吉林省榆树市第一高级中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学（理）试题

高二联考数学试卷（理）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。试卷满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1）、开始答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名。2）、将选择题用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔将答案答在答题卡上对应的答题区域内，在试卷上作答无效。3）、考生必须保持答题卡的整洁。第I卷一、选择题（本大题包括12题，每小题5分，共60分）1.已知函数且，则的值为()A1 B2 C D22.已知函数是可导函数，且，则()ABCD3.已知复数，则共轭复数()ABCD4.设随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，若P(ξ<2a3)=P(ξ>a+2)，则a的值为()A B C5 D35.若随机变量X～B(100，p)，X的数学期望E(X)=24，则p的值是()A B C D6.若实数满足，则()A都小于0 B都大于0C中至少有一个大于0 D中至少有一个小于07.设,，…，是变量和的个样本点，直线是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的是()A和的相关系数为直线l的斜率B和的相关系数在0到1之间C当为偶数时，分布在两侧的样本点的个数一定相同D直线过点()8.()ABCD9.某大学安排5名学生去3个公司参加社会实践活动，每个公司至少1名同学，安排方法共有多少种。（）A60B90C120D15010.设则Sk+1=()A BC D11.如图是2018年元宵节灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是()ABCD12.已知函数的导数是，若，都有成立，则()ABCD第II卷二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分）13.展开式中不含x4项的系数的和为14.两名狙击手在一次射击比赛中，狙击手甲得1分、2分、3分的概率分别为0.4，0.1，0.5；狙击手乙得1分、2分、3分的概率分别为0.1，0.6，0.3，那么两名狙击手获胜希望大的是．15.甲、乙、丙三名同学在考试中只有一名同学得了满分。当他们被问到考试谁得了满分时，回答如下。甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说的是真话。事实证明，在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么满分同学是16.已知P(x0，y0)是抛物线y2＝2px(p>0)上的一点，过P点的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在y2＝2px两边同时求导，得：2yy′＝2p，则y′＝，所以过P的切线的斜率：.试用上述方法求出双曲线在P处的切线方程为_________.三、解答题（本大题包括6小题，共70分）17.（本题满分10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，直线的参数方程为(为参数)．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)写出直线的普通方程以及曲线的极坐标方程；(2)若直线与曲线的两个交点分别为，直线与轴的交点为，求的值．18.(满分10分)已知函数，求：（1）函数的图象在点处的切线方程；（2）的单调递减区间．19.某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别是和.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.（1）求至少有一种新产品研发成功的概率；（2）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获得利润100万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望.20.已知函数讨论的单调性。如果，求的取值范围。在一次数学测验后，班级学委对选答题的选题情况进行统计，如下表：几何证明选讲极坐标与参数方程不等式选讲合计男同学124622女同学081220合计12121842在统计结果中，如果把几何证明选讲和极坐标与参数方程称为“几何类”，把不等式选讲称为“代数类”，我们可以得到如下2×2列联表.几何类代数类合计男同学16622女同学81220合计241842能否认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关，若有关，你有多大的把握？在原始统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从选做不同选答题的同学中随机选出7名同学进行座谈．已知这名学委和2名数学课代表都在选做“不等式选讲”的同学中．①求在这名学委被选中的条件下，2名数学课代表也被选中的概率；②记抽取到数学课代表的人数为X，求X的分布列及数学期望E(X)．下面临界值表仅供参考：P(K2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822.已知函数(1)若求实数a的取值范围；(2)证明：

高二联考数学试卷（理）答案考试时间：120分钟卷面总分：150分一、选择题（本大题包括12题，每小题5分，共60分）1.已知函数且，则的值为()(A)1 (B)2 (C) (D)2【解析】选D.因为f′(x)=acosx，所以f′(π)=acosπ=a=2,所以a=2，故选D.2.已知函数是可导函数，且，则()ABCD【解析】选C3.已知复数，则共轭复数()ABCD【解析】选B4.设随机变量ξ服从正态分布N(3,4)，若P(ξ<2a3)=P(ξ>a+2)，则a的值为()(A) (B) (C)5 (D)3【解析】选A.正态曲线关于直线x=3对称，而概率表示它与x轴所围成的面积，∴，∴a=.5.若随机变量X～B(100，p)，X的数学期望E(X)=24，则p的值是()(A) (B) (C) (D)【解析】选C．∵X～B(100,p),∴E(X)=100p.又∵E(X)=24,∴24=100p,6.若实数a,b满足a+b<0，则()(A)a,b都小于0 (B)a,b都大于0(C)a,b中至少有一个大于0 (D)a,b中至少有一个小于0【解析】选D.假设a,b都不小于0，即a≥0,b≥0，则a+b≥0，这与a+b<0相矛盾，因此假设错误，即a,b中至少有一个小于0.7.设(x1,y1),(x2,y2)，…，(xn,yn)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论中正确的是()(A)x和y的相关系数为直线l的斜率(B)x和y的相关系数在0到1之间(C)当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同(D)直线l过点()【思路点拨】根据最小二乘法的有关概念：样本点的中心、相关系数、线性回归方程的意义等进行判断．【解析】选D.在A中，相关系数用来衡量两个变量之间的相关程度，直线的斜率表示直线的倾斜程度，它们的计算公式也不相同，故A不正确；在B中，相关系数的值有正有负，还可以是0；当相关系数在0到1之间时，两个变量为正相关，在1到0之间时，两个变量负相关，故B不正确；在C中，l两侧的样本点的个数分布与n的奇偶性无关，也不一定是平均分布，故C不正确；由回归直线方程的计算公式可知直线l必过点()，故D正确.8.()ABCD【解析】选B利用定积分几何意义和积分性质。9.某大学安排5名学生去3个公司参加社会实践活动，每个公司至少1名同学，安排方法共有多少种。（）A60B90C120D150【解析】选D.10.设则Sk+1=()(A) (B)(C) (D)选C.由已知得因此11.如图是2018年元宵节灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是()【解析】选A.观察可知：该五角星对角上的两盏花灯(相连亮的看成一盏)依次按顺时针方向隔一盏闪烁，故下一个呈现出来的图形是A.12.已知函数的导数是，若，都有成立，则()ABCD【解析】选D二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分）13.展开式中不含x4项的系数的和为【解析】选B.∵展开式中各项的系数的和为展开式的通项为∴x4项为即x4项的系数为1.∴不含x4项的系数的和为11=0.14.两名狙击手在一次射击比赛中，狙击手甲得1分、2分、3分的概率分别为0.4，0.1，0.5；狙击手乙得1分、2分、3分的概率分别为0.1，0.6，0.3，那么两名狙击手获胜希望大的是．【解析】答案：乙利用数学期望验证.15.甲、乙、丙三名同学在考试中只有一名同学得了满分。当他们被问到考试谁得了满分时，回答如下。甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说的是真话。事实证明，在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么满分同学是【解析】答案：甲可发现乙说的是假话.16.已知P(x0，y0)是抛物线y2＝2px(p>0)上的一点，过P点的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在y2＝2px两边同时求导，得：2yy′＝2p，则y′＝，所以过P的切线的斜率：.试用上述方法求出双曲线在P处的切线方程为_________.【解析】用类比的方法对两边同时求导得，∴切线方程为答案:三、解答题（本大题包括6小题，共70分）17.（本题满分10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，直线的参数方程为(为参数)．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)写出直线的普通方程以及曲线的极坐标方程；(2)若直线与曲线的两个交点分别为，直线与轴的交点为，求的值．解(1)直线l的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1－\f(\r(2),2)t，,y＝\f(\r(2),2)t))(t为参数)，消去参数t，得x＋y－1＝0．曲线C的参数方程为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2cosθ，,y＝2＋2sinθ))(θ为参数)，利用平方关系，得x2＋(y－2)2＝4，则x2＋y2－4y＝0．令ρ2＝x2＋y2，y＝ρsinθ，代入得C的极坐标方程为ρ＝4sinθ．(2)在直线x＋y－1＝0中，令y＝0，得点P(1，0)．把直线l的参数方程代入圆C的方程得t2－3eq\r(2)t＋1＝0，∴t1＋t2＝3eq\r(2)，t1t2＝1．由直线参数方程的几何意义，|PM|·|PN|＝|t1·t2|＝1．18.(满分10分)已知函数，求：（1）函数的图象在点处的切线方程；（2）的单调递减区间．（1）；（2）【解析】（1）∵∴，∴，又，∴函数的图象在点处的切线方程为，即。（2）由（1）得，令，解得或。∴函数的单调递减区间为。19.某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别是和.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.（1）求至少有一种新产品研发成功的概率；（2）若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获得利润100万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望.解：记E＝{甲组研发新产品成功}，F＝{乙组研发新产品成功}，由题可知 ,，，.且事件E与F，E与，与，与都相互独立.(1)记H＝{至少有一种新产品研发成功}，则，于是，故所求概率为.（2）设企业可获利润为（万元），则的可能取值为0，100，120，220.又因，，，.故所求分布列为X0100120220P数学期望为.20.已知函数讨论的单调性。如果，求的取值范围。解：（1）求导得：当时，恒成立，所以在上是增函数，当时，令，则①当时，，所以在上是减函数；②时，，所以在上是增函数。（2）由（1）可知，时，，解得又由于综上所述：21.在一次数学测验后，班级学委对选答题的选题情况进行统计，如下表：几何证明选讲极坐标与参数方程不等式选讲合计男同学124622女同学081220合计12121842(1)在统计结果中，如果把几何证明选讲和极坐标与参数方程称为“几何类”，把不等式选讲称为“代数类”，我们可以得到如下2×2列联表.几何类代数类合计男同学16622女同学81220合计241842能否认为选做“几何类”或“代数类”与性别有关，若有关，你有多大的把握？(2)在原始统计结果中，如果不考虑性别因素，按分层抽样的方法从选做不同选答题的同学中随机选出7名同学进行座谈．已知这名学委和2名数学课代表都在选做“不等式选讲”的同学中．①求在这名学委被选中的条件下，2名数学课代表也被选中的概率；②记