提公因式法课件2025-2026学年北师大版数学八年级下册

4.2提公因式法第四章

因式分解北师大版(2024)素养目标2.能运用提公因式法将多项式分解因式，提升运算能力.1.理解公因式及提公因式法的概念，能确定多项式的公因式；知识回顾把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫作因式分解.因式分解也可称为分解因式.什么叫作因式分解？x2-y2

(x+y)(x-y)因式分解整式乘法填空：x2-1=(x+1)()x-1探究新知多项式ab+cb各项都含有相同的因式吗？多项式3x2+x呢？多项式mb2+nb-b呢？多项式项各项都含有的相同因式ab+cbab，cbb3x2+x3x2，xxmb2+nb-bmb2，nb，-bb【总结】我们把多项式各项都含有的相同因式，叫作这个多项式各项的公因式.探究新知ab+cb；3x2+x；mb2+nb-b尝试将这几个多项式分别写成几个因式的乘积.逆用乘法对加法的分配律，可以把公因式提到括号外边作为积的一个因式，从而将多项式化成两个因式乘积的形式ab+cb=

；3x2+x=

；mb2+nb-b=

.b

a+c

x3x+1

b

mb+n-1

多项式各项都含有的相同因式ab+cbb3x2+xxmb2+nb-bb探究新知【思考】多项式2x2＋6x3中各项的公因式是什么？1.找系数的最大公约数2.找相同字母3.找相同字母的最低指数确定公因式：2x22x2一般地，当多项式的各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的___________，字母应取各项______的字母，且_______字母的指数取次数________的．最大公约数相同相同最低探究新知你能尝试将多项式2x2＋6x3因式分解吗？第一步：找出公因式；第二步：提取公因式

，即将多项式化为两个因式的乘积.2x2＋6x3＝2x2·1＋2x2·3x＝2x2(1＋3x)归纳总结提公因式法如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种因式分解的方法叫作提公因式法.2x2＋6x3＝2x2(1＋3x)因式分解单项式乘多项式例题练习把下列各式因式分解：(1)2mn+4m2；(2)7p2-21p；(3)8a3b2-12ab3c+ab；(4)-24x3+12x2-28x.解：(1)2mn＋4m2＝2m·n＋2m·2m＝2m(n＋2m)；(2)

7p2－21p＝7p·p－7p·3＝7p(p－3)；(3)8a3b2－12ab3c＋ab＝ab·8a2b－ab·12b2c＋ab·1＝ab(8a2b－12b2c＋1)

；当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“－”号，使括号内第一项的系数成为正数.在提出“－”号时，多项式的各项都要变号.(4)－24x3＋12x2－28x＝－(24x3－12x2＋28x)＝－(4x·6x2－4x·3x＋4x·7)＝－4x(6x2－3x＋7).例题练习把下列各式因式分解：(1)a(x－3)＋2b(x－3)；(2)y(x＋1)＋y2(x＋1)2.分析：把“x–3”“x+1”都看作一个整体进行因式分解.解：(1)a(x－3)＋2b(x－3)＝(x－3)·a＋(x－3)·2b＝(x－3)(a＋2b)；(2)y(x＋1)＋y2(x＋1)2＝y(x＋1)·1＋y(x＋1)·y(x＋1)＝y(x＋1)[1＋y(x＋1)]＝y(x＋1)(xy＋y＋1).例题练习把下列各式因式分解：(1)a(x－y)＋b(y－x)；(2)6(m－n)3－12(n－m)2.分析：“x－y”与“y－x”互为相反数；“m－n”与“n－m”互为相反数.解：(1)a(x－y)＋b(y－x)＝a(x－y)－b(x－y)＝(x－y)(a－b).(2)6(m－n)3－12(n－m)2＝6(m－n)3－12(m－n)2＝6(m－n)2(m－n－2).归纳总结提公因式法因式分解的注意事项：1.当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“－”号，使括号内第一项的系数为正数，在提出“－”号时，多项式各项都变号；2.多项式有几项，提公因式后所剩的因式也有几项，由此可以检验是否漏项；3.若多项式各项中含有互为相反数的因式，则可将互为相反数的因式先统一成相同的因式；若多项式各项中含有相同的多项式因式，则将其看成一个整体，不要拆开.探究新知如图，有三张不同型号的长方形卡片.能，选择卡片①和②，可以拼成一个长方形，长为

a＋b，宽为

n.(1)你能选择其中两张卡片拼成一个长方形吗？探究新知能，拼成的长方形长为

a＋b，宽为

m＋n.(2)你能用这三张卡片拼成一个长方形吗？探究新知(3)依据(1)(2)拼图的过程及结果，你能写出哪些多项式的因式分解？你是怎样想的？an＋bn＝n

a＋b

m(a＋b)＋an＋bn＝(m＋