2026年中考数学全真模拟卷二（完整版）

2026年中考数学全真模拟卷二（完整版）考试时间：100分钟|满分：120分考生须知：本试卷共三大题——选择题（10题，30分）、填空题（6题，18分）、解答题（6题，72分）。请将答案写在答题卡指定位置。一、选择题（共10题，每题3分，共30分）【第1题】（原创·实数运算）下列计算正确的是（）A.2a+3a=5a²B.a²·a³=a⁶C.(a²)³=a⁵D.a⁶÷a²=a⁴答案：D解析：A应为2a+3a=5a；B应为a²·a³=a⁵；C应为(a²)³=a⁶；D正确，同底数幂相除，指数相减。考点：整式的运算——合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方。口诀：“同底幂乘指数加，同底幂除指数减，幂的乘方指数乘。”【第2题】（原创·一元二次方程）已知关于x的一元二次方程x²−4x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A.k<4B.k≤4C.k>4D.k≥4答案：A解析：Δ=(−4)²−4×1×k=16−4k>0⇒k<4。考点：一元二次方程根的判别式Δ=b²−4ac。【第3题】（原创·二次函数顶点）二次函数y=−2x²+4x+1的顶点坐标是（）A.(1,3)B.(−1,−5)C.(1,−1)D.(2,1)答案：A解析：x₀=−b/(2a)=−4/(2×(−2))=1；y₀=−2×1²+4×1+1=3。或配方：y=−2(x−1)²+3。考点：二次函数顶点坐标公式x=−b/(2a)。【第4题】（原创·反比例函数·k的几何意义）如图，点A在反比例函数y=k/x（k>0）的图象上，AB⊥x轴于B，若△AOB的面积为4，则k的值为（）A.2B.4C.8D.16答案：C解析：S△AOB=|k|/2=4⇒|k|=8。k>0⇒k=8。考点：反比例函数k的几何意义——三角形面积=|k|/2。【第5题】（原创·二次函数性质）已知二次函数y=(k−1)x²+2x+3的图象开口向下，则k的取值范围是（）A.k>1B.k≥1C.k<1D.k≤1答案：C解析：开口向下⇒a<0⇒k−1<0⇒k<1。考点：二次函数开口方向由二次项系数决定。【第6题】（原创·不等式组）不等式组2x−3≤1且3x+2>−4的解集是（）A.−2<x≤2B.x>−2C.x≤2D.−2≤x<2答案：A解析：2x−3≤1⇒x≤2；3x+2>−4⇒x>−2。取交集：−2<x≤2。考点：一元一次不等式组的解法。【第7题】（原创·圆的性质）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过C作⊙O的切线交AB的延长线于点P。若∠CAB=30°，则∠P的度数为（）A.15°B.30°C.45°D.60°答案：B解析：连接OC。OC⊥PC。OA=OC⇒∠OCA=∠OAC=30°。∠AOC=120°。∠COP=60°。Rt△OCP中∠P=30°。考点：切线的性质——圆的切线垂直于过切点的半径。【第8题】（原创·圆周角定理）如图，在⊙O中，弦AB=弦AC，∠BAC=40°，则∠BOC的度数为（）A.40°B.80°C.140°D.160°答案：B解析：∠BOC=2∠BAC=80°。考点：圆周角定理——同弧所对圆心角等于圆周角的2倍。【第9题】（原创·统计量）一组数据：3,5,2,6,4。下列说法正确的是（）A.中位数是4B.众数是5C.平均数是4.5D.方差是0答案：A解析：排序：2,3,4,5,6。中位数是4。每个数出现一次，无众数。平均数=4。方差≠0。考点：中位数、众数、平均数、方差的概念辨析。【第10题】（原创·概率计算）一个不透明的口袋中装有3个红球和2个白球，除颜色外完全相同。从口袋中随机摸出两个球，恰好摸到一个红球和一个白球的概率为（）A.2/5B.3/5C.3/10D.6/25答案：B解析：总数C(5,2)=10。1红1白：C(3,1)×C(2,1)=6。概率=6/10=3/5。考点：不放回抽样的古典概型概率计算。二、填空题（共6题，每题3分，共18分）【第11题】（原创·因式分解）因式分解：x²−4y²=__。答案：(x+2y)(x−2y)考点：平方差公式a²−b²=(a+b)(a−b)。【第12题】（原创·一次函数）若一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，则k0，b0。（填“>”“<”或“=”）答案：k<0，b>0解析：过一、二、四象限⇒与y轴正半轴相交(b>0)，从左向右下降(k<0)。考点：一次函数k、b的符号与图象经过象限的关系。【第13题】（原创·解直角三角形）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=6，则AB=__。答案：12解析：30°角所对直角边=斜边一半⇒AB=2×6=12。考点：含30°角直角三角形的性质。【第14题】（原创·统计）甲、乙两人进行射击训练，每人射击10次，平均成绩都是8.5环，方差分别为S²甲=0.6，S²乙=1.2，则射击成绩较稳定的是__。答案：甲解析：方差越小，数据越稳定。S²甲<S²乙⇒甲更稳定。考点：方差的意义——衡量数据波动大小。【第15题】（原创·几何计算）菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=60°，则对角线AC的长为__。答案：4√3解析：△ABC是等边三角形（AB=BC，∠ABC=60°），AC=4。或：菱形对角线互相垂直平分，在Rt△ABO中（O为对角线交点），AB=4，∠ABO=30°，AO=AB·sin30°=2，AC=2AO=4，再验证∠ABC=60°时AC是否为4。实际上等边三角形AC=4。但菱形∠ABC=60°，则△ABC是等边三角形，AC=AB=4，不是4√3。修正：菱形ABCD，∠ABC=60°，则△ABC是等边三角形（AB=BC），AC=AB=4。若求的是另一对角线BD，则BD=4√3。此处答案为4。考点：菱形的性质——四边相等，对角线互相垂直平分。【第16题】（原创·函数图象交点）一次函数y=2x+b与反比例函数y=6/x的图象有两个交点，则b的取值范围是__。答案：b为任意实数解析：联立2x+b=6/x⇒2x²+bx−6=0。Δ=b²+48>0恒成立，且两根之积=−3≠0。故对任意b，总有两个交点。考点：函数图象交点⇔方程根⇔判别式。三、解答题（共6题，共72分）【第17题】（原创·10分）计算：（1）（5分）(π−3)⁰+|−3|−√9+(−1)²⁰²⁶（2）（5分）先化简，再求值：(x+2)(x−2)−x(x−1)，其中x=3。解析：（1）原式=1+3−3+1=2。（π−3)⁰=1，|−3|=3，√9=3，(−1)²⁰²⁶=1。（2）原式=x²−4−x²+x=x−4。当x=3时，原式=3−4=−1。考点：零指数幂、绝对值、平方根、整式乘法公式。【第18题】（原创·10分）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。求证：DE=DF。证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C。∵D为BC中点，∴BD=CD。在Rt△BDE和Rt△CDF中，∠B=∠C，BD=CD，∠BED=∠CFD=90°，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（AAS）。∴DE=DF。考点：全等三角形的判定（AAS）与性质。【第19题】（原创·12分）某商店销售一种商品，进价为每件40元。市场调查发现：按每件50元销售，每月能售出500件；售价每涨1元，月销量减少10件。设售价为x元，月利润为y元。（1）（5分）求y关于x的函数关系式（写出x的取值范围）；（2）（7分）售价定为多少元时，月利润最大？最大利润是多少？解析：（1）单件利润=x−40（元）。月销量=500−10(x−50)=1000−10x（件）。y=(x−40)(1000−10x)=−10x²+1400x−40000。（4分）x>40且1000−10x>0⇒x<100，故40<x<100。（1分）（2）y=−10(x²−140x)−40000=−10(x−70)²+9000。（4分）∵a=−10<0，∴当x=70时，y取最大值9000。（2分）答：售价定为70元时，月利润最大，最大利润为9000元。（1分）考点：二次函数建模——利润最大化问题。【第20题】（原创·12分）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD:DB=2:3，△ADE的面积为8。（1）（4分）求证：△ADE∽△ABC；（2）（8分）求△ABC的面积。解析：（1）∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C。∴△ADE∽△ABC（两角相等）。（4分）（2）AD:AB=AD:(AD+DB)=2:5。相似三角形面积比=相似比的平方=(2/5)²=4/25。（4分）S△ABC=8÷(4/25)=8×25/4=50。（4分）考点：相似三角形的判定与性质——面积比=相似比的平方。【第21题】（原创·14分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8。点P从A出发，沿AC以每秒1个单位的速度向C运动；同时点Q从C出发，沿CB以每秒2个单位的速度向B运动。当其中一点到达终点时，另一点也停止运动。设运动时间为t秒。（1）（4分）当t为何值时，△PCQ的面积最大？最大面积是多少？（2）（5分）当t为何值时，PQ的长度最小？最小长度是多少？（3）（5分）是否存在t，使得△PCQ与△ABC相似？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由。解析：（1）AP=t，CQ=2t。PC=6−t（0≤t≤4，因Q到B需4秒，P到C需6秒，Q先到）。S△PCQ=½·PC·CQ=½(6−t)·2t=t(6−t)=−t²+6t=−(t−3)²+9。当t=3时，S最大=9。（4分）（2）PQ²=PC²+CQ²=(6−t)²+(2t)²=5t²−12t+36。当t=12/(2×5)=1.2时，PQ²最小=5×1.44−14.4+36=28.8。PQ最小=√28.8=12/√5=12√5/5。（5分）（3）△PCQ∽△ACB（∠C公共）或△PCQ∽△BCA。情况一：PC/AC=CQ/BC⇒(6−t)/6=2t/8⇒t=2.4。情况二：PC/BC=CQ/AC⇒(6−t)/8=2t/6⇒t=18/11≈1.64。均满足0≤t≤4。存在，t=2.4或18/11。（5分）考点：动点问题——二次函数最值+勾股定理+相似三角形存在性。【第22题】（原创·14分）如图，抛物线y=−x²+2x+3与x轴交于A(−1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,3)，顶点为D(1,4)。（1）（4分）求四边形ABDC的面积；（2）（4分）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PBC的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。（3）（6分）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PBC为等腰三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由。解析：（1）S四边形ABDC=S△ABC+S△BDC。S△ABC=½×4×3=6。D(1,4)到BC(y=−x+3)的距离=|1+4−3|/√2=√2。BC=3√2。S△BDC=½×3√2×√2=3。总面积=9。（4分）（2）对称轴x=1。作C关于x=1的对称点C‘(2,3)。BC’方程：y=−3x+9。与x=1交于P(1,6)。此时PB+PC最小。P为所求。（4分）（3）设P(1,p)。PB²=4+p²，PC²=1+(p−3)²，BC²=18。分三种情况：PB=PC⇒4+p²=1+(p−3)²⇒p=1⇒P₁(1,1)。PB=BC⇒4+p²=18⇒p=±√14⇒P₂(1,√14)，P₃(1,−√14)。PC=BC⇒1+(p−3)²=18⇒p=3±√17⇒P₄(1,3+√17)，P₅(1,3−√17)。存在5个点P。（6分）考点：二次函数综合——面积+最短路径（将军饮马）+等腰三角形存在性（分类讨论）。参考答案速查表题号答案题号答案1D12k<0,b>02A13123A14甲4C1545C16b为任意实数6A17(1)2；(2)−17B18证明见解析8B19(1)y=−10x²