公式法课件2025-2026学年北师大版数学八年级下册

4.3公式法第四章

因式分解北师大版(2024)素养目标2.能够综合运用提公因式法和公式法对多项式进行因式分解.1.能够正确识别适合运用公式法因式分解的多项式，会运用公式法进行因式分解；知识回顾我们已经学过了哪一种分解因式的方法？提公因式法(1)8m2n+2mn=_____________；(2)12xyz-9x2y2=_____________；(3)p(a2+b2)-q(a2+b2)=_____________；

(4)-x3y3-x2y2-xy=_______________；2mn(4m+1)3xy(4z-3xy)(a2+b2)(p-q)-xy(x2y2+xy+1)把下列各式分解因式:探究新知填空：(1)(x+5)(x-5)=________；(2)(3x+y)(3x-y)=_________；x2-259x2-y2填空：(1)x2

-25=

；(2)9x2

-

y2=

；(x+5)(x-5)(3x+y)(3x-y)左边：两数的平方差的形式右边：两数之和与两数之差的积.左边：两数之和与两数之差的积右边：两数的平方差的形式平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2平方差公式的逆用：a2-b2=(a+b)(a-b)

归纳总结a2-b2=(a+b)(a-b)(a+b)(a-b)=a2-b2

整式的乘法因式分解平方差公式整式乘积的形式两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.【注意】符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成：()2

()2的形式.

例题练习把下列各式因式分解：(1)25－16x2；(2)9a2－

b2.

1

原式＝5²

－

4x²＝5＋4x5－4x

解：a²－

b²＝

(a＋b)(a－

b)a²－

b²＝

(a＋

b)(a－

b)

2

原式＝(3a)²

－

b²

＝3a＋b3a－

b

例题练习把下列各式因式分解：(1)2x3－8x；(2)9(m＋n)2－(m－n)2.当多项式有公因式时，要先提取公因式，再看能否利用平方差公式进行因式分解.解:

1

原式＝2x3

－

8x＝2x

x²－4

＝2x

x²－2²

＝2x

x－2x＋2

例题练习把下列各式因式分解：(1)2x3－8x；(2)9(m＋n)2－(m－n)2.解：2

原式＝[3(m＋n)]²－

m－n

²＝[3m＋n

＋

m－n][3m＋n

－

m－n]＝3m＋3n＋m－n3m＋3n－m＋n

＝(4m＋2n)(2m＋4n)=4(2m＋n)(m＋2n)注意：公式a2

b2

(a+b)(a

b)中的a，b可以表示数、单项式、多项式.归纳总结【注意】（1）若用平方差公式分解后的结果中有公因式，一定要再用提公因式法继续分解.（2）分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．探究新知如图，在一张边长为

acm的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为

bcm的正方形，求剩余部分的面积.当

a＝3.6，b＝0.8时，剩余部分的面积是多少？解：根据题意，得剩余部分的面积为(a2－4b2)cm2.当

a＝3.6，b＝0.8时，a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b)＝(3.6＋2×0.8)×(3.6－2×0.8)＝5.2×2＝10.4.即此时面积为10.4cm2.探究新知整式的乘法因式分解完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2整式的乘法因式分解归纳总结a2±2ab＋b2＝(a±b)2(a±b)2＝a2±2ab＋b2整式乘法因式分解两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.2ab+b2±=(a±b)²a2首2+尾2±2×首×尾(首±尾)2例题练习把下列完全平方式因式分解：(1)x2＋14x＋49；(2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9.解：(1)

x2＋14x＋49＝

x2＋2×7x＋72

＝

(x＋7)2；(2)(m＋n)2-6(m＋n)＋9＝(m＋n)2-2·(m＋n)·3＋32＝(m＋n-3)2.例题练习把下列各式因式分解：(1)3ax2＋6axy＋3ay2；(2)－x2－4y2＋4xy.解：(1)3ax2＋6axy＋3ay2＝

3a(x2＋2xy＋y2)＝3a(x＋y)2；(2)-x2-4y2＋4xy＝-(x2＋4y2-4xy)＝-(x2-4xy＋4y2)＝-[x2-2·x·2y＋(2y)2]＝-(x-2y)2.归纳总结公式法根据因式分解与整式乘法的关系，我们可以利用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫作公式法.整式的乘法因式分解归纳总结因式分解的一般步骤：一提——看有无公因式，若有，则提取公因式；二套——考虑是否可用公式法因式分解，两项考虑平方差公式，三项考虑完全平方公式；三检查——检查是否分解彻底，若没有，则继续因式分解.