8.1 计数原理说课稿2025学年中职基础课-拓展模块一 下册-高教版（2021）-(数学)-51

8.1计数原理说课稿2025学年中职基础课-拓展模块一下册-高教版（2021）-(数学)-51学科政治年级册别八年级上册共1课时教材部编版授课类型新授课第1课时课程基本信息一、课程基本信息1.课程名称：8.1计数原理2.教学年级和班级：2025级中职（计算机应用）班3.授课时间：2025年3月10日（星期一）上午第二节4.教学时数：1课时（45分钟）核心素养目标二、核心素养目标通过实例分析，提升逻辑推理能力，理解分类加法与分步乘法计数原理的本质；能运用原理解决简单的计数问题，发展数学运算素养；在解决实际问题时，体会数学建模思想，增强应用意识，培养用数学方法分析问题的习惯。教学难点与重点1.教学重点

（1）分类加法计数原理：理解分类的标准是互斥且独立，能正确识别问题中的分类情况。例如：从3名男生和2名女生中选1人代表，共有3+2=5种选法，因男生与女生互斥。

（2）分步乘法计数原理：掌握步骤的连续性和依赖性，明确每一步的选择范围。例如：用数字1、2、3组成两位数，第一步选十位（3种），第二步选个位（2种），共3×2=6种。

（3）区分两种原理的应用场景：分类问题用加法，分步问题用乘法。

2.教学难点

（1）原理混淆：学生易将分类与分步混淆。例如：从5人中选2人参加不同活动（如演讲和朗诵），需分步（5选1演讲×4选1朗诵=20种），但学生可能误用分类（5选2×2=10种）。

（2）抽象建模能力弱：面对复杂问题（如"书架分上下层放书"），难以分解步骤或分类。例如：将3本不同的书放到2个空书架，学生可能忽略书架可空放的情况（每本书有2种选择，共2³=8种）。

（3）条件限制下的计数：如"从1-9中选偶数作密码首位"，需结合原理与限制条件，学生易忽略限制对步骤的影响。教学资源1.软硬件资源：多媒体教室、希沃白板、实物投影仪

2.课程平台：校本数字化教学平台

3.信息化资源：计数原理动态演示课件、交互式习题库、微课视频

4.教学手段：彩色计数卡片、骰子、分组讨论任务单、板书设计模板教学过程**（一）情境导入，激发兴趣（5分钟）**

师：同学们，早上好！今天教室里有3名男生和2名女生，如果选1名代表参加学校演讲比赛，有多少种选法？请你们快速计算并说明理由。

生1：有5种选法！因为男生有3种选择，女生有2种选择，加起来就是5种。

师：完全正确！这种“分类相加”的思维方式，就是今天我们要学习的**分类加法计数原理**（板书标题）。再请看：用数字1、2、3组成两位数，十位和个位数字不能重复，有多少种可能？

生2：十位有3种选择（1、2、3），个位剩下2种，所以3×2=6种！

师：太棒了！这种“分步相乘”的方法，叫做**分步乘法计数原理**。今天我们就来深入探究这两种原理的本质和应用！

**（二）新知探究，突破重难点（20分钟）**

**1.分类加法计数原理（板书核心）**

师：请看课本例1：从A地到B地，有3条公路、2条铁路可选，共有多少种走法？

生3：3+2=5种！因为公路和铁路是两类不同的交通方式。

师：对！分类加法原理的关键是“**互斥独立**”（板书）。互斥指各类别不重叠，独立指选择互不影响。例如：

-例题变式：从5本语文书、3本数学书中选1本，有多少种选法？

生4：5+3=8种！语文书和数学书是两类不同的书。

师：正确！现在请思考：若从5本语文书、3本数学书中各选1本，还能用加法吗？

生5：不能！因为要同时选两本，属于分步问题。

师：非常好！这自然引出了我们的第二个原理。

**2.分步乘法计数原理（板书核心）**

师：请看课本例2：用1、2、3、4组成无重复数字的三位数，有多少个？

生6：第一步选百位（4种），第二步选十位（3种），第三步选个位（2种），所以4×3×2=24个！

师：完全正确！分步乘法原理的核心是“**步骤连续**”（板书），每一步的选择会影响下一步。例如：

-例题变式：从4人中选2人分别担任班长和副班长，有多少种选法？

生7：第一步选班长（4种），第二步选副班长（3种），4×3=12种！

师：注意！若题目改为“选2人组成小组”，则需用组合原理（后续学习）。现在请区分这两类问题：

>**对比练习**（小组讨论）：

>（1）从5人中选1人当裁判、1人当记录员，有多少种选法？

>（2）从5人中选2人参加活动，有多少种选法？

>生8组：第一题是分步（5×4=20种），第二题是组合（C(5,2)=10种）！

>师：精准辨析！关键看“是否有序”。

**3.难点突破：原理混淆与抽象建模（板书难点）**

师：请看课本例3：将3本不同的书放到2个空书架，每个书架可放多本书，有多少种放法？

生9：每本书有2种选择，所以2×2×2=8种！

师：正确！但若改为“书架不能为空”，怎么办？

生10：总放法8种，减去全放书架1（1种）和全放书架2（1种），剩下6种！

师：很好！这体现了“**补集思想**”。再看复杂问题：

>**陷阱题**：用1、2、3、4组成三位数，要求百位是偶数，十位是奇数，个位是质数，有多少个？

>生11：百位可选2、4（2种），十位可选1、3（2种），个位可选2、3（2种），所以2×2×2=8种！

>师：完全正确！但若题目改为“数字可重复”，个位就有4种选择，结果变为2×2×4=16种。**条件限制直接影响步骤的选择范围**！

**（三）巩固练习，分层落实（15分钟）**

**1.基础题（课本P152练习1）**

师：从3种早餐、4种午餐、5种晚餐中各选1种，有多少种搭配？

生齐答：3×4×5=60种！

师：这是典型的分步乘法原理，每一步独立选择。

**2.提升题（改编自课本例4）**

师：某校有3个班参加篮球赛，每班选2名队员组成6人代表队，有多少种选法？

生12：第一步选一班队员（C(3,2)=3种），第二步选二班队员（C(3,2)=3种），第三步选三班队员（C(3,2)=3种），所以3×3×3=27种！

师：注意！若题目改为“从全校9人中选6人”，则直接用组合C(9,6)。**问题背景决定原理选择**！

**3.拓展题（小组竞赛）**

>**任务**：设计一个校园活动方案，要求：

>-从3个社团中选1个主办（A、B、C）

>-从4个教室中选1个场地（101、102、201、202）

>-从2个时间段中选1个（下午3点、4点）

>生13组：主办×场地×时间=3×4×2=24种方案！

>师：优秀！你们将分步原理应用于真实场景，这就是数学建模思想！

**（四）课堂总结，升华思想（5分钟）**

师：请用一句话总结本节课的核心收获。

生14：分类加法用于“选一类”，分步乘法用于“做一步”！

生15：还要注意条件限制和步骤的独立性！

师：总结到位！两种原理的本质是：

>**分类加法**：将问题拆成若干独立类别，结果相加；

>**分步乘法**：将问题分解为连续步骤，结果相乘。

>**关键**：明确“分类”还是“分步”，关注“互斥”与“连续”。

**（五）分层作业，巩固延伸（课后）**

1.基础：课本P152习题1-4（必做）

2.提升：设计一个生活计数问题（如选课、组队），用两种原理解答（选做）

3.拓展：查阅资料，了解“鸽巢原理”与计数的关系（探究）

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**板书设计**（同步生成）：

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8.1计数原理

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一、分类加法计数原理

核心：互斥独立→结果相加

例：选代表（3男+2女=5种）

二、分步乘法计数原理

核心：步骤连续→结果相乘

例：组两位数（3×2=6种）

三、难点突破

1.原理混淆：选裁判（分步）vs选小组（组合）

2.条件限制：三位数偶数百位（2×3×2=12种）

3.抽象建模：书架放书（2³=8种）

```学生学习效果学生学习效果通过知识掌握、能力提升和素养发展三个维度体现，与教材中计数原理的核心知识点紧密关联，具体表现为以下方面：

**一、知识掌握：精准理解两种计数原理的本质与适用场景**

学生能够清晰阐述分类加法计数原理“互斥独立、结果相加”和分步乘法计数原理“步骤连续、结果相乘”的核心内涵。例如，面对“从5本语文书、3本数学书中选1本”的问题，学生能快速识别“分类”特征，正确列出5+3=8的算式；而对于“用1、2、3组成无重复数字的两位数”，则能明确“分步”逻辑，计算3×2=6种结果。通过课本例1（A地到B地的交通方式选择）和例2（三位数组成）的探究，学生对“何时用加法、何时用乘法”形成条件反射，原理辨析正确率达90%以上。

**二、能力提升：突破难点，实现原理的灵活应用与迁移**

1.**原理混淆问题有效解决**：学生能准确区分“有序”与“无序”场景。例如，“选1人当裁判、1人当记录员”（5×4=20种）与“选2人参加活动”（C(5,2)=10种）的对比练习中，85%的学生能独立判断前者为分步乘法、后者为组合问题（后续学习基础），避免将“有序”问题误用加法原理。

2.**抽象建模能力显著增强**：面对“将3本不同的书放到2个空书架”等复杂问题，学生能主动分解为“每本书有2种选择”，运用分步乘法得出2³=8种结果；若增加“书架不能为空”的条件，则能通过“总放法8种减去全放书架1或2的2种”，得到6种正确答案，补集思想的应用率达70%。

3.**条件限制问题应对能力提升**：对于“用1、2、3、4组成三位数，百位是偶数（2、4）、十位是奇数（1、3）、个位是质数（2、3）”等限制条件问题，学生能逐步分析：百位2种、十位2种、个位2种，最终得出2×2×2=8种结果，且能对比“数字可重复”时个位选择范围的变化（2×2×4=16种），体现对条件与步骤关联性的深刻理解。

**三、素养发展：数学思维与实际应用能力同步提升**

1.**逻辑推理与数学运算素养**：学生在小组讨论中，能清晰阐述解题思路，如“校园活动方案设计”任务中，主动分析“主办社团（3种）×场地（4种）×时间段（2种）”，得出24种方案，逻辑链条完整；分层练习中，基础题（课本P152练习1）正确率100%，提升题（班级选队员问题）能结合背景判断“分步选班级队员”与“直接选全校队员”的差异，运算准确率达85%。

2.**数学建模与应用意识**：学生能将计数原理应用于生活场景，如设计“选课搭配问题”（3门专业课×2门选修课×1个时间段），主动构建“分类+分步”模型；部分学生甚至提出“密码设置中数字与字母的组合”等拓展问题，体现知识迁移与创新意识。

3.**合作探究与表达交流能力**：通过“对比练习”“小组竞赛”等活动，学生学会倾听他人观点、辨析原理差异，如“选裁判vs选小组”的讨论中，能通过举例（如“班长与副班长顺序不同视为不同结果”）说服同伴，语言表达更严谨，合作效率显著提高。

**四、分层落实：不同基础学生均实现能力进阶**

-**基础薄弱学生**：掌握原理定义和简单应用，能独立完成课本例1、例2及基础练习，如“从3种早餐、4种午餐、5种晚餐中选1种搭配”的3×4×5=60种计算，形成“分步相乘”的初步认知。

-**中等水平学生**：能区分易混淆场景，解决条件限制问题，如“三位数偶数百位”问题中，结合“百位2种、十位3种、个位2种”的限制条件，正确计算12种结果，并解释“限制条件影响步骤选择范围”。

-**学有余力学生**：能设计复杂计数问题，如“从5人中选3人分别担任正、副、组长”，并分析“分步选人（5×4×3=60种）”与“组合后排列（C(5,3)×3!=60种）”的一致性，体现对原理的深度理解。

综上，通过本节课学习，学生不仅扎实掌握了计数原理的核心知识，更在逻辑推理、数学建模、实际应用等核心素养上实现突破，为后续排列组合、概率统计等内容的学习奠定了坚实基础，真正做到了“学懂、会用、活用”。板书设计①**分类加法计数原理**

-核心词：互斥独立、结果相加

-关键句：每一类方法都能独立完成事件

-课本重点：A地到B地交通方式（3条公路+2条铁路=5种）

-知识点：分类标准不重不漏

②**分步乘法计数原理**

-核心词：步骤连续、结果相乘

-关键句：每一步的选择相互影响

-课本重点：用1、2、3组成无重复两位数（3×2=6种）

-知识点：步骤顺序不可颠倒

③**原理对比与应用**

|原理|适用场景|例题支撑（课本P152）|

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|分类加法|选一类完成|选1本语文或数学书（5+3=8种）|

|分步乘法|分步完成|早餐×午餐×晚餐搭配（3×4×5=60种）|

|难点标注|条件限制|三位数偶数百位（2×3×2=12种）|教学评价与反馈1.课堂表现：学生能积极参与课堂互动，对分类加法与分步乘法计数原理的定义理解清晰，90%的学生能准确区分“选1人代表”（分类）与“组两位数”（分步）的应用场景，但部分学生在“书架放书”等抽象问题中步骤分解较慢，需强化建模训练。

2.小组讨论成果展示：各小组成功完成“选裁判vs选小组”对比讨论，能通过“顺序是否影响结果”辨析原理差异；“校园活动方案设计”任务中，3个小组提出“社团×场地×时间”的分步模型，2个小组结合分类与分步，体现知识迁移能力。

3.随堂测试：基础题（课本P152练习1）正确率100%，提升题（班级选队员问题）85%学生能正确应用分步乘法，但“三位数偶数百位”限制条件题仅70%学生答对，需加强条件分析与步骤关联的讲解。

4.作业反馈：分层作业中，基础题完成质量高，提升题“设计生活计数问题”涌现出“密码组合”“选课搭配”等实例，部分学生主动标注“分类”“分步”依据，应用意识显著提升。

5.教师评价与反馈：整体教学目标达成度高，学生原理掌握扎实，但复杂问题的条件限制处理能力需加强，后续可通过“变式练习”深化抽象建模，并增加小组互评环节提升表达能力。教学反思与改进教学后通过课堂观察和作业分析，发现学生对分类加法与分步乘法原理的辨析能力仍需强化。特别是“书架放书”这类抽象问题，部分学生未能将“每本书独立选择”转化为分步模