2026年北京市海淀区九年级数学月考提优高频考点诊断卷（聚焦数形结合与方程不等式含答案详解与评分标准）S3019

2026年北京市海淀区九年级数学月考提优高频考点诊断卷（聚焦数形结合与方程不等式，含答案详解与评分标准）S3019第页2026年北京市海淀区九年级数学月考提优高频考点诊断卷（聚焦数形结合与方程不等式，含答案详解与评分标准）S3019适用对象北京市海淀区九年级学生阶段性月考提优训练考试时间120分钟满分100分答题说明先独立完成试卷正文；参考答案与解析另页使用；所有结果保留最简形式。注意事项1.本卷共三大题，22小题。请在规定时间内完成，训练时建议一次成卷，便于发现薄弱环节。2.选择题用唯一正确答案作答；填空题只填写最终结果；解答题应写出必要的公式、代入、推理和结论。3.遇到函数图象与不等式问题，应优先标出交点、顶点、对称轴、端点和范围，再进行代数运算。4.答案与评分标准位于试卷后部，核对时关注解题方法、关键步骤和易错点。学校：______________班级：______________姓名：______________考号：______________

2026年北京市海淀区九年级数学月考提优高频考点诊断卷（聚焦数形结合与方程不等式，含答案详解与评分标准）S3019试卷正文学校：______________班级：______________姓名：______________考号：______________考试时间：120分钟满分：100分答题说明：本卷聚焦数形结合与方程、不等式。选择题请将答案填入答题栏；填空题写最简结果；解答题需写出关键步骤，不能只写答案。题型选择题填空题解答题合计题量与分值8题×3分=24分6题×3分=18分8题=58分100分一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分。每小题只有一个选项符合题意）1.（3分）不等式3(x−2)≤2x+5的解集是（）

A.x≤11B.x≥11C.x≤−1D.x>112.（3分）二次函数y=x²−4x+1的顶点坐标是（）

A.(−2,−3)B.(2,3)C.(2,−3)D.(4,1)3.（3分）若一元二次方程x²−6x+c=0有两个相等的实数根，则c的值为（）

A.3B.6C.9D.124.（3分）直线y=−x+4与直线y=2x−2的交点坐标是（）

A.(1,3)B.(2,2)C.(3,1)D.(2,−2)5.（3分）平面直角坐标系中，A(−1,2)，B(3,4)。以AB为直径的圆的圆心坐标为（）

A.(1,3)B.(2,1)C.(−2,3)D.(3,1)6.（3分）一次函数y=(m−2)x+1的图象随x的增大而减小，则m的取值范围是（）

A.m>2B.m<2C.m≥2D.m≤−27.（3分）根据抛物线y=x²−2x−3与x轴的交点，可知不等式x²−2x−3≤0的解集是（）

A.x≤−1或x≥3B.−1≤x≤3C.x<−1或x>3D.x≤38.（3分）一个长方形的周长为30，长比宽多3。若设宽为x，则x的值是（）

A.5B.6C.7D.9选择题答题栏：题号12345678答案二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分。请把答案填写在横线上）9.（3分）不等式5−2x≥1的解集为：__________。10.（3分）点P(a,3)在直线y=2x−1上，则a=__________。11.（3分）抛物线y=(x−1)²−4与y轴的交点坐标为：__________。12.（3分）方程x²−5x+6=0的两个根在数轴上对应的点之间的距离为：__________。13.（3分）数轴上A表示−2，B表示4，点P表示x且P在线段AB上。若PA=2PB，则x=__________。14.（3分）直线y=x−3与抛物线y=x²−2x−3的两个交点之间的距离为：__________。三、解答题（本大题共8小题，共58分。解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）15.（6分）解下列方程：（1）(x+1)/2−(x−2)/3=1；（2）2x²−5x−3=0。答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________16.（6分）解不等式组，并在数轴上表示它的解集，再写出它的所有整数解。不等式组：2x+1>−5，且(x−2)/2≤(x+1)/3。数轴表示提示：可在下方横线上标出端点、空心或实心点以及方向。数轴：__________|__________|__________|__________|__________答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________

17.（7分）如图形描述：直线l与两坐标轴围成第一象限内的直角三角形，直线l的解析式为y=−x+4。点P在直线l位于第一象限的线段上，过P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，矩形OMPN的面积为3。（1）设P(t,4−t)，写出t的取值范围；（2）求点P的坐标。答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________18.（7分）已知抛物线C_m：y=x²−2mx+m²−4。（1）写出抛物线的顶点坐标及与x轴的交点坐标；（2）若对任意x∈[1,3]，都有y≤0，求m的取值范围；（3）若m为整数，写出满足条件的所有m，并说明对应对称轴的位置。答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________

19.（8分）某班准备印制月考错题整理卡。甲方案按每份8元收费；乙方案先收60元制版费，再按每份5元收费。设印制x份。（1）分别写出甲、乙两种方案的费用y甲、y乙与x的关系式；（2）当印制多少份时，乙方案比甲方案便宜？（3）若预算不超过500元，为了印制尽可能多的整理卡，应选择哪种方案？最多可印制多少份？答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________20.（8分）矩形ABCD中，AB=10cm，BC=6cm。点P在AB上，AP=xcm；点Q在BC上，BQ=2xcm，其中0≤x≤3。连接P、Q。（1）用含x的式子表示△PBQ的面积S；（2）当S=21cm²时，求x的值；（3）若要求S≥16cm²，求x的取值范围。答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________

21.（8分）已知抛物线经过A(−1,0)、B(3,0)、C(0,−3)三点。（1）求该抛物线的解析式；（2）点M(t,y)在该抛物线上，以AB为底边的△ABM的面积为6，求t的值；（3）结合图象，直接写出不等式y≥0的解集。答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________

22.（8分）压轴综合：在平面直角坐标系中，抛物线y=x²−4x+3与x轴交于A、B两点，其中A在B的左侧。点M(t,y)在抛物线位于x轴下方的部分上，且1<t<3，过M作MN⊥x轴于N。（1）用含t的式子表示MN的长和△AMB的面积S；（2）当S≥3/4时，求t的取值范围；（3）过M作平行于x轴的直线，与抛物线的另一个交点为K。若MK=1，求点M的坐标。答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________答：________________________________________________________________________

2026年北京市海淀区九年级数学月考提优高频考点诊断卷（聚焦数形结合与方程不等式，含答案详解与评分标准）S3019参考答案与解析一、选择题答案表题号12345678答案ACCBABBB二、填空题答案表题号91011121314答案x≤22(0,−3)123√2——————————————————————————————————选择题解析与易错提醒1.A。3(x−2)≤2x+5，化简得3x−6≤2x+5，所以x≤11。易错点：移项后常把不等号方向误改；本题没有乘除负数，不需改变方向。2.C。y=x²−4x+1=(x−2)²−3，顶点为(2,−3)。易错点：配方时常把+1与−4合并错误。3.C。两个相等实数根要求判别式Δ=0，即(−6)²−4c=0，得c=9。易错点：不要把c当成根。4.B。联立−x+4=2x−2，得x=2，代入得y=2。易错点：交点坐标必须同时满足两条直线。5.A。以AB为直径的圆心是AB中点，坐标为((−1+3)/2，(2+4)/2)=(1,3)。易错点：中点公式要分别求横、纵坐标平均数。6.B。一次函数随x增大而减小，斜率m−2<0，所以m<2。易错点：只看常数项1无法判断增减性。7.B。x²−2x−3=(x+1)(x−3)，抛物线开口向上，函数值小于或等于0在两根之间，即−1≤x≤3。易错点：开口向上时根外为正，根间为非正。8.B。设宽为x，长为x+3，则2[x+(x+3)]=30，解得x=6。易错点：周长是长宽和的2倍。选择题评分标准：每题3分，选对得3分；错选、多选或不选得0分。填空题解析与易错提醒9.5−2x≥1，得−2x≥−4，两边同除以−2，不等号改变方向，得x≤2。10.点P(a,3)在y=2x−1上，代入得3=2a−1，所以a=2。11.y轴上x=0，代入y=(0−1)²−4=−3，交点为(0,−3)。12.x²−5x+6=(x−2)(x−3)，两根为2、3，数轴距离为|3−2|=1。13.因P在线段AB上，PA=x+2，PB=4−x。由x+2=2(4−x)，得x=2。14.联立x²−2x−3=x−3，得x²−3x=0，x=0或3。交点为(0,−3)、(3,0)，距离为√[(3−0)²+(0+3)²]=3√2。填空题评分标准：每题3分；结果正确得3分；结果未化简、坐标顺序错误或不等号方向错误，酌情扣1—3分。

——————————————————————————————————解答题参考答案、评分细则与易错提醒15.（6分）（1）通分：3(x+1)−2(x−2)=6，化简得3x+3−2x+4=6，所以x=−1。评分：3分：通分1分，化简1分，求出x=−11分。（2）2x²−5x−3=0，因式分解为(2x+1)(x−3)=0，所以x=−1/2或x=3。评分：3分：正确因式分解1分，列出两个一次方程1分，写出两个根1分。易错提醒：分母通分时要整体加括号；二次方程若只写一个根不得满分。16.（6分）由2x+1>−5得x>−3。评分：1分。由(x−2)/2≤(x+1)/3，去分母得3x−6≤2x+2，所以x≤8。评分：2分：去分母1分，解出x≤81分。两者取交集，解集为−3<x≤8。评分：1分。整数解为−2，−1，0，1，2，3，4，5，6，7，8。评分：1分。数轴表示：在−3处空心点，在8处实心点，中间连线。评分：1分。易错提醒：−3不能取，8可以取。17.（7分）点P在第一象限线段上，设P(t,4−t)，则t>0且4−t>0，所以0<t<4。评分：2分：坐标表达1分，范围1分。矩形OMPN的面积为t(4−t)=3。评分：1分。整理得t²−4t+3=0，即(t−1)(t−3)=0，得t=1或t=3。评分：2分。所以P的坐标为(1,3)或(3,1)。评分：1分。易错提醒：P的纵坐标是4−t，不是t−4；两个解都在0<t<4内，应全部保留。评分：1分。18.（7分）y=x²−2mx+m²−4=(x−m)²−4，顶点为(m,−4)，对称轴为x=m。评分：2分。令y=0，得(x−m)²=4，所以x=m−2或x=m+2，交点为(m−2,0)、(m+2,0)。评分：2分。抛物线开口向上，y≤0的区间为[m−2,m+2]。若对任意x∈[1,3]都有y≤0，则[1,3]应包含在[m−2,m+2]内。评分：1分。于是m−2≤1且m+2≥3，得m≤3且m≥1，所以1≤m≤3。评分：1分。当m为整数时，m=1，2，3；对应对称轴为x=1，x=2，x=3。易错提醒：本题要求整个区间[1,3]都在非正区域内，不能只检验端点某一个值。评分：1分。

19.（8分）（1）甲方案：y甲=8x；乙方案：y乙=60+5x。评分：2分：每个关系式1分。（2）乙比甲便宜：60+5x<8x，解得x>20。评分：2分：列不等式1分，解出x>201分。（3）预算不超过500元。甲：8x≤500，得x≤62.5，所以最多62份；乙：60+5x≤500，得x≤88，所以最多88份。评分：3分：甲、乙计算各1分，比较选择1分。因此应选择乙方案，最多可印制88份。易错提醒：份数必须为整数，不能写62.5份；比较最大份数时要同时满足预算。评分：1分。20.（8分）在矩形中，PB=AB−AP=10−x，BQ=2x，且PB⊥BQ。评分：2分。（1）S=1/2·PB·BQ=1/2·(10−x)·2x=x(10−x)。评分：2分。（2）S=21，即x(10−x)=21，整理得x²−10x+21=0，解得x=3或x=7。由0≤x≤3，取x=3。评分：2分。（3）S≥16，即x(10−x)≥16，整理得x²−10x+16≤0，解得2≤x≤8。结合0≤x≤3，得2≤x≤3。评分：2分。易错提醒：解方程或不等式后必须回到实际取值范围0≤x≤3。21.（8分）（1）抛物线过A(−1,0)、B(3,0)，设y=a(x+1)(x−3)。代入C(0,−3)，得−3a=−3