2025年山西省高起专数学（理科）真题及答案

2025年山西省高起专数学（理科）练习题及答案一、选择题（每题5分，共40分）

1.若函数f(x)=x^33x在区间（∞,+∞）内是增函数，则实数x的取值范围是（）

A.x>1

B.x<1

C.x≥1

D.x≤1

答案：D

解析：f'(x)=3x^23，当f'(x)>0时，f(x)为增函数。解不等式3x^23>0，得到x>1或x<1。但由于题目要求在整个区间（∞,+∞）内是增函数，所以取x≤1。

2.设a=√3+√2，b=√3√2，则a+b的值为（）

A.2

B.1

C.√6

D.2√6

答案：A

解析：a+b=(√3+√2)+(√3√2)=2√3。

3.已知函数f(x)=2x|x1|，则f(0.5)的值为（）

A.0.5

B.1.5

C.1

D.0

答案：C

解析：f(0.5)=20.5|0.51|=10.5=0.5。

4.若函数f(x)=ax^2+bx+c（a≠0）的图象开口向上，且顶点在y轴左侧，则以下结论正确的是（）

A.a>0，b>0

B.a>0，b<0

C.a<0，b>0

D.a<0，b<0

答案：B

解析：开口向上说明a>0，顶点在y轴左侧说明顶点的x坐标小于0，即b/2a<0，所以b<0。

5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10=100，S20=400，则S30的值为（）

A.700

B.800

C.900

D.1000

答案：B

解析：由等差数列前n项和的性质，S10、S20S10、S30S20成等差数列，所以2(S20S10)=S10+(S30S20)。将S10=100，S20=400代入，得到2(400100)=100+(S30400)，解得S30=800。

6.已知等比数列{bn}的前n项和为Tn，若T3=14，T6=70，则T9的值为（）

A.140

B.210

C.280

D.350

答案：C

解析：由等比数列前n项和的性质，T3、T6T3、T9T6成等比数列，所以(T6T3)^2=T3(T9T6)。将T3=14，T6=70代入，得到(7014)^2=14(T970)，解得T9=280。

7.已知直线y=kx+b与圆x^2+y^2=1相切，则k^2+b^2的最小值为（）

A.1

B.2

C.1/2

D.0

答案：C

解析：圆心到直线的距离等于圆的半径，即|k0+b0|/√(k^2+1)=1，解得k^2+b^2=2k^2+1。由基本不等式，2k^2+1≥2√(k^21)=2，所以k^2+b^2≥1/2。

8.已知函数f(x)=|x2||x+1|，则f(x)的单调递增区间是（）

A.(∞,1]

B.[1,+∞)

C.(∞,2]

D.[2,+∞)

答案：B

解析：当x<1时，f(x)=(x2)((x+1))=x+2+x+1=3，此时f(x)为常数；当x≥1时，f(x)=x2(x+1)=3，此时f(x)为常数。因此，f(x)在[1,+∞)上单调递增。

二、填空题（每题5分，共40分）

9.若等差数列{an}的前n项和为Sn=2n^2+n，则首项a1的值为______。

答案：3

解析：由等差数列前n项和的公式Sn=n/2(2a1+(n1)d)，代入Sn=2n^2+n，得到2n^2+n=n/2(2a1+(n1)d)。当n=1时，21^2+1=1/2(2a1+0)，解得a1=3。

10.若函数f(x)=x^22x+c在区间（∞,+∞）内有两个不同的零点，则c的取值范围是______。

答案：c<1

解析：函数f(x)=x^22x+c的零点为x=1±√(1c)，要有两个不同的零点，则1c>0，即c<1。

11.已知等比数列{bn}的公比为q，且b1+b2+b3=14，b2+b3+b4=21，则q的值为______。

答案：2

解析：由等比数列的性质，b2=b1q，b3=b1q^2，b4=b1q^3。代入b1+b2+b3=14和b2+b3+b4=21，得到b1+b1q+b1q^2=14，b1q+b1q^2+b1q^3=21。解得q=2。

12.若直线y=kx+b与圆x^2+y^2=1相切，则切点到圆心的距离为______。

答案：1

解析：切点到圆心的距离等于圆的半径，即|k0+b0|/√(k^2+1)=1，解得切点到圆心的距离为1。

13.已知函数f(x)=|x2||x+1|，则f(x)在区间[2,0]上的最大值为______。

答案：3

解析：在区间[2,0]上，f(x)=(x2)((x+1))=x+2+x+1=3，此时f(x)为常数，所以最大值为3。

14.若函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d（a≠0）的图象在点（1,2）处有切线，则a+b+c+d的值为______。

答案：2

解析：f'(x)=3ax^2+2bx+c，f'(1)=3a+2b+c。由于在点（1,2）处有切线，所以f(1)=2，f'(1)存在。代入f(1)=a+b+c+d=2，得到a+b+c+d=2。

三、解答题（每题20分，共60分）

15.已知等差数列{an}的前n项和为Sn=n^2+n，求首项a1、公差d及第10项a10的值。

答案：首项a1=2，公差d=2，第10项a10=21。

解析：由等差数列前n项和的公式Sn=n/2(2a1+(n1)d)，代入Sn=n^2+n，得到n^2+n=n/2(2a1+(n1)d)。当n=1时，a1=2。当n=2时，4+2=2(2a1+d)，解得d=2。所以a10=a1+9d=2+92=20。

16.解不等式组：

$\begin{cases}

x+y>2\\

xy<1

\end{cases}$

答案：解集为$\{(x,y)|1<x<3,1<y<2\}$。

解析：将不等式组转化为图形，第一个不等式表示直线x+y=2上方的区域，第二个不等式表示直线xy=1下方的区域。求解两个区域的交集，得到解集。

17.已知函数f(x)=x^22x+1，求f(x)的单调递增区间、单调递减区间及极值点。

答案：单调递增区间为[1,+∞)，单调递减区间为(∞,1)，极小值点为x=1，极小值为f(1)