘以相应的反馈系数馈送到输入端与参考输人一起，其(代数)和作为受控系统的控制输入。一、带输出反馈结构的控制系统40将系统的输出量乘以相应的负反馈系数，馈送到输入矩阵B后。41

状态反馈：将系统每一个状态变量乘以相应的反馈系数馈送到输入端与参考输人相加，其代数和作为受控系统的控制输入。二、带状态反馈结构的控制系统42

状态重构：不是所有的系统状态物理上都能够直接测量得到。需要从系统的可量测参量，如输入u和输出y来估计系统状态。状态观测器：状态观测器基于可直接量测的输出变量y和控制变量u来估计状态变量。三、带状态观测器结构的控制系统43解耦问题：

如何将一个多变量耦合系统，解耦成多个互不相关的单变量系统的组合。目的是使一个输入仅控制一个输出。

四、解耦控制系统解耦:每一个输出都受多个输入的影响一个输入仅控制一个输出44一、反馈至输入矩阵B后端的系统将系统的输出量乘以相应的反馈系数，馈送到状态微分处。

第二节

带输出反馈系统的综合45原受控系统：1、系统数学模型输出反馈控制规律：输出反馈系统状态空间描述为：闭环系统的特征多项式闭环系统的特征方程(5-4)

(5-3)

46定理：极点任意配置条件为，原系统状态可观测。定理证明：系统能观测，则定能化为能观测标准型。能观测标准型：2、极点配置引入反馈阵：极点配置：通过反馈增益矩阵K的设计，将加入状态反馈后的闭环系统的极点配置在S平面期望的位置上。47可见反馈后，仍然为能观测标准型。系统特征方程为：由于反馈阵可以任意选择，所以特征值可以任意配置。按式(5-3),可求得能观测标准型下的反馈系统矩阵：

(5-5)48极点配置方法：。结论：输出到状态微分处的反馈不改变系统能观性，不改变系统的极点。

说明：任意配置后，有可能发生零极点对消，导致能观能控性变化。(1)判断系统能观性。如果状态完全能观，化为能观标准型。(2)按式（5-5）求出闭环特征多项式(方程)

。（5-5）49(4)令闭环特征多项式与期望闭环特征多项式相等

通过比较等式两边的系数，可求出能观标准型下的相应反馈系数。（5)通过式（5-9）进行变换，得到对应原状态下的输出反馈矩阵中的各反馈系数。(3)依期望极点，按式（5-7）求出期望闭环特征多项式例5-1（见教材）50二、反馈至输入矩阵B前端的系统将系统的输出量乘以相应的反馈系数馈送到输入端与参考输人相加，差值作为受控系统的控制输入。51原受控系统：输出反馈控制规律：输出反馈系统状态空间描述为：1、系统数学模型闭环传递函数矩阵为：521、这种结构不能进行任意的极点配置。(证明略)

有文献指出,关于输出反馈的这种结构,可以任意配置极点的数目数p的问题,有如下定理(证明略)。定对能控能观的线性定常系统Σ(A,B,C),可采用静态输出反馈进行“几乎”任意接近地配置p=min{n,m+r-1}个极点。

n,m,r分别为状态空间、输出空间和输入空间的维数,“几乎”任意接近地配置极点的意义为可以任意地接近于指定的期望极点位置,但并不意味着能确定配置在指定的期望极点位置上。值得注意:2、状态完全能控能观的n阶系统,采用(n.-1)阶补偿器的这种结构,能进行任意的极点配置53

状态反馈：将系统每一个状态变量乘以相应的反馈系数馈送到输入端与参考输人相加，其和作为受控系统的控制输入。第三节带

状态反馈系统的综合一、状态反馈系统54原受控系统：

线性反馈规律：状态反馈闭环系统：一般D=0，可化简为：1、系统的数学描述55状态反馈闭环传递函数矩阵为特征方程为：（5-14）

式（5-14）表明，可通过选择状态反馈系数去改变特征方程的系数从而改变闭环极点。562、极点配置(1)闭环极点任意配置的条件定理5-4：(极点配置定理)对线性定常系统进行状态反馈，反馈后的系统其全部极点得到任意配置的充要条件是系统状态完全能控。定理证明见教材(2)极点配置算法1)判断系统能控性。如果状态完全能控，化为标准型。2)求闭环系统的特征多项式：573)根据给定（或求得）的期望闭环极点，写出期望特征多项式。4)由确定反馈矩阵K：例考虑线性定常系统试设计状态反馈矩阵K，使闭环系统的极点为-2±j4和-10。58解（1）先判断该系统的能控性实际上，原系统己为能控标准型。（2）计算闭环系统的特征多项式设状态反馈增益矩阵为：59（3）计算期望的特征多项式（4）确定K阵求得：所以状态反馈矩阵K为：二、带积分控制的状态反馈系统设计状态反馈可实现闭环系统极点的任意配置，使系统具有理想的动态性能。当系统对稳态误差有要求时，可在误差输出端的后面加入“积分器”控制，便能使系统对参考和干扰输入时的稳态误差都为零。单输入-单输出系统带积分控制的状态反馈结构，如图所示。把误差的积分视为一个附加的状态变量系统的控制信号由图可写出系统的状态空间表达式

上式中的第一项为状态负反馈信号，第二项是为改善稳态性能而引入的误差积分信号。控制u代入状态方程，带积分控制的状态反馈闭环系统的状态空间表达式为闭环系统的特征方程为有文献证明，状态反馈带积分控制后的闭环系统,不但能使参考、扰动同时阶跃作用下引起的误差为零，而且会使系统有更好的动态性能。（5-21）64三、状态反馈下闭环系统的镇定问题镇定的概念：一个控制系统，如果通过反馈使系统实现渐近稳定，即闭环系统极点具有负实部，则称该系统是能镇定的。如果采用状态反馈来实现这种渐近稳定，则称系统是状态反馈能镇定的。定理5-5：如果线性定常系统不是状态完全能控的，则它状态能镇定的充要条件是：不能控子系统是渐近稳定的。定理解释：因为状态反馈不能影响不能控子系统的极点，所以闭环极点全部具有负实部就要求不能控的子系统的极点应具有负实部可以.65第四节状态重构与状态观测器的设计状态重构：不是所有的系统状态物理上都能够直接测量得到。若状态变量x(t)不能完全直接测量到,构造一个相应的系统去估计出原系统的状态变量x(t)。

状态观测器：状态观测器基于可直接量测的输出变量y和控制变量u来估计状态变量，是一个物理可实现的模拟动力学系统。66利用仿真技术来构造一个和被控系统有同样动力学性质(即有同样的系数矩阵A,B和C)的系统来重构被控系统的状态变量。这种开环式重构出来的状态，易受干扰，准确性差。一、全维状态观测器的设计67为了提高估计精度，常采用闭环式的状态观测器。闭环式的状态观测器下面分析原理68原系统的状态空间表达式输出误差设有状态估计误差状态观测器的状态空间表达式

（5-22）（5-24）69

利用输出误差，通过一反馈矩阵对观测器进行校正，构成一闭环式的状态观测器。由闭环式的状态观测器可写出其状态方程。特征多项式由上面相关式，可求出误差状态方程误差状态方程的解（5-25）（5-27）（5-26）（5-28）70误差状态方程的解表明：（1）当观测器状态与原系统状态相同时，（2）当观测器状态与原系统状态不相同时，只要.的特征值均具有负实部时，一定可以使即状态渐近相等。（3）若的特征值可以任意配置，那么状态估计误差趋于零的速度也就可以任意选择。定理5-6：线性定常系统的状态观测器极点任意配置，即具有任意逼近速度的充要条件是，原系统为状态完全能观测。71(3)写出状态观测器的期望特征多项式：(2)求观测器的特征多项式：(4)由确定状态观测器的反馈矩阵：(1)判断系统能观测性，若状态完全能观测，按下列步骤继续。状态观测器的设计步骤72二、降维状态观测器的设计实际上，对于n阶系统,若有

m维输出,就有m个变量可以通过传感器直接测量得到。如果选择该m个变量作为状态变量，则这部分变量不需要进行状态重构。观测器只需要估计n-m个状态变量即可。n-m维降维观测器，或最小阶观测器。

1)先对系统进行结构分解。把不能观察的这部分的状态空间描述分解出来。降维状态观测器的设计方法有几种,下面介绍其中一种,其设计方法及步骤如下：73非奇异变换：由输出可看出，可直接由输出检测到的。（5-29）由上式有（5-31）（5-32）74在式（5-31）中，由于u和是可测的，两项合在一起，令为M则式（5-31）可写为（5-33）（5-33）（5-34）令（5-35）

式(5-34)状态方程中,M可视为输入,是己知的。这样,若把式(5-35)中Z视为输出量,输出矩阵，则式(5-34)、(5-35)就可看是原系统的一个不可测量的（n-m）维的子系统了。75

为了检测到（n-m）维子系统的状态变量，就需要一个（n-m）维的观测器。对子系统而言的观测器，实际上就是“全维的观测器”，对其（n-m）状态重构。完全可按上节的“全维观测器”的设计方法，去设计这“降维观测器”。（5-33）2)彷照全维观测器的设计方法,设计降维观测器记不可测的子系统为，其状态空间式为

将设计全维状态观测器的系统状态空间式与相对比,有如下关系：(5-40)重写全维状态观测器的状态方程(5-25)式(5-40)代入上式(5-41)同样，可通过选择反馈矩阵G将系统矩阵的特征值配置在任意期望极点,的位置上。为了在原系统中实现状态反馈,应消去式(5-41)中的中间变量M和Z。用式

(5-33)和(5-36)代入式(5-41),状态观测器的状态方程为（5-42)上式中出现导数,物理上难实现,应设法消去,为此引入一变量（5-43)将式(5-43)、(5-44)代入(5-42),经整理后可得观测器状态方程式(5-45)(5-45)令(5-46)代入式(5-45)

式(5-46)与(5-42)是完全等价的。由式(5-46)可画出带降维观测器的结构图5-18。79图5-18带降维观测器的系统状态结构图由式5-43,观测器的状态为下面分析状态估计的误差与观测器方程系数矩阵关系。式(5-31)、(542)代入上式，并经整理后将式(5-36）、（5-35）代入上式(5-48）上式(5-48)微分方程式的解为

由于子系统是能观测的,故一定可以通过选择G使矩阵的特征值任意配置,使估值误差尽快衰诚到0。反馈矩阵G的选择与全维状态观测器相同。

例题5-6

82第五节

带观测器状态反馈系统的综合一、系统的结构与数学模型状态观测器的建立，为不能直接量测的状态反馈提供了条件。带有状态观测器的状态反馈系统由原系统及观测器共同构成的组合系统组成。如图所示。83能控能观的系统状态空间描述为（5-49）.状态观测器系统的状态空间方程，由（5-25）采用由状态观测器重构的状态，通过反馈矩阵K负回馈至参考信号（5-52）（5-51）

带全维状态观测器的状态反馈结构见图5-19。84式（5-52）、（5-50）代入式（5-51）（5-54.）式（5-53）、（5-54)合并，并写成矩阵形式式（5-52)代入式(5-49)（5-53)注意：系统的维数是原系统的2倍。85二、闭环系统的基本特性

引入了重构的状态反馈后，一是否会改变状态观测器的极点配置，影响估计精度;二是如何设计两个反馈矩阵G和K。则经过非奇异变换后的状态空间描述为：设状态估计误差。对闭环系统方程(5-55)、(5-56)进行等效变换:86其中由于等效变换不会改变系统的特征值，所以闭环特征多项式为而状态误差方程状态误差由上式可见，(A-BK)的特征值与(A-GC)的特征值可以分别配置，互不影响。两种特征值可以分别配置，互不影响的方法，称为分离定理5-7。88

耦合是生产过程控制系统中普遍存在的一种现象，尤其是在一个多输入-多输出(MIMO)系统中，每一个输入都会影响多个输出，每个输出会受多个输入的控制。当一个控制量变化时必然会波及其它输出量的变化，这种现象称为耦合。**第六节

解耦控制系统的综合解耦:就是消除系统间耦合关联作用。目的:是使一个输入仅控制一个输出。方法：前馈补偿器解耦；状态反馈解耦。89每一个输出都受多个输入的影响，一个输入仅控制一个输出解耦:90设多变量线性定常系统的输入向量维数与输出向量维数相等,其状态空间表达式为

对应的传递函数阵为

一、多变量系统的耦合关系91式中,G(s)为m阶严格真有理函数方阵;Gij(s)为G(s）的第i行第j列元素,表示第i个输出量与第j个输入量之间的传递函数。若系统初始为零状态,则其输入输出关系为

由上式可见,一般情况下,多变量系统的每一输入分量对多个(或所有)输出分量均有控制作用,即每一输出分量受多个(或所有)输入分量的控制。92这种第j个输入量控制第i个输出量的关系称为输入输出间的耦合作用,这种耦合使多变量系统的控制通常十分困难,例如,就难以找到合适的输入量,达到控制某一输出分量而不影响其它输出分量的要求。因此,有必要引入合适的控制律,使输入输出相互关联的多变量系统实现解耦,即实现每个输出分量仅受一个对应输入分量控制,每个输入分量也仅能控制对应的一个输出分量。

显然,解耦系统的传递函数矩阵必为对角线形的非奇异矩阵,由此,从解耦系统的定义出发,使多变量系统实现解耦的基本思路是通过引入控制装置使系统传递函数矩阵对角化,而具体实现方法主要有前馈补偿器解耦、输入变换与状态反馈相结合解耦等。94

一、串联补偿器解耦

方法：在需要进行解耦的系统前串联一个补偿器，来实现解耦。

设多输入-多输出的受控对象，其传递矩阵为，采用串联补偿器解耦方法；95系统的闭环传函式中，为开环传函。设引入解耦补偿器后，系统的闭环传递矩阵是一个对角线矩阵即96展开上式可见，便达到了解耦目的。现分析如何求解耦补偿器？重写出闭环传递矩阵97上式两边左乘，有由于，于是由上式可求解耦补偿器。，（5-62）（5-63）98求串联解耦补偿补偿器的方法。

由上面分析可归纳出（1）判断受控对象的秩，若满秩，可采用串联补偿器解耦

的方法。（2）根据性能指标要求，给定一对角型传递矩阵。（3）根据式（5-62），求出开环传递矩阵。.（4）按式（5-63），求出补偿器传传递矩阵。99[例]：

5-9有一个MIMO系统结构如图确定串联补偿器，使闭环系统传递矩阵为100[解]：由于满秩，其逆阵存在。进行矩阵求逆计算101将以上结果代入（5-63）式有：故求得：PI调节器PID调节器PI调节器102图5-23串联补偿器结构图:103二、状态反馈解耦状态反馈解耦结构图通过状态反馈阵K和输入增益矩阵F的设计，来实现解耦。受控系统104线性定常系统方程为引入状态反馈其中K

为反馈阵,F为输入变换矩阵。.状态反馈系统的传递函数矩阵为105所谓解耦问题，就是寻求适当的K

和F

矩阵使得状态反馈传递函数矩阵为对角阵。积分器型解耦系统:对角阵中每个子系统,相当于一个积分器：证明复杂，只介绍主要的结论及具体的应用.1061、状态反馈解耦中用到的量：107定理1

能用状态反馈实现解耦的充分必要条件是以下矩阵非奇异。定理2若受控对象满足解耦条件,则当选取状态反馈矩阵则其闭环系统是一个积分型解耦系统.1082、步骤：

1）先计算D阵，然后进行E阵计算。

2）进行可解耦性判断:若E阵非奇异性则可以采用状态反馈实现解藕。

3）设计K和F，并得到积分型解耦系统。参见例5-13109本章完110第六章线性系统的最优控制第一节

最优控制的数学表达第二节

求解最优控制率的方法第三节

线性二次型最优控制第四节

线性二次型最优控制系统的设计

111

最优控制，现代控制理论的核心内容，控制系统的一种设计方法。

最优控制研究的中心问题是，已知被控对象的数学模型，在控制量约束范围内设计出控制器（又称为“控制率或控制策略”），使控制系统的性能在某种意义下达到最优。

线性系统二次型的最化控制，因为其性能指标具有明确的物理意义，在大量的工程实际中具有代表性，而且最优控制率的求解较简单，并具有统一的解析表达式，构成的最优控制系统具有简单的线性状态反馈的型式，易于工程实现，所以在国内外实际的工程中目前己得到广泛应用。本章主要介绍其基本概念、基本原理和设计方法。

112已知系统数学模型第一节

最优控制的数学表达（6-1）初始状态为（6-2）其中，为

维状态向量；维状态向量；为

维状态向量，为

是和t

的连续函数，可以是线性定常，也可以是非线性时变，并且、对、t连续可微。若存在某种控制率，能使性能指标函数(6-3)113取极值（最大值或最小值），则称该控制率为最优控制率；该系统为最优控制系统；对应系统的运动状态轨迹线，称为最优轨线

。114

第二节

求解最优控制率的方法

目前求解最优控制率，主要有“变分法”；“极大（小）值原理”；

“动态规划”；“线性二次型”等方法。一、变分法由于性能指标是控制量的函数，这种以函数为自变量的函数，即函数的函数，从数学角度看，就是一“泛函”。要从泛函性能指标中求解出一个未知控制函数，使性能指标值为极值（最大值或最小值），这种泛函求极值的方法，实际上就是数学上的“变分”问题，须采用数学中的“变分法”。115

采用直接变分法求解最优控制率，难于甚至“无法解决容许控制属于闭集”的最优控制问题，所以受到实际工程应用上的限制，例如，每台电动机都有最大功率的限制；船舶或飞机的操纵舵面也有最大偏转角的限制。况且采用直接变分法设计出的系统，其抗参数变化的能力，即系统的鲁棒性也不强。因此，工程应用上有较小的实用价值。二、极小（大）值原理20世纪50年代未,前苏联学者Pontryagin(庞特里亚金)提出了极值原理。这种方法可以解决“变分法”无法解决的一些问题，即“容许控制属于闭集”的最优控制问题。但对于非线性系统,甚至有些线性系统,在某些情况下要得到最优控制的解析表达式，仍是十分困难的。116，三、动态规划

美国学者Bellman(别尔曼)在1953~1957年间提出“动态规划”方法，这种方法也可以解决“容许控制属于闭集”的最优控制问题。虽然该方法推导还算简单，但求解也不易，甚至会有些困难。四、线性二次型最优控制

美国学者R.E.Kalman(卡尔曼)，基于线性系统的状态方程、能控能观性，提出线性系统若用“二次型性能指标”，将使最优控制器的求解变得简单容易。按这种方法求解最优控制器，主要归结为求解一个称为“Riccati(黎卡提)矩阵微分方程或代数方程”,再通过简单的矩阵运算就可得出状态反馈控制率的解析式。而且，其结果也适用于小信号下运行的非线性系统。117方法的比较

总的来说，当控制量无约束时，‘采用“变分法”；当控制量有约束时，采用“极小值原理”或“动态规划”；如果系统是线性的，采用“线性二次型”方法最好，因为，一方面，二次型指标反映了大量实际的工程性能指标的要求；另方面，理论上的分析及求解较简单、方便、规范，而且还有标准的计算机程序可供使用；得到的控制器易于通过状态反馈实现闭环最优控制，工程实现方便。在实际的工程控制中，目前线性二次型最优控制己得到了广泛的成功应用。

下面只介绍线性二次型最优控制的基本概念、求解原理及设计中的一些主要结论。118第三节线性二次型最优控制一、控制对象数学模型

线性系统的状态空间表达式（6-4）式中，为

维状态向量；为

维状态向量；为

维状态向量；为

维状态向量；为

维状态向量；为

维状态向量；119二、性能指标

采用二次型（6-5）式（6-5）中，为维正定（或半正定）常值对称矩阵；为

维正定（或半正定）常值对称矩阵；为

维正定（或半正定）常值对称矩阵；性能指标，是一标量；120性能指标的物理意义说明：(1)，为了运算方便引入的。(2)式中右端的第一项，，强调状态的终值，表示在给定的控制终端时刻到来时，系统的终态接近预定终态的程度。

当对系统的终端误差要求严格时，此项不能缺少，而且特别重要。例如，两座航天器的交会对接，控制大气层外导弹的拦截等，终端状态的一致性就显得非常重要。121加杈矩阵,表示对各个对应分量的重视程度可有不同：122(3)式中右端第二项的积分是一综合指标。其中，积分项中的第一项代表状态的暂态误差，表示在整个控制期间，系统的实际状态与给定状态之间综合误差的总和，体现系统对动态过程的要求。加杈矩阵，是对各个对应分量的重视程度可有不同,可常值也可时变,若是时变则意味着在暂态过程中不同的时刻对各个分量的重视程度可有不同。过程的影响都很大。加杈矩阵，要求大于0，可常值也可时变。值得注意的是，性能指标中的加权阵、、，对系统暂态123设计控制器时,可预先选若干组、和、和值,对每组离线求出各组对应的最优控制器，再通过系统仿真后选择其中性能最好的那一组作为加权矩

。124三、最优控制率最优控制率的含义是，对于线性系统式（6-4），确定出的控制率，能使式（6-5）值为最小。相关的《最优控制理论》严格的推导证明了，使式（6-5）值为最小的最优控制率为（6-6）式中，。其中，为维对称非负定矩阵，而且是称为“Riccati(黎卡提)矩阵方程式”125（6-7）的解。*注，为了有利于对只具有一般高等数学的读者，更好地理解最优控制的原理，本书从矩阵理论角度介绍其求解思路。（见教材）126第四节

线性二次型最优控制系统的设计

常见的线性二次型最优控制分为两类，即调节器和伺服器。它们己在实际中得到了广泛的应用。下面不加证明地给出三种最常用的典型系统最优控制的设计方法。一、最优状态调节器

状态调节器的最优控制，只对系统的状态提出性能要求。当系统受到干扰，状态偏离了原来的平衡位置时，要求产生一控制作用使系统的状态回到原来的状态或原状态附近，并使要求的性能指标有极小值。例如，电动机转速控制系统，电动机原运行在1000转/分。当增加负载后其转速下降至980转/分，

应如何设计控制器使电动机的转速从时刻起到时刻止,又回复到1000转/分,并滿足某种目标为最优。状态调节器又分为“有限时间”和“无限时间”调节器两种。1271.有限时间状态调节器若被控对象是线性时变，当性能指标式(6-5)中的终值时间为有限值时，这种状态调节器称为有限时间状态调节器。

有限时间的状态调节器，要求系统在有限时间内,稳态误差,暂态误差和消耗的控制能量都要小，其最优解有如下结论。

（1）线性时变系统状态方程；

（6-23）式中，相关矩阵的定义及维数与式（6-4）相同。128（2）二次型性能指标（6-24）（3）最优控制率（6-25）式中，；其中，维对称非负定矩阵，是下式（6-26）和边界条件的解。129（4）最优性能（6-28）（5）最优状态轨迹曲线是下式线性向量微分方程（6-29）解。图6-1为有限时间最优状态调节器的结构图。130说明:（1）最优控制器是状态反馈形式，具有时变性。应用时，先离线计算出值,并存储在计算机中。系统运行过程中,从存储器取出,并与同一时刻测量到的相乘,构成控制量。可见，当系统较复杂时，需要的存储量大，不利于工程应用。（2）若系统是线性定常时，有限时间状态调节器的有关结论可以仿照上面线性时变系统的相关结论得出。即对于线性定常系统（6-30）使性能指标式（6-23）最小的最优控制率为（6-31）131式中，。其中，是黎卡提方程式.和终端条件式的解。可见，对于被控对象是线性定常的有限时间状态调节器，其最优反馈控制率仍是时变的。系统的最优性能1322.无限时间状态调节器当终端时刻为无穷，，系统及性能指标中的各矩阵均为常值矩阵时，则这种状态调节器称为无限时间状态调节器。

无限时间状态调节器的最优解，是一状态反馈形式，而且增益矩阵是常数矩阵，要注意的是，系统必须完全能控。有如下一些主要结果。（1）完全能控的线性定常系统（6-35）（2）性能指标

由于这种情况下，系统的终端状态总是被要求达到某一平衡状态，所以，式（6-5）性能指标中的第一项为“0”，即（6-36）133（3）最优控制率为（6-37）式中，。其中，是

维正定对称的常数矩阵，是黎卡提代数方程（6-38）.的解。（4）最优性能指标（6-39）134（5）最优状态轨迹是下式线性向量微分方程（6-40）的解。例6-1己知系统其中，性能指标求最优控制率和最优性能。135解

本例题属线性定常系统无限时间最优状态调节器的问题。（1）判系统的能控性系统完全能控，最优控制存在且唯一。（2）由性能指标，求出加权矩阵加权矩阵为当时，正定。136（3）解黎卡提代数方程，求矩阵令代入黎卡提代数方程，展开上式，可得代数方程组137求解代数方程组，并取正解.于是有（4）最优控制率由式（6-38），最优控制率

138（5）最优性能（6）最优系统结构图139二、最优输出调节器

输出调节器的最优控制问题，只考虑对系统的输出提出性能要求，即当系统受到干扰偏离了原来的平衡状态时，要求产生一控制量使系统的输出回到原来的状态或原状态附近，并使性能指标有极值。

同样，输出调节器也分为“有限时间”和“无限时间”两种。

实际上，所有对状态调节器的相关结论都可以推广到输出调节器。1401.有限时间输出调节器

（1）被控对象数学模型

完全能控能观的线性时变系统（6-41）式中，相关矩阵的定义及维数与式（6-4）相同。（2）性能指标（6-42）141（3）最优控制率为了利用前述状态调节器的结论求最优控制率，为此，将输出方程代入性能指标式（6-42）有（6-43）

观察式（6-43）可见，与有限时间状态调节器的性能指标相比，式（6-43）只是用代替了式（6-23）中的

；代替了式（6-23）中的

。

142所以，只要

和

是正定对称矩阵，输出调节器的问题实际上就是状态调节器的问题。上面关于最优状态调节器的相关结论就可以方便地移值过来。所以,使性能指标式（6-43）最小的输出调节器最优控制率为（6-44）1式中，，.其中，

是黎卡提矩阵微分方程（6-45）及边界条件（6-46）的解。143（4）性能指标（6-47）（5）最优状态轨迹是下式线性向量微分方程（6-48）的解。1442.无限时间输出调节器如果终端时刻为无穷，，系统及性能指标中的各矩阵均为常值矩阵，则称为无限时间输出调节器。（1）能控能观的线性定常系统（6-49）式中,相关矩阵的维数与式(6-4)相同。（2）性能指标（6-50）式中,且均为常值对称矩阵。145（3）最优控制率

类似地，上面关于无限时间状态调节器的相关结论移值过来，就可得到无限时间输出调节器的相关结论。

（6-51）其中，是如下黎卡提代数方程（6-52）的解。（4）最优性能指标（6-53）146（5）最优状态轨迹是下式线性向量微分方程的解。例6-2巳知系统状态空间式及性能指标求最优输出调节器。147解（1）判定系统能控能观性系统具有能控能观性，无限时间输出调节器存在且唯一。（2）由性能指标有=1（3）解黎卡提代数方程令148由黎卡提代数方程得（4）最优控制率由式（6-51）有149三、最优输出跟踪器最优输出跟踪的控制问题是，寻求最优控制率，使系统的实际输出在给定的时间内跟踪某个指定的或未知的输入函数，并使性能指标最小。

最优输出跟踪的控制问题同样可分为有限时间最优输出跟踪和无限时间最优输出跟踪的问题。1.有限时间输出跟踪问题（1）能观的线性时变系统（6-55）150设

维的

为系统的期望跟踪输出，定义误差向量（6-56）2、性能指标（6-57）式中，各加杈矩阵均为相对应的正定对称矩阵。3、最优控制率终端时间

时，使性能指标式（6-57）为最小值的最优控制率（6-58）151式（6-58）中，是如下黎卡提矩阵微分方程（6-59）,及终端边界条件（6-60）的解。式（6-58）中，为

维向量，是如下向量微分方程（6-61）,及边界条件（6-62）的解。152（4）最优性能指标（6-63）式中，是如下方程（6-64）.及边界条件的解。（5）最优状态轨迹线是下式线性向量微分方程的解。1532.无限时间跟踪器问题当终端时刻为无穷，系统及性能指标中的各矩阵均为常值矩阵，则这种输出跟踪器称为无限时间跟踪器问题。.

这类跟踪器问题，目前还没有严格的求解方法。有关文献指出，当理想输出为常值向量时，工程上可应用下面的近似结果。能控能观的线性定常系统（6-67）性能指标

（6-68）式中，和为对称正定常值矩阵。154使性能指标式（6-68）最小的最优控制为（6-69）式中，是黎卡提代数方程（6-70）.的解。是如下向量微分方程（6-71）的解。155近似最优状态轨迹线，是下式线性向量微分方程（6-72）及初始条件解（本章完）156第七章状态空间分析法在工程中的应用第一节单倒置摆系统的状态空间设计第二节

第三节

液压伺服电机最优控制系统高精度直流调速系统的状态空间设计高精度直流调速系统的状态空间设计157

线性控制理论在工程设计中应用最广泛的是状态空间综合方法，也就是状态反馈与状态观测器的相关理论与方法。本章通过三个工程实例予以说明状态空间分析方法的具体应用。158

许多工业工程和军事工程中的运动控制系统，其控制思路和方法均来自于倒立摆的控制机理。例如，工业机器人行走的平衡控制、海洋钻井平台的稳定控制、火箭发射器的垂直控制和飞行器飞行的姿态控制等等。第一节单倒置摆系统的状态空间设计单倒置摆系统控制原理单倒置摆如图所示。设摆长为L，质量为m，用铰链安装在质量为M的小车上。159

若不给小车施加控制力，是一个不稳定系统。

控制的目的是，当倒置摆无论出现向左或向右倾倒时，通过控制直流电动机使小车在水平方向运动，将倒置摆保持在垂直位置上。160一、倒置摆的状态空间描述根据牛顿定律----倒置摆出现的偏角。由于绕摆轴旋转运动的惯性力矩应与重力矩平衡，因而有

是非线性方程。需作线性化处理。161小偏差线性化，可认为均接近零，此时有，且可急略项，于是有(7-4)(7-3)线性化处理：由式（7-3）、(7-4),

状态结构图如下162联立求解式(7-3)、(7-4)消去中间变量，可得输入量为输出量为的系统微分方程(7-5)(7-7)(7-6)163

选取小车的位移及其速度，摆的角及其角速度为状态变量，输出变量

为，系统的状态空间表达式为（7-8）164

设系统参数

上面参数代入状态空间方程式（7-8），则方程中的相关参数矩阵为（7-9）M=1Kg，m=0.1Kg,,g=9.81165二、被控对象特性分析1.能控性能控！2.稳定性分析：特征方程不稳定！三、系统的综合特征根采用全状态反馈，取为反馈信号，状态反馈控制规律为(7-12)式中166闭环系统的方程采用极点配置。希望闭环极点为-1,-2,-1+j,-1-j闭环系统的期望特征方程闭环系统的特征方程(7-14)(7-13)(7-15)比较式(7-14)和(7-15)，可得状态反馈系数为167状态反馈系统结构图168四、全维状态观测器设计取系统的全部状态变量作为反馈。先进行能观测性判定：可观测。由第五章全维状态观测器的动态方程式中，以G配置极点，决定状态向量估计误差衰减的速率。特征多项式期望特征多项式(7-18)(7-19)169令式(7-18),(6-19)同次项的系数相等，求得状态反馈系数170五、降维观测器设计

由于小车位移z可测，无需估计，可用降维观测器进行设计。重新排列系统状态变量次序，把需由降维观测器估计的变量与可观测的变量分开，则状态方程和输出方程为------------------------------------------------------（7-20a）（7-20b）171简记为被控系统子系统的动态方程一般形式为式中-----子系统输出量。（7-21）172子系统动态方程降维状态观测器动态方程的一般形式式中173降维观测器动态方程一般形式特征多项式期望极点-3,-2+j,-2-j;期望特征方程(7-26)(7-27)174用降维状态观测器实现状态反馈的结构图7-5175第二节高精度直流调速系统的状态空间设计

由晶闸管可控电源供电的直流电动机开环调速系统，如图7-6所示。图7-6

己知参数：电动机，额定电压220V,额定电流136A,额定转速1460一,电势常数0.132V.min/r，转矩常数1.2606N.m/A,允许过载系数1.5。晶闸管可控整流放大系数40,延时系数0.0017s。电枢回路总电阻0.5，电磁时间常数0.03s，电机轴上等效飞轮惯量22.5N.m^2。设计要求：动态指标,超调量5%,调节时间0.5s。稳态指标,阶跃输入、负载转矩突变化时,误差为零。1.被控对象的状态空间模型

由经典控制理论，图7-6对应的结构图如下图7-7。输入由图可得电动机开环调速系统的状态空间表达式图中，为扰动信号。选取状态变量,输出写成矩阵形式，并将已知参数代入2.被控对象特征分析稳定性分析,求得特征值为稳定能控性分析

能控3.系统的综合采用“状态反馈”加“积分器”的控制方法。将积分控制器的输出视为附加的状态变量，结构图如图7-8所示。图7-8对象状态方程动态方程为

控制器的控制率上式代入被控对象状态方程，则闭环系统的状态空间方程式中,(1)求两个期望闭环主导极点依动态性能要求值，有可求得两个期望闭环主导极点选择其余两个远离闭环主导极点的非主导极点，(2)闭环系统的特征方程依式（5-21）(3)令4.系统仿真性能分析.仿真参数：参考输入阶跃信号1200（转/分）。负载转矩在系统起动2秒后，突增为150N.m，而4秒后突降为50N.m。仿真结果如图7-9所示。由图7-9可见,系统完全达到了要求的动,静态性能指标。184第三节

液压伺服电机最优控制系统

液压伺服电机和交、直流电动机一样，是组成运动控制系统中最常用的执行部件，其控制系统广泛应用于工业生产、机械制造业、国防武器装备等行业。

现代控制理论问世以来，控制工程界的技术人员不断地采用各种先进的控制策略和算法应用于这类系统的设计，其中，采用二次型最化控制理论设计就是最常用且最成功的一种方法之一，许多实例表明，采用二次型最化控制理论设计的系统，有效地提高了系统的动、静态性能指标。185一、液压伺服最优系统的组成

液压伺服系统由液压电动机、油泵、伺服器、传感器、控制器等部件组成，如图所示。186

二、系统的数学模型由参考文献，系统的传递函数相应的状态空间表达式187相关参教式中，--液压缸位移与柱塞泵斜盘角的比例系数；--滑阀位移与输入电压的比例系数；--液压缸位移与伺服阀位移的比例系数；--变量泵的流量与柱塞泵斜盘角的比例系数；.--电动机弧排量；.--电动机高压腔侧容积；--活塞和负载的粘性阻尼系数；188--液体体积弹性模量；--电动机与负载折算至电动机轴上的总转动惯量。三、性能指标采用二次型指标由第六章第三节，使二次型性能指标最小的最优控制四、最优控制率

189五、系统性能当二次型性能指标中的加杈矩阵取值为时，系统单位阶跃响应如图所示系统性能：上升时间调节时间最大超调量可见，系统具有优良的性能，响应快，超调小，精度高。190完191第八章Matlab在《现代控制理论基础》中的应用

Matlab是美国MathWorks公司20世纪80年代中期推出的数学软件。在该公司的不断完善下,该软件至今已经发展成为适合多种学科,多工作平台的功能强大的大型软件。

在控制理论及系统领域中,可通过MatlabControlSystemToolbox(控制系统工具箱)中的“函数命令”,或Simulink软件包，对系统进行仿真、分析和设计。本章结合教材的最主要内容,介绍该软件的具体应用。192

MATLAB启动及操作界面MATLAB的启动方法有好几种。最常用的启动方法有两种。方法一：在桌面，一般会安装有一个快捷方式图标。双击该图标，就可以打开MATLAB的操作桌面。方法二：MATLAB的安装文件夹下也有一个快捷方式图标，双击该图标，也可以打开MATLAB的操作桌面。操作桌面如图所示。

194

一、数学模型的相互转换1.传递函数转换成状态空间方程

设系统传递函数用以下函数命令

，调用格式为其中，num、den分别是传递函数分子、分母的系数值。

可由传递函数的多项式型式，转换成其状态空间模型A,B,C,D矩阵中的值。例8-1已知系统传递函数，用Matlab转换成状态空间方程。在命令窗口,输入>>num=[2,6]；>>Den=[1,4,5,2]；>>按回车后,屏幕显示即状态空间方程为注意：(1)状态空间模型是不唯一的，Matlab仅给出了其中的一种。

(2)若传递函数为零、极点型式函数命令为其调用格式是或z、p,k分别是传递函数零、极点和放大系数值。还可以用其它的函数命令,例如,ss，调用格式为其中sys,可以是有理分式或零、极点形式。

2.状态空间方程转换成传递函数

用函数命令，调用格式是实现状态空间方程转换成传递函数。也可用tf()函数命令,调用格式是例8-2己知系统状态方程，用Matlab转换成传递函数。在命令窗口,输入>>A=[010;001;-4-8-5];>>B=[001];>>C=[150];>>D=[0];运行结果,屏幕显示Nnm=00.00005.00001.0000Den=1.00005.00008.00004.0000>>[num,den]=ss2tf(A,B,C,D)即系统的传递函数3.线性变换用函数命令，可实现状态空间模型的线性变换。调用语句或其中,分别为变换前、后的系统状态空间方程，是给定的非奇异变换矩阵。例8-3己知系统状态空间方程给定的非奇异变换矩阵求系统线性变换后的状态空间方程式。在命令窗口,输入>>A=[010;001;-6-11-6];>>B=[0;0;6];>>C=[1;0;0];>>D=[0];>>T=inv(111;-1-2-3;149);>>即状态空间方程为

（1）矩阵特征值计算Matlab提供直接计算矩阵特征值的命令函数，调入格式为是矩阵A的所有特征值构成的向量。显示结果A1=-1.0000-0.0000-0.00000.0000-