高三二轮高效复习讲义数学专题突破解析几何微点突破13离心率的范围（最值）

微点突破13离心率的范围(最值)▶对应学生用书P101【考情分析】圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁.重点1利用圆锥曲线的定义求离心率的范围(2025·甘肃白银二模)已知椭圆C：x2a12＋y2b12＝1a1＞b1>0与双曲线E：y2a22－x2b22＝1a2>0A.1 B.1C.13 D.解析：选A.设椭圆的焦点为F1－c，0，F2c，0，双曲线的焦点为F30根据椭圆、双曲线、正方形的对称性可知，两曲线位于第一象限的公共点为Pm，则PF1＝PF3＝m＋c2所以｜｜PF3｜－｜PF4｜｜＝｜｜PF1｜－｜PF2｜｜，所以e2－e1＝2cPF1－即e2－e1＝4c(m－c)2当且仅当c＝m时取等号.[规律方法]此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于a，b，c的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围.对点练1.(1)已知F是椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的一个焦点，若过原点的直线与椭圆交于A，B两点，且∠AFB＝120A.［32，1) B.(0，3C.［12，1) D.(0，1解析：选C.设椭圆左、右焦点分别为F1，F，连接F1A，F1B，由椭圆及直线的对称性知，四边形AFBF1为平行四边形，且∠AFB＝120°，∠FAF1＝60°，在△AFF1中，｜FF1｜2＝｜AF｜2＋｜AF1｜2－2｜AF｜·｜AF1｜cos∠FAF1＝(｜AF｜＋｜AF1｜)2－3｜AF｜·｜AF1｜，所以(｜AF｜＋｜AF1｜)2－｜FF1｜2＝3｜AF｜·｜AF1｜≤3｜AF｜＋AF1｜22，可得14(｜AF｜＋｜AF1｜)2≤｜FF1｜2即a2≤4c2，则e＝ca≥1又椭圆的离心率e∈(0，1)，所以椭圆的离心率e∈12(2)已知F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，点P是右支上一点，且∠F1PF2＝π3，设∠PF1F2＝θ，当双曲线C的离心率取值范围为(62，3)时，θ的取值范围为(A.(0，π12) B.(π12，C.(π6，π3) D.(π12解析：选B.在△F1PF2中，由e＝ca＝2c2a＝｜F1F2｜因为e∈62，3，所以cos(π6＋θ)∈(1所以π6＋θ∈π4，π3，重点2利用圆锥曲线的性质求离心率范围(1)(2025·山西临汾一模)已知双曲线x2a2－y2b2＝1a>0，b>0的左、右焦点为F1，F2，若M是双曲线左支上的一点，且3MA.2 B.3C.4 D.5解析：选C.作图，设MF1＝m，MF则有3n＝5m，n－m＝2a，解得m＝3a，因为M是双曲线左支上的一点，所以m≥c－a＞0，即3a≥c－a，解得e＝ca≤4所以此双曲线离心率的最大值是4.(2)(2025·贵州黔东南模拟)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在该椭圆上，若满足△PF1F2为直角三角形的点P共有8个A.(22，1) B.［22，C.(0，22) D.(0，2解析：选A.如图，因为使△PF1F2为直角三角形的点P有8个，所以在△OBF2中，必有∠OBF2＞45°，即OF2＞OB，所以c＞b⇒c2＞b2，即c2＞a2－c2⇒c2a2＞12，可得e＞22.又椭圆的离心率e＜对点练2.(1)(2025·内蒙古赤峰模拟)已知双曲线H：x2a2－y2b2＝1a>0，b>0，若直线x＋y＝0与A.0，2 BC.1，2 D解析：选C.因为渐近线方程为y＝－bax且y＝－x的斜率为－1，所以－ba≥－1，则ba≤1，所以离心率e＝ca＝1+b2a2≤2，(2)已知P为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上一点，F1，F2为椭圆焦点，且｜PF1｜＝3｜PF2A.0，13 C.0，12 解析：选D.由P为椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上一点，｜PF1｜＋｜又｜PF1｜＝3｜PF2｜，所以｜PF2｜＝a2又a－c≤｜PF2｜≤a＋c，即a－c≤a2≤a＋c即a－c≤a2，a2≤a＋c重点3利用几何图形的性质求范围(1)(2025·山西大同一模)已知椭圆C：x24＋y2b2＝10<b<2，A(－12，0)，B(1，0).若椭圆C上存在3个不同的点P满足PB＝2PA，A.(0，22) B.(0，3C.(22，1) D.(33，解析：选C.设P(x，y)，由PB＝2PA，得(x－1)2＋y2＝2(x＋12)2即点P的轨迹是以点(－1，0)为圆心，1为半径的圆，则该圆与椭圆C有3个交点，由x2＋y2+2x=0，b2x2+4y2=4b2消去y得(4－b2)x2＋8x＋4b显然－2是方程的一个解，点(－2，0)是圆与椭圆的1个公共点，因此－2b2则－2＜2b2b2－4＜0，解得b2＜2，所以椭圆C的离心率e＝1－(2)(2025·黑龙江哈尔滨一模)已知圆C1：x2＋y2＝b2与椭圆C2：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，若在椭圆C2上存在一点P，过P点能作圆C1的两条切线，切点为A，B，且∠APB＝π2，则椭圆A.(0，22］ B.［22，C.(0，12］ D.［12，解析：选B.由题可知，在椭圆C2上存在一点P，使得∠APB＝π2由对称性可知，∠APB＝2∠APO，sin∠APO＝OAOP＝bOP≥ba，∠APO所以当点P位于长轴端点时，∠APO最小，只需当点P位于长轴端点时，∠APO≤π4，即ba≤22，故e＝1又0＜e＜1，所以椭圆C2离心率的取值范围为22[规律方法]利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的关系.对点练3.(1)已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a，b＞0)上存在关于原点中心对称的两点A，B，以及双曲线上的另一点C，使得△ABC为正三角形A.2，＋∞ C.2，＋∞ D.(2解析：选A.由题意可知，双曲线的渐近线方程为y＝±bax设点A(x，y)，因为△ABC为正三角形，所以OA⊥OC，且｜OC｜＝3｜OA｜，则可取C3y则x2a2－y2b解得b2＞a2，即c2－a2＞a2，可得c2a2＞2，则e＝ca＝所以该双曲线离心率的取值范围是2，(2)已知双曲线C：y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)的上，下焦点分别为F1、F2，P是C的上支上的一点(不在y轴上)，PF2与x轴交于点A，△PAF1的内切圆在边AF1上的切点为B，若AB＞2b，则A.(1，52) B.(52，＋C.(1，32) D.(32，＋解析：选A.设该内切圆在PF1，PA上的切点分别为D，E，由切线长定理可得AB＝AE，PD＝PE，F1B＝又PF2－PF1＝2a，AF1＝AF2，则PA即2AB＝2a，解得AB＝a，由AB＞2b，即a＞2b，得ba＜12，所以e＝1+b[课下巩固检测练(四十二)]离心率的范围(最值)(单选题、填空题每题5分，多选题每题6分)一、单选题1.(2025·江西模拟)若双曲线C：x2a2－y2b2＝1a>0，b>0的一条渐近线(过第一、三象限)A.0，2 BC.(0，233) D.(1，解析：选D.由题意知，0＜ba＜33，则e＝ca＝1+2.若椭圆上存在点P，使得P到椭圆两个焦点的距离之比为2∶1，则该椭圆的离心率e的取值范围是()A.［33，1) B.(0，3C.13，1 解析：选C.由题可设点P到椭圆两个焦点的距离分别为2m，m，所以2m＋m＝2a，得到m＝23a又m≥a－c，所以23a≥a－c，得到c≥13所以e≥13，又0＜e＜1，故13≤e＜3.(2025·山西太原一模)已知△ABC的三条边长分别为3，4，5，△ABC的两个顶点是椭圆E的焦点，另一个顶点在椭圆E上，则E的离心率的最大值为()A.13 B.C.57 D.解析：选C.已知△ABC的三条边长分别为3，4，5，因为32＋42＝52，所以△ABC是直角三角形.设△ABC的两个顶点为椭圆E的焦点，另一个顶点在椭圆E上.情况一：若焦距2c＝3，则椭圆上一点到两焦点距离之和2a＝4＋5＝9.此时离心率e1＝ca＝2c2a＝情况二：若焦距2c＝4，则椭圆上一点到两焦点距离之和2a＝3＋5＝8.此时离心率e2＝ca＝2c2a＝情况三：若焦距2c＝5，则椭圆上一点到两焦点距离之和2a＝3＋4＝7.此时离心率e3＝ca＝2c2所以椭圆E的离心率的最大值为574.(2025·河北秦皇岛三模)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，过C的右焦点的直线l交C于A，B两点，若存在直线l使得｜AB｜＝a2，A.［12，1) B.［22，C.［33，1) D.［32，解析：选D.法一：设C的右焦点坐标为(c，0)，长轴是过C的右焦点的最长弦，当直线l不垂直于y轴时，设直线l的方程为x＝ty＋c，由x＝ty＋c，b2x2＋a2y2＝a2b2消去x得(b2t2＋a2)y2＋2b2cty－b4＝0，y1＋y2＝－2b2ctb2t2＋a2，y1y2＝－b4b2t2＋a2，则｜AB｜＝依题意，a2≥2b2a，解得b2a2≤14，则C的离心率e＝法二：因为椭圆中的焦点弦中通径最短，所以｜AB｜＝a2≥2b2a，解得b2a2≤14，则C的离心率e＝5.画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条互相垂直直线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心，以长半轴和短半轴平方和的算术平方根为半径的圆，称该圆为椭圆的蒙日圆.设A，B为椭圆E：x2＋y2a＝1(a＞1)上的两个动点，动点P在直线3x＋4y－10＝0上，若∠APB∈0，π2恒成立，则EA.(0，63) B.(33，C.13，1 解析：选A.根据题意，得椭圆E的蒙日圆方程为x2＋y2＝a＋1，其上任意一点向椭圆C所引的两条切线互相垂直，因此当直线3x＋4y－10＝0与圆x2＋y2＝a＋1相离时，∠APB∈0，由a+1＜0+0－1032＋42所以离心率e＝1－1a6.设F1，F2为椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1a＞b>0与双曲线C2公共的左、右焦点，它们在第一象限内交于点M，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且MF1＝2.若椭圆C1的离心率e∈［38A.54，53 B.［C.1，4 D解析：选D.因为F1，F2为椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)与双曲线C2的公共的左、右焦点，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形设MF2＝F1F2＝2c(c＞0)，由椭圆C1的离心率e∈［即e＝F1F2MF1＋MF2＝2c2+2c∈［3由点M在第一象限，得双曲线C2的离心率e'＝F1F2MF1－MF2＝二、多选题7.已知双曲线C：x2λ+6－y23－λ＝A.λ的取值范围是(－6，3)B.C的焦点可在x轴上也可在y轴上C.C的焦距为6D.C的离心率e的取值范围为(1，3)解析：选AC.对于A，因为x2λ+6－y2所以(λ＋6)(3－λ)＞0，解得－6＜λ＜3，故A正确；对于B，由A项可得－6＜λ＜3，故λ＋6＞0，3－λ＞0，所以C的焦点只能在x轴上，故B错误；对于C，设C的焦距为2c(c＞0)，则c2＝λ＋6＋3－λ＝9，所以c＝3，即焦距2c＝6，故C正确；对于D，离心率e＝3λ因为－6＜λ＜3，所以0＜λ+6＜3所以e的取值范围是(1，＋∞)，故D错误.8.已知椭圆Γ1：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，将Γ1上所有点的横坐标与纵坐标分别伸长到原来的k(k＞0，k≠1)倍得到椭圆Γ2A.若t＞0，则ba＜B.若Γ1，Γ2的离心率分别为e1，e2，则e1＝e2C.若Γ1，Γ2的周长分别为C1，C2，则C2＝CD.若Γ1的四个顶点构成的四边形面积为｜F1F2｜24，则Γ1解析：选AB.设点(x'，y')为椭圆Γ2上任意一点，则由题意知x即x'k＝x，y'k＝y，所以椭圆Γ2的方程为(x')2k2a2＋(y'因为a＞b＞0，t＞0，所以ba＜b＋ta＋由已知得，e1＝a2－b2a，e2＝ka2－由已知得，Γ1∽Γ2，其相似比为1∶k，所以C1C2＝1k，所以C2因为k＞0，k≠1，所以C错误；设c＝a2－b2，因为Γ所以12·2a·2b＝(2c)24，所以所以2aa2－c2＝c2，所以e4＋4e2－所以e2＝－4+42－4×(－4)2＝2(三、填空题9.(2025·河北秦皇岛三模)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1a>0，b>0的左焦点为F，直线l经过点F与C的左、右两支各有一个交点，若解析：由题意可得双曲线C：x2a2－y2b2＝1a由对称性不妨设直线l与渐近线y＝－bax垂直时，由题意可得直线l的斜率为a又直线l与双曲线C的左、右两支各有一个交点，则ab＜b所以a2＜b2，所以a2＜c2－a2，所以2a2＜c2，所以2＜c2a2，即2＜e2，解得e所以C的离心率的取值范围为2，答案：210.(2025·四川成都三模)设椭圆E：x2a2＋