小学五年级数学下册《因数与倍数》核心素养深度建构教学设计

小学五年级数学下册《因数与倍数》核心素养深度建构教学设计

一、教材与学情分析：基于核心概念的精准定位

（一）教材分析：承上启下的整数性质探究【重要】【基础】

本课内容隶属于人教版小学数学五年级下册第二单元《因数与倍数》，是小学阶段“数与代数”领域的重要基石。它是在学生已经掌握了非零自然数的认识、四则运算（特别是除法中整除与有余数除法的区分）的基础上进行教学的，是对整数性质认识的第一次系统拓展。本单元内容不仅是后续学习分数运算（约分、通分、最大公因数、最小公倍数）的必要前提，更是学生从算术思维向初等数论初步的抽象逻辑思维过渡的关键一环。本设计聚焦于第二单元的核心概念突破，旨在帮助学生厘清概念间的内在联系，构建系统的知识网络，摒弃零散的记忆，实现理解的深刻化与结构化。

（二）学情研判：从生活经验走向数学抽象【重要】

五年级学生正处于具体运算思维向形式运算思维过渡的阶段，他们具备了一定的归纳和类比能力，但对于“整除”背景下概念的相互依存性（如因数和倍数不能单独存在）仍感抽象，容易在日常生活中产生混淆（如将“倍数”与“倍”混为一谈）。学生在生活中接触过“排队分组”、“因数配对”等朴素经验，这为概念的同化提供了锚点。然而，本单元概念密集（因数、倍数、2、3、5倍数的特征、奇数、偶数、质数、合数），学生在面对概念辨析（如质数与奇数、合数与偶数的交叉关系）和综合应用时，往往因缺乏系统性梳理而产生思维障碍。因此，教学的着力点在于通过结构化活动和变式训练，促进概念的深度内化与灵活运用。

二、教学目标与重难点：指向核心素养的多元整合

（一）教学目标

1.知识与技能【基础】【高频考点】：使学生进一步巩固因数、倍数、质数、合数、奇数、偶数等概念，深刻理解其内涵；熟练掌握2、3、5倍数的特征，并能准确判断；能熟练地找出100以内自然数的因数及倍数，明确一个数因数的个数是有限的，倍数的个数是无限的。

2.过程与方法【核心素养】：引导学生经历“自主整理—合作交流—展示修正”的过程，学习用网络图、集合图等工具梳理知识，建构“因数与倍数”的知识体系，渗透分类、对应、数形结合等数学思想，提升抽象概括与逻辑推理能力。

3.情感态度与价值观【育人价值】：在探究与辨析中，感受数学概念的严谨性与逻辑美，体验合作学习的乐趣，养成科学整理、精益求精的学习习惯，通过对“完全数”、“哥德巴赫猜想”等数学文化的渗透，激发探索数学奥秘的持久兴趣。

（二）教学重难点【难点】【高频考点】

1.教学重点：建构“因数与倍数”的知识网络，厘清概念之间的内在联系与区别。

2.教学难点：深刻理解质数与奇数、合数与偶数等概念的交集与并集关系，能灵活运用所学知识解决综合性实际问题。

三、教学实施过程：以“概念构图”为核心的三阶突破【核心篇幅】

本设计摒弃了传统的“教师罗列、学生记忆”的复习模式，创新性地采用“回溯激活—关联建构—迁移应用”三阶递进模式，引导学生在对话与操作中，实现对概念的深度加工与结构化重组。

（一）第一阶：情境回溯，唤醒概念“生长点”（约10分钟）

【设计意图】摒弃枯燥的概念罗列，以具体数字为载体，激活学生的前认知，让概念在具体情境中“复活”。

1.核心任务驱动：

教师在黑板中央板书一个核心数字“12”，并向学生提问：“同学们，‘12’虽然只是一个简单的数，但在我们第二单元的学习中，它却像一个‘宝库’，蕴含着丰富的数学知识。请大家开动脑筋，结合‘12’，你能联想到本单元的哪些数学概念？试着用一句话或一个例子来表达。”

2.生成性资源捕捉【重要】：

学生可能给出如下碎片化的回答：

生1：12是偶数。（教师板书：偶数）

生2：12的因数有1，2，3，4，6，12。（教师板书：因数）

生3：12是3的倍数，也是4的倍数。（教师板书：倍数）

生4：12是合数。（教师板书：合数）

生5：12既是2的倍数，又是3的倍数。（教师板书：2、3的倍数特征）

3.思维冲突引发：

教师在肯定学生回答的同时，将这些概念词无序地写在黑板四周，并抛出一个具有挑战性的问题：“大家太棒了，从‘12’这一个数出发，我们竟然‘拽’出了这么多新朋友！但现在它们就像一群散落的小珍珠，杂乱无章。如果我们要把它们串成一条精美的项链，让它们彼此之间产生联系，我们应该怎么摆放它们呢？”【此问旨在引发学生对知识结构化的内在需求。】

（二）第二阶：协作构图，构建知识“经纬网”（约20分钟）【非常重要】

【设计意图】这是本课时的核心环节。通过小组合作绘制概念图，将零散的知识点系统化、结构化，让学生在动手操作中深刻体会概念间的逻辑关系，这是实现“重点突破”的关键举措。

1.小组合作探究【热点】：

教师为每个小组提供一套包含本单元核心概念（因数、倍数、质数、合数、奇数、偶数、1、2的倍数特征、3的倍数特征、5的倍数特征、最大公因数、最小公倍数等）的卡片。提出合作要求：“请各小组根据这些概念之间的内在联系，像拼图一样把它们摆放在白纸上，并用箭头或线条连接起来，形成一幅清晰的知识网络图。边摆边想，为什么要这样摆？你们组的‘设计理念’是什么？”

2.预设构图路径与教师介入引导：

在学生合作过程中，教师深入各组，观察其构图逻辑，并进行有针对性地点拨。

【基础路径预设A：树状分类型】

学生可能会以“自然数”为树干，进行一级分类。教师介入：“你们是按什么标准先分成两大支的？”引导学生说出“按是否是2的倍数”分成奇数和偶数；同时，“按因数的个数”又可以分为质数、合数和1。教师追问：“这两个分类标准得出的结果，它们之间是什么关系？比如，‘质数’是不是全部都是‘奇数’？‘合数’是不是全部都是‘偶数’？”【此处直指教学难点，引发深度思考。】

【进阶路径预设B：概念关联型】

另一组学生可能从“因数与倍数”这对核心概念出发，向外辐射。用“因数”引出“质数、合数、1”，再引出“公因数、最大公因数”；用“倍数”引出“2、3、5倍数的特征”，进而引出“奇数、偶数”，再引出“公倍数、最小公倍数”。教师应高度肯定这种基于概念衍生关系的构图方式，并引导其完善：“从‘倍数’衍生出的‘奇数、偶数’，与从‘因数’衍生出的‘质数、合数’，它们之间有没有交汇点？能否在图上表现出这种交集？”

3.成果展示与思维碰撞【非常重要】：

邀请具有代表性的小组上台，利用实物展台展示并解说本组的“知识网络图”。

第一组解说（树状图）：“我们是按分类整理的。先把自然数按是不是2的倍数分成两大类：奇数和偶数。然后，再按因数的个数分成三类：质数、合数和1。我们发现，质数里除了2以外都是奇数，但奇数里有很多不是质数，比如9、15。”

教师利用此契机，在黑板上的网络图中用红色粉笔圈出交集区域，并总结：“正如这组同学发现的，‘质数’和‘奇数’是两个不同标准下的概念，它们有重叠，但不能完全等同。同样，‘合数’和‘偶数’也是既有重叠又有区别。”【至此，难点得以形象化突破。】

第二组解说（网状图）：“我们是按‘母子关系’来摆的。‘因数’和‘倍数’是妈妈。由‘因数’生出它的孩子：1、质数和合数，这几个孩子在一起玩，就有了‘公因数’；由‘倍数’生出它的孩子：2、3、5倍数的特征，再由2倍数的特征生出‘奇数和偶数’。”

教师点评并升华：“太精彩了！这组同学不仅理清了概念，还理清了概念产生的‘血缘关系’。这告诉我们，数学知识就像一棵大树，有主干，有分枝，枝叶相连，根深叶茂。”【通过点评，强化知识的系统性与逻辑性。】

（三）第三阶：分层闯关，锻造思维“深水区”（约15分钟）【高频考点】

【设计意图】练习设计遵循“基础巩固—变式提升—综合创新”的螺旋上升原则，通过不同梯度的挑战，让不同层次的学生都能获得成功的体验，同时将核心知识融入趣味性与探究性活动中。

1.第一关：基础夯实关——火眼金睛【基础】：

设计一组旨在辨析概念的判断题，要求学生不仅判断对错，更要说明理由或举出反例。

（1）所有的奇数都是质数。（×，反例：9）

（2）所有的偶数都是合数。（×，反例：2）

（3）一个数的倍数一定比它的因数大。（×，反例：它本身）

（4）同时是2、3、5的倍数的数，个位上一定是0。（√，并追问：为什么？）

【设计意图】通过反例法，加深对概念内涵和外延的理解，培养思维的批判性和严密性。

2.第二关：变式提升关——猜数谜题【重要】【热点】：

以游戏闯关的形式呈现，激发学生兴趣。

题目：下面是老师的QQ号码，请你根据提示破译出来。

第一位：最小的质数（2）

第二位：最小的合数（4）

第三位：既是偶数又是质数的数（2）

第四位：只有因数1和3的数（3）

第五位：10以内最大的奇数（9）

第六位：既是3的倍数，又是3的因数（3）

第七位：10以内既是奇数又是合数的数（9）

第八位：自然数的单位（1）

第九位：所有非零自然数的因数（1）

第十位：最大的因数是它本身，最小的倍数是它本身，这个一位数是？（9？此处需引导，一位数中符合此特征的数有1-9，但结合语境，可能是唯一确定的数，教师可在此设问，引导学生理解此特征适用于任何数，但此处设定一个具体数，如“6”，使答案唯一，即2423939116）。

【设计意图】将本单元核心概念融入猜数游戏，既考查了学生对质数、合数、奇数、偶数、倍数、因数等概念的掌握程度，又增添了学习的趣味性。

3.第三关：综合拓展关——生活中的数学【难点】【非常重要】：

呈现真实问题情境，培养学生用数学眼光观察世界、用数学思维思考世界的能力。

情境：五（1）班要举行联欢会，李老师带了42块巧克力和36瓶牛奶，准备分给同学们。如果每个同学分得的巧克力数相同，牛奶瓶数也相同，且刚好分完，没有剩余。请问五（1）班最多可能有多少名同学？此时每人分得多少巧克力和多少瓶牛奶？

解题路径引导：

第一步：提炼数学模型——求42和36的“最大公因数”。

第二步：运用方法——用短除法或列举法求出（42，36）=6。

第三步：得出结论——最多有6名同学。

第四步：进一步求每份数——巧克力：42÷6=7（块）；牛奶：36÷6=6（瓶）。

教师追问：为什么是“最多”而不是“可以是多少”？这说明了公因数与最大公因数在实际问题中的什么应用？（说明在平均分且刚好分完的问题情境中，人数必须是总数的公因数，而要求最多人数，就是求最大公因数。）

【设计意图】此题将抽象的“最大公因数”概念还原到真实的生活情境中，让学生深刻体会到数学知识的实用价值，同时训练了模型思想和解决问题的能力。

（四）第四阶：溯源升华，反思学习“成长点”（约5分钟）

【设计意图】引导学生对本节课的知识建构过程和思维方法进行复盘，实现从“学会”到“会学”的飞跃。

1.认知重构：教师指着黑板上最终形成的、由师生共同完善的知识网络图，引导学生回顾：“同学们，我们刚才用一节课的时间，把这些原本零散的概念，编织成了这样一张紧密相连的知识网。谁能说一说，我们是按照什么步骤来做的？”

引导学生归纳出：唤醒概念（找珍珠）—建立联系（串珍珠）—形成网络（做项链）—应用拓展（戴项链）的学习路径。

2.方法提炼：教师总结：“今天我们用‘概念图’的方法整理了第二单元的知识，这不仅是复习，更是学习。以后学习任何单元，我们都可以用这种方法，把厚书读薄，把零散的知识变成