高考数学合情推理与演绎推理1

推理与证明

第一节合情推理与演绎推理

1.归纳推理

把从个别事实中推演出一般性结论的推理，称为归纳推理

（简称归纳）.

简言之，归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。

归纳推理的一般步骤：

•通过观察个别情况发现某些相同的性质

•从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜

想）

•证明

2.类比推理

由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他

们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，

推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类

比）.

类比推理是由特殊到特殊的推理.

类比推理的一般步骤：

•找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；

0用一一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而

得出一个猜想；

•检验猜想。

3.演绎推理

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，

这种推理称为演绎推理.

演绎推理是由一般到特殊的推理；

“三段论”是演绎推理的一般模式，

包括

•大前提--已知的一般原理；

•小前提-一所研究的特殊情况；

团结论―-据一般原理，对特殊情况做出的判断.

题型一用归纳推理发现规律

例1:通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。

sin215°+sin2750+sin2135°=-；sin2300+sin2900+sin2150°=-；

22

sin245°+sin2105°+sin2165°=-；sin260°+sin2120°+sin2180°=-.

22

解析：猜想:团

证明：左边二

3..22、3七、力

=—（sura+cos-cr）=—=>5^2

注；注意观察四个式子的共同特征或规律（1）结构的一致性，（2）观察角的“共

性”

（1）先猜后证是一种常见题型

（2）归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型"三

是“循环型”（周期性）

题型二用类比推理猜想新的命题

例2:已知正三角形内刃圆的半径是高的比把这个结论推广到空间正四面体，类

似的结论是.

解析：原问题的解法为等面积法，即以类比问题的解法应为等体积法，团即正叫

面体的内切球的半径是高团

注：（1）不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比

（2）类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与

等比数列类比；圆锥曲线间的类比等

（3）在平面和空间的类比中，三角形对应三棱锥（即四面体），长度对应面积；

面积对应体积；点对应线；线对应面；圆对应球；梯形对应棱台等。

（4）找对应元素的对应关系，如：两条边（直线）垂直对应线面垂直或面面垂

直，边相等对应面积相等

题型三利用“三段论”进行推理

例3某校对文明班的评选设计了团五个方面的多元评价指标，并通过经验公式样

团来计算各班的综合得分,S的值越高则评价效果越好，若某班在自测过程中各项

指标显示出国则下阶段要把其中一个指标的值增加1个单位，而使得S的值增加

最多，那么该指标应为.（填入团中的某个字母）

解析：因团都为正数，故分子越大或分母越小时，S的值越大，而在分子都增加1

的前提下，分母越小时,S的值增长越多，团，所以c增大1个单位会使得S的值增

加最多

注：从分式的性质中寻找S值的变化规律；此题的大前提是隐含的，需要经过

思考才能得到

1.下列说法正确的是

（）

A.类比推理是由特殊到一般的推理

B.演绎推理是特殊到一般的推理

C.归纳推理是个别到一般的推理

D.合情推理可以作为证明的步骤

答案：C

2.命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小

数”是假命题，推理错误的原因是（）

A.使用了归纳推理

B.使用了类比推理

C.使用了“三段论”，但大前提错误

D.使用了“三段论”，但小前提错误

答案:C

填空题

3.已知0,考察下列式子:团；团；

团.我们可以归纳出，对团也成立的类似不等式为

答案:回

4.现有一个关于平面图形的命题:如图，同一个平面内有两个边长都是团的正方形,

其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为凤类

比到空间，有两个棱长均为团的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则

这两个正方体重叠部分的体积恒为

［解析］（见高三复习步步高）

解法的类比（特殊化）

易得两个正方体重叠部分的体积为巨

8

5.已知回的三边长为国内切圆半径为回（用团），则啊类比这一结论有：若三棱锥

团的内切球半径为见则三棱锥体积团

［解析］—R（SNBC+SMBD+SMCD+s.CD）

J

6.在平面直角坐标系中，直线一般方程为团，圆心在团的圆的一般方程为团；则类似

的，在空间直角坐标系中，平面的一般方程为，球心在团的球的

一般方程为.

222

答案；A.x+By+Cz+D=O；(x-x0)+(y-y0)+(z-z0)=r

7.(1)已知等差数列的定义为:在一个数列中，从第二项起，如果每一项与它1勺前

一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的

公和.

类比等差数列的定义给出“等和数列”的定

V•,，•

(2)已知数列团是等和数列，且团公和为团，那么团的值为.

答案：(1)在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那

么这个数叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和；

(2)《8=3；

8.对大于或等于团的自然数国的团次方事有如下分解方式：

2?=1+332=1+3+542=1+3-5+7

23=3+533=7+9+1143=13+15+17+19

根据上述分解规律，则回，若回的分解中最小的数是73,则回的值为

答案:回

解答题

9.(1)己知等差数列此团(团)，

求证:团仍为等差数列；

(2)已知等比数列团评(团)，类比上述性质，写出一个真命题并加以证明.

［解析］(1)团出

团为等差数列团为常数，所以团仍为等差数列；

(2)类比命题:若团为等比数列，团(0)山则团为等比数列

证明：团回为常数,回为等比数列

10.将具有下列性质的所有函数组成集合M:函数周对任意团均满足团，当且仅当

回时等号成立。

(1)若定义在(0,+8)上的函数团WM,试比较团与团大小.

(2)设函数g(x)=-x2,求证：g(x)>M.

解析:⑴对于团,令团得回(团

(2))+g(X2)l=-UlY2)2+=U，Y2)220

L4IJI

(七歪)之3[冢％)4以/)],所以g(x)WM

2.直接证明与间接证明

三种证明方法的定义与步骤：

1.综合法是由原因推导到结果的证明方法，它是利用已知条件和某些数学定

义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的

证明方法。

2.分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求推证过程中，使每一步结论成立的

充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条

件、定义、公理、定理等)为止的证明方法。

3.反证法假设原命题的结论不成立,经过正确的推理，最后得出矛盾，由此说明

假设错误,从而证明了原命题成立,这样的方法叫反证法；它是一种间接的证明方

法.

反证法法证明一个命题的一般步骤：

(1)假设命题的结论不成立;(2)根据假设进行推理,直到推理中导出矛盾为止

(3)断言假设不成立(4)肯定原命题的结论成立

题型一：用综合法证明数学命题

例1:对于定义域为R的函数比如果同时满足以下三条：①对任意的&总有团；

②团；③若回都有团成立，则称函数回为理想函数.

(1)若函数为理想函数，求的值；

(2)判断函数()是否为理想函数，并予以证明；

解析：(1)取团可得团.

又由条件①，故.

(2)显然在[0,1]满足条件①；

也满足条件②.若，，，则

6々)-年(再)+廉々)]=2--1-[(2T)+(2J)]

,即满足条件③,

故理想函数.

注：紧扣定义，证明函数口(口)满足三个条件

题型二：用分析法证明数学命题

例2:已知：，求证：.

证明：:□・•・要证匚I,

去分母后需要证：(1-a)+4a29a(1-a),

移项合并同类项，即需要证：90—63+1^0,

即要证；(3以一I)?NO...............(1)

而(1)式显然成立，原不等式成立。

题型三：用反证法证明数学命题或判断命题的真假

例3:已知瓦证明方程团没有负数根

解析：假设团是团的负数根，则回且团且回

,解得，这与矛盾，

故方程/。)=0没有负数根

注：(1)凡是“至少”、“唯一”或含有否定词的y

命题从正面突破往往比较困难，适宜用反证法

□o即“正难则反”；(2)反证法步骤：假设结

论不成立T推出矛盾T假设不成立口。A

选择题

1.用反证法证明命题：若整系数方程团有有理根,

那么回中至少有一个是偶数，下列假设中正确的

是().

A.假设团都是偶数B、假设团都不是

偶数

C.假设团中至多有一个偶数D、假设团中至多

有两个偶数

答案；B

2.鲁三角形能剖分为两个与自己相似的三角形,

那么这个三角形一定是()

A.锐角三角形B.直角三角形C.

钝角三角形D.不能确定

答案：B

3.已知，则使得都成立的取值范围是

(B)

A.(0,0)B(0,团)C.(0,0)

D.(0,团)

提示；酿x£（0,0）,由回豳得出结论。

填空题

4.若团，则加.

答案:500

5.如图，在平面直角坐标系团中，设三角形团的顶点分别为团，点团在线段AO上的

一点（异于端点），这里回均为非零实数，设直线回分别与边回交于点团，某同学已

正确求得直线团的方程为画请你完成直线团的方程：（旭。

答案:因

6.将全体正整数排成一个三角形数阵：

按照以上排列的规律，第回行（附从左向右的第3个数为

答案:团。

解答题

7.若且，求证：

［解析］要证团只需证团

即，因，只需证

即，

设，则

成立，从而成立

8.在锐角三角形A3C中，求证：sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC

［解析冏为锐角三角形,比

回在团上是增函数，回

同理可得以回

/.sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC

9.设团为非零向量，且团不平行，求证团团不平行

［解析］假设00,则回

不平行，，因方程组无解，故假设不成立，即原命题成立

10.已知a、b、c成等差数列且公差，求证：、、不可能成等差数列

［解析烟a、b、c成等差数列，团

假设、、成等差数列，则