2025-2026学年重庆市忠县高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年重庆市忠县高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.设全集U={-1，1，2，3}，集合A={2，3}，B={x|x2-2x-3=0}，则∁U（A∩B）=（）A.{1} B.{-1} C.{1，2，3} D.{-1，1，2}2.已知复数z满足，则z的虚部为（）A.1 B.​​​​​​​

C.​​​​​​​ D.i3.已知向量.若，则x=（）A.-1 B.0 C.1 D.24.圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）.当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为26°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为73°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a,则表高（即AC的长）为（）

A. B. C. D.5.对于平面α、β、γ和直线a、b、m、n，下列命题中真命题是（）A.若a⊥m，a⊥n，m⊂α，n⊂α，则a⊥α

B.若a∥b，b⊂α，则a∥α

C.若α∥β，α∩γ=α，β∩γ=b，则a∥b

D.若α⊥β，a⊂α，则a⊥β6.某校高二年级16个班参加朗诵比赛的得分如下：

858687888990919192939394959799100

则这组数据的下四分位数为（）A.88 B.88.5 C.89 D.90.57.已知对于任意的x∈R，都有f（x+1）=f（1-x）成立，且f（x）在（-∞，1）上单调递减，则不等式f（log2x）＜f（-2）的解集为（）A. B. C. D.8.在三棱锥S-ABC中，若，AB=BC=AC=2，二面角S-AC-B为，则三棱锥S-ABC外接球的半径为（）A. B. C. D.2二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.抛掷两枚大小相同质地均匀的骰子，设事件A表示“第一枚掷出的点数为偶数”，事件B表示“第二枚掷出的点数为奇数”，事件C表示“两枚骰子掷出的点数之和为6”，事件D表示“第二枚掷出的点数比第一枚大5”，则下列说法中正确的有（）A.A与B是相互独立事件 B.A与B是互斥事件

C.A∩B与C是对立事件 D.10.已知，则下列结论中正确的是（）A. B.

C. D.tanα=-311.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P满足，则下列结论正确的是（）A.当时，

B.若且，则当PA+PE取得最小值时，

C.当时，平面A1BP截正方体所得的截面的面积为

D.若点P在以B1C的中点O为球心，为半径的球面上，则点P的轨迹的长度为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知正四棱台ABCD-A′B′C′D′的体积为14，若AB=2，A′B′=4，则正四棱台ABCD-A′B′C′D′的高为______.13.已知，，，则在方向上的投影向量的模长为

.14.已知函数，若函数y=f（f（x））有8个零点，则实数a的取值范围为

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f（x）=2cos（ωx+θ）（ω＞0，0＜θ＜π）的最小正周期为π，且.

（1）求函数f（x）的解析式，并写出f（x）的最大值；

（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位得到g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间.16.(本小题15分)

如图，已知正三角形ABC的边长为1，D是AB的中点，设.

（1）用，表示向量；

（2）求与的夹角的余弦值.17.(本小题15分)

市有关部门为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成[75，85），[85，95），[95，105），[105，115），[115，125]这五组，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）估计样本成绩的平均数及方差；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）

（2）某工作人员使用简单随机抽样从中抽取部分再研究，其中成绩[75，85）的答卷有2份，成绩[115，125]的答卷有3份，再从这5份中随机抽取2份进行详细分析，求从这5份答卷中取2份时，既有[75，85）的答卷也有[115，125]的答卷的概率.18.(本小题17分)

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,已知3asinC=4ccosA，.

（1）求sinA；

（2）如图，线段AC上点M使得AB⊥BM，且△BCM的面积为，求证：MB=MC；

（3）在第（2）问的条件下，若P为线段BC上的动点，求PM+PA的最小值.19.(本小题17分)

在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面VAB.

（1）求证：平面VBC⊥平面VAB；

（2）记平面VCD与平面VAB的交线为l,试证明：l∥CD；

（3）若VA⊥VB，2AB=BC，求平面VCD与平面VAB所成锐二面角的余弦值的最大值.

1.【答案】D

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】A

9.【答案】AD

10.【答案】ACD

11.【答案】ABD

12.【答案】

13.【答案】

14.【答案】．

15.【答案】，最大值为2

16.【答案】

17.【答案】平均数为100，方差为104

18.【答案】

证明：因为AB⊥BM，由（1）可知cosA=，sinA=，

所以∠BMC=+A，所以sin∠BMC=cosA=，cos∠BMC=-

设MB=m，MC=n，又a=，

所以△BCM的面积为==，

所以mn=5，

又根据余弦定理可得cos∠BMC==-，

所以m2+n2=10，结合mn=5，

解得m=n=，

所以MB=MC

19.【答案】证明：已知底面ABCD为矩形，故BC⊥AB，

因为平面ABCD⊥平面VAB，AB为两平面的交线，

又因为BC⊂平面ABCD，且BC⊥AB，

所以BC⊥平面VAB