小学数学五年级下册“因数与倍数”单元整体教学设计（苏教版）

小学数学五年级下册“因数与倍数”单元整体教学设计（苏教版）

一、课标依据与核心理念分析

本单元教学设计严格依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“数与代数”领域的内容要求，聚焦于“数的认识”与“数的运算”主题，具体对应“理解因数、倍数的意义，知道2、3、5的倍数的特征，了解公因数和最大公因数、公倍数和最小公倍数”等学段目标。课程理念上，本设计秉承以下原则：

1.核心素养导向：超越单纯的知识记忆与技能训练，将教学设计锚定于学生数学核心素养的培育。具体而言，旨在发展学生的数感（对数与数之间关系的敏锐感知）、抽象能力（从具体情境中抽象出因数、倍数等数学概念）、推理意识（探索并表述因数、倍数特征中的规律）以及模型意识（运用因数、倍数知识解决实际问题）。

2.内容结构化：打破传统课时孤立教学的局限，以“因数与倍数”这一核心概念为纽带，对单元内容进行整体性、系统化重构。将因数、倍数、2/3/5的倍数特征、质数与合数、公因数与公倍数等知识点，视为一个相互关联、逐层深入的认知网络。

3.学科实践性：强调数学学习是一个主动的、探索性的“做数学”的过程。设计丰富的操作活动（如用小正方形拼摆长方形）、探究任务（如探索3的倍数特征）、问题解决情境（如优化分组方案），引导学生在“做中学”、“思中悟”，积累数学活动经验。

4.跨学科视野：有意识地将数学概念与计算机科学（如算法中的模运算）、音乐（节奏的循环周期）、艺术（图案的对称与重复）、自然科学（细胞分裂、周期现象）等领域建立联系，展现数学作为基础学科的广泛渗透力，激发学生内在的学习动机。

二、学情诊断与认知起点分析

五年级下学期的学生，其认知发展正处于从具体运算阶段向形式运算阶段过渡的关键期。针对本单元内容，进行如下学情分析：

1.知识基础：学生已经熟练掌握了表内、表外乘除法运算，理解了乘除法算式中各部分的名称及相互关系，具备良好的整数乘除运算能力。这是建构因数、倍数概念最直接、最重要的认知起点。

2.经验基础：在日常生活和之前的学习中，学生隐性地接触过“平均分”、“分组”、“排列”等涉及因数倍数思想的情境，但尚未形成明确的数学概念。

3.思维特点：具备一定的观察、比较、归纳能力，能够发现简单的数字规律。但对于需要逆向思考（如根据乘积想乘数）、抽象概括（如从众多算式中提炼因数倍数的定义）以及同时考虑多个条件（如既是2又是3的倍数）的复杂问题，可能存在思维挑战。

4.潜在迷思：易混淆“因数”与“除法中的商”，“倍数”与“乘法中的积”；容易认为一个数的因数个数有限而倍数个数也有限；在判断质数合数时，可能忽略“1”的特殊性；寻找公因数、公倍数时易遗漏。

三、单元整体教学目标

基于课标与学情，设定本单元三层级教学目标：

（一）知识与技能目标

1.理解因数与倍数的意义，掌握找一个数的因数与倍数的方法，能有序、完整地找出一个数的所有因数和指定范围内的倍数。

2.探索并掌握2、5、3的倍数的特征，能准确、迅速地判断。

3.认识质数、合数，理解质因数的概念，会分解质因数。

4.理解公因数、最大公因数、公倍数、最小公倍数的意义，掌握求两个数最大公因数和最小公倍数的基本方法。

5.能综合运用本单元知识解决简单的实际问题。

（二）过程与方法目标

1.经历从具体乘法算式中抽象出因数、倍数概念的过程，发展抽象概括能力。

2.在探索2、5、3倍数特征的活动中，体验观察、猜想、验证、归纳的数学探究基本方法。

3.通过用小正方形拼摆不同长方形的操作活动，建立“形”与“数”之间的联系，深化对因数概念的理解，感受数形结合思想。

4.在解决“如何合理分组”、“何时同时到达”等实际问题的过程中，初步学会将实际问题抽象为数学问题（求最大公因数或最小公倍数），建立数学模型，提升应用意识。

（三）情感、态度与价值观目标

1.在探究数学规律的过程中，感受数学的严谨性与趣味性，增强学好数学的信心。

2.体会因数、倍数知识与现实生活的紧密联系，认识数学的应用价值。

3.在合作交流与分享中，学会倾听、质疑与反思，培养科学的探究精神和协作意识。

四、单元整体设计思路与课时安排

本单元设计遵循“概念建构—特征探索—概念分化—关系拓展—综合应用”的认知逻辑主线，将教材内容整合为五个教学模块，共安排8-9课时。

模块

核心内容

关键问题/任务

主要数学思想方法

课时安排

模块一：概念初建

因数与倍数的意义；求一个数的因数与倍数。

1.如何从乘法算式中理解两个数的“相互依存”关系？

2.怎样才能有序、不重复、不遗漏地找到一个数的所有因数？

抽象概括、有序思考

2课时

模块二：特征探秘

2、5、3的倍数的特征。

1.为什么判断2、5的倍数只看个位，而3的倍数要看各位数字之和？

2.如何通过探索活动发现并理解3的倍数特征？

观察归纳、猜想验证

2课时

模块三：概念分化

质数、合数、质因数、分解质因数。

1.自然数除了按奇偶性分类，还能按什么标准分类？

2.如何把一个合数“拆解”成质数相乘的形式？

分类思想、分解与组合

2课时

模块四：关系拓展

公因数、最大公因数、公倍数、最小公倍数。

1.如何用数学方法解决“最长等分”和“最短重合”两类实际问题？

2.列举法、筛选法、短除法之间有什么联系？

模型思想、优化思想

2课时

模块五：综合应用

单元整理与复习；综合实践活动。

1.如何构建本单元的知识网络图？

2.如何设计一个运用本单元知识的跨学科小项目？（如“音乐中的数学节奏”）

综合应用、跨学科联系

1-2课时

五、教学资源与环境准备

1.教具与学具：多媒体课件（交互式动画，如动态拼摆长方形）、小正方形磁贴或学具袋（每生不少于12个）、百数表挂图/学习单、数字卡片、任务单。

2.技术支撑：可考虑使用图形计算器或编程环境（如Scratch）演示枚举因数的算法，或动态展示公倍数现象。

3.环境创设：教室墙面可布置“神奇的质数”、“生活中的因数倍数”主题海报。组建4-6人合作学习小组，配备白板或大张白纸用于讨论展示。

六、教学实施过程详案（重点模块）

模块一：因数与倍数的意义（第1-2课时）

课时一：概念的抽象与建立

（一）情境导入，激活经验

1.问题情境：学校体操队进行队列训练，要求每排人数相等。如果有12名队员，可以排成每排几人的整齐队列？请用学具小正方形代表队员，动手摆一摆，并用一道乘法算式表示你的摆法。

2.学生操作探究：学生用12个小正方形拼摆不同的长方形（如1×12，2×6，3×4），并记录对应的算式。

3.汇报交流：师引导：“每排摆几个，摆了几排，就能排成一个长方形。从这些乘法算式中，你能发现乘数、积之间有什么关系吗？”聚焦于如“3×4=12”这一算式，引出：3和4都是12的乘数，而12是3和4相乘的积。

（二）概念建构，理解关系

1.揭示概念：在数学上，对于整数乘法算式a×b=c（a、b、c均为非零自然数），我们说：a和b是c的因数，c是a和b的倍数。

2.多元表征：

1.3.语言表征：同桌互相说一说“在3×4=12中，谁是谁的因数，谁是谁的倍数”。

2.4.符号表征：介绍“12是3的倍数，也可以记作3∣12”（渗透整除符号，但不作强制要求）。

3.5.关系表征：强调“因数与倍数是相互依存的，不能单独存在”。通过判断题强化，如“3是因数，12是倍数”这种说法对吗？为什么？

6.概念辨析：讨论“在1×12=12中，1和12都是12的因数，12是1和12的倍数”，理解一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数最小的倍数是它本身。

（三）方法探究，寻找因数

1.任务驱动：除了12，你能找出18的所有因数吗？怎样才能找得“有序、完整、不遗漏”？

2.小组策略探索：学生尝试。教师巡视，收集典型方法（无序列举、成对寻找、从1开始试除等）。

3.方法优化与建模：

1.4.展示“成对寻找”的思路：1×18=18，2×9=18，3×6=18。发现找到“3×6”后，再试4、5都不行，试到6时与前面重复，即可停止。停止的“信号”是什么？（当出现重复或接近时）

2.5.引导归纳步骤：从1开始，一一试除，能整除的除数和商就是一对因数，直到商小于或等于除数为止。

3.6.数形结合深化：回顾用12个小正方形拼长方形的活动，每一种长方形的长和宽，就是12的一对因数。将“找因数”的过程可视化、几何化。

7.巩固练习：找出24、36的所有因数，并观察因数的个数有什么特点，为后续学习质数合数埋下伏笔。

课时二：寻找倍数与特征初探

（一）迁移方法，寻找倍数

1.对比启思：找一个数的因数和倍数，方法有什么不同？（因数有限，从1找起，成对出现；倍数无限，用这个数依次乘1、2、3……）

2.明确表示：找一个数的倍数，通常用列举法，并在后面加省略号。如2的倍数有：2，4，6，8，10……

3.基础练习：写出7、8的5个倍数。

（二）特征初探，建立联系

1.观察发现：出示百数表，让学生在表中圈出2的倍数。观察这些数，它们在排列上有什么规律？（都是2列，即个位上是0,2,4,6,8）

2.解释理解：为什么2的倍数特征看个位？结合位值制解释：一个数，无论十位、百位是什么，都可以看作“几个十+个位数”。而“几个十”肯定是2的倍数（10=2×5），所以整个数是不是2的倍数，就由“个位数”决定。

3.定义奇偶数：自然数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。介绍0也是偶数。

4.类比猜想：让学生用不同颜色笔在百数表中圈出5的倍数，观察特征（个位是0或5），并尝试用类似2的倍数的方式解释。

（三）综合应用，巩固概念

设计层次性练习：

1.基础辨析：判断“15是3的倍数，3是15的因数”等说法。

2.综合运用：一个长方形的面积是24平方厘米，长和宽都是整厘米数，这样的长方形有几种？长和宽分别是多少？（回到“形”的背景，运用找因数知识解决）

3.拓展思考：一个数既是36的因数，又是4的倍数，这个数可能是多少？（初步接触复合条件的问题）

模块二：2、5、3的倍数特征（第3-4课时）

课时三：3的倍数特征深度探究

（一）制造冲突，激发疑问

1.回顾2、5的倍数特征（看个位）。

2.提问：判断一个数是不是3的倍数，也能看个位吗？举例：13、26、49个位是3、6、9，它们是3的倍数吗？验证发现不是。制造认知冲突。

3.揭示课题：3的倍数特征肯定和2、5不同，它到底藏有什么秘密？

（二）合作探究，发现规律

1.活动一：数据积累

小组合作，在百数表中圈出所有3的倍数，列出前20个3的倍数，记录在小组白板上。

2.活动二：观察猜想

观察这些3的倍数，它们的个位有规律吗？（没有）十位呢？（也没有）。引导学生多角度观察：可以试着将每个数的各位数字相加看看。如3，6，9，12（1+2=3），15（1+5=6）…

3.提出猜想：一个数各位上的数字之和如果是3的倍数，那么这个数就是3的倍数。

4.活动三：验证猜想

1.5.正向验证：各小组分工，验证百数表内外的更多3的倍数（如123，456，2019等），计算其数字和，看是否都是3的倍数。

2.6.反向验证（举反例）：找一个不是3的倍数的数（如14，22，38），计算其数字和，看是否都不是3的倍数。

3.7.初步解释：教师借助计数器或小棒模型进行直观演示。例如，用12根小棒表示12，1捆（10根）可以分成9根和1根，9根是3的倍数，所以整个12是不是3的倍数，取决于“1捆分剩下的1根”和个位的2根之和（1+2=3）。推广到任意数，一个数可以看成几个百、几个十、几个一，而99、9都是3的倍数，所以最终取决于各位数字之和。

（三）巩固应用，对比梳理

1.快速判断练习。

2.在□中填数字，使三位数成为3的倍数。讨论有几种填法，渗透有序思考。

3.对比梳理2、5、3的倍数特征，形成知识结构：2、5的倍数特征关注“个位”的独立性（与10进制中10是2和5的倍数有关），3的倍数特征关注“各位和”的整体性（与10进制中9是3的倍数有关，10≡1(mod3)）。为学有余力的学生渗透“模运算”思想。

课时四：综合练习与奇偶性拓展

1.综合判断练习：同时是2和3的倍数、2和5的倍数、3和5的倍数、以及2、3、5的倍数的数的特征。

2.奇偶性拓展探究：

1.3.操作：任意两个自然数相加，得出和，判断和的奇偶性。记录多组数据。

2.4.猜想：奇数+奇数=？偶数+偶数=？奇数+偶数=？

3.5.验证与解释：利用“偶数个物体可以两两配对，奇数个会多出一个”的生活模型或点子图进行解释。

4.6.推广：奇偶性在加法运算中的规律。可以简单介绍乘法中的规律（奇数×奇数=奇数等）。

7.解决实际问题：如密码锁问题、开关灯问题（奇数次改变状态，偶数次恢复原状），感受奇偶性分析这一数学工具的魅力。

模块四：公因数与公倍数（第7-8课时）

课时七：公因数与最大公因数

（一）情境问题，引出概念

1.现实问题：储藏室长16分米，宽12分米。如果用边长是整分米的正方形地砖铺满（要求用整块砖），可以选择边长是多少分米的地砖？最大是几分米？

2.建模分析：

1.3.引导学生理解题意：“铺满”、“整块”意味着正方形的边长必须能同时整除16和12，即必须是16和12公有的因数。

2.4.学生先独立列举16和12各自的因数，再找出公有的因数：1，2，4。其中最大的是4。

3.5.得出结论：可以选择边长1dm、2dm、4dm的地砖，最大是4dm。

6.抽象概念：1，2，4既是16的因数，也是12的因数，它们是16和12的公因数。其中4最大，是它们的最大公因数。介绍最大公因数的表示法：（16，12）=4。

（二）方法探究，优化策略

1.方法一：列举法（如上）。优点是直观，适用于较小数。

2.方法二：筛选法。先找出较小数（12）的所有因数，再从这些因数中筛选出也能整除较大数（16）的因数，其中最大的就是最大公因数。

3.方法三：短除法（重点教学）。

1.4.几何直观引入：回到铺地砖问题，边长4分米的正方形，正好是长边铺4块（16÷4），宽边铺3块（12÷4）。这个“4”是如何从16和12中“提取”出来的？

2.5.算法建构：讲解短除法的步骤：用公有的质因数（从最小的开始）依次去除，直到所得的商互质为止。将所有除数相乘，积就是最大公因数。

3.6.理解算理：利用乘法分配律或长方形面积模型解释：16和12的最大公因数4，相当于从它们中“提取”出的最大公共因子。短除的过程就是不断提取公共质因数的过程。

7.对比三种方法，体会短除法在求较大数或复杂情况时的优越性。

（三）巩固应用，理解意义

1.基础练习：求几组数的最大公因数。

2.变式练习：已知A=2×3×5，B=2×5×7，求（A,B）。将最大公因数的概念从“数”拓展到“分解质因数的形式”，深化理解。

3.实际问题：“把两根彩带剪成同样长的小段，且没有剩余……”理解此类“等分、最长”问题，实质是求最大公因数。

课时八：公倍数与最小公倍数

（一）类比迁移，引入概念

1.情境问题：小华每6天去一次游泳馆，小明每8天去一次。某天他们同时去了，至少过多少天他们会再次同时去？

2.建模分析：他们再次同时去的天数必须是6的倍数，也是8的倍数，即6和8公有的倍数。列举6和8的倍数，找到公有的倍数：24，48……其中最小的是24。所以至少过24天。

3.抽象概念：24，48……是6和8的公倍数。其中24最小，是它们的最小公倍数。表示法：[6，8]=24。

（二）方法探究，沟通联系

1.方法一：列举法。

2.方法二：大数翻倍法。先写出较大数（8）的倍数，再从中找出也是较小数（6）的倍数的最小数。

3.方法三：短除法。

1.4.对比教学：与求最大公因数的短除法对比。步骤前半部分相同（用公有质因数除），但最终的最小公倍数需要将“所有的除数和最后的商”连乘。

2.5.算理理解：最小公倍数必须包含两个数所有的质因数。公有质因数在短除过程中被“提取”到除数里，独有的质因数留在最后的商里。相乘时，公有质因数只乘一次（在除数里），独有质因数都要乘上。

6.探究关系：给出多组数（如6和8，12和18，5和7），让学生分别求出它们的最大公因数和最小公倍数，观察并尝试发现：两个数的乘积=最大公因数×最小公倍数。利用分解质因数的形式进行解释，深化对两个概念内在联系的理解。

（三）综合应用，模型建立

1.区分两类问题模型：

1.2.“分割”型（最大公因数模型）：将整体（物品、长度）等分，求每份最大是多少。

2.3.“聚合”型（最小公倍数模型）：不同个体按各自周期运动，求它们再次重合或同时发生所需的最短时间。

4.设计对比练习，让学生先判断属于哪类模型，再选择方法解答。

5.拓展思考：如果三人同时去，求至少多少天三人再次同去？（求三个数的最小公倍数），初步接触方法。

七、学习评价设计

本单元评价贯穿教学始终，采用形成性评价与总结性评价相结合的方式。

1.课堂观察评价：设计《课堂参与度观察表》，关注学生在操作、讨论、汇报等环节的表现，评价其动手能力、合作意识、表达能力和思维品质。

2.作业与练习评价：

1.3.基础达标作业：确保全体学生掌握核心知识与技能。

2.4.探究性作业：如“研究4、25的倍数特征与2、5的倍数特征有何联系？”、“调查身份证号码中的校验码与因倍数的关系”。

3.5.跨学科项目作业：小组合作完成“设计一个基于最小公倍数原理的循环灯光秀方案”或“分析一首乐曲中节拍与最小公倍数的关系”。

6.单