河南省安鹤新联盟2025-2026学年高二下学期5月联考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页河南省安鹤新联盟2025-2026学年高二下学期5月联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集U=−3,−2,−1,0,1,2,3，集合A=x∈U∣x2>1A.−3,−2,2,3 B.−1,0,1 C.0 D.−2,−1,0,1,22.已知i为虚数单位，若复数z=1+i2−i，则z在复平面内对应的点在(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知向量a=2,m,b=m,3，则“m=A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，动点E在棱BB1上，动点F在线段A1C1上，A.与m，n都有关 B.与m，n都无关

C.与m有关，与n无关 D.与n有关，与m无关5.已知x>0，y>0，2x+y=2，则xyx2+2y的最大值为A.12 B.29 C.1 6.若直线y=k(x−4)与曲线x=9+3y2只有一个公共点，则kA.(−33,33) 7.如图，正方形ABCD的边长为1，取正方形各边的四等分点A1,B1,C1,D1，作第二个正方形A1B1CA.58 B.2 C.83 8.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如星形线等．某星形线如图所示，已知该曲线上一点Px0,y0的坐标可以表示为acos3θ,asin3θA.2 B.3 C.2 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若a<b<0，则下列不等式一定成立的有(

)A.a2<b2 B.1a>10.已知正项数列{an}的首项a1=12，前n项积为A.a2=32 B.数列{nan}11.设a∈R，函数f(x)=x3A.f(x)有两个极值点

B.若a>0，则当x>0时，f(x)≥−1

C.若f(x)有3个零点，则a的取值范围是0,34

D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知1，2，n成等比数列，则(x+1)n的展开式中所有项的系数之和为

．13.已知点A−1,1，B3,3，线段AB为⊙M的一条直径．设过点C2,−1且与⊙M相切的两条直线的斜率分别为k1，k2，则k14.从1，2，……，2026中随机取出六个不同的数a1、a2、a3、a4、a5、a6，制作长、宽、高分别为a1、a2、a3和a四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，平面PAD⊥底面ABCD,E是BC的中点．(1)证明：AD⊥PE．(2)求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值．16.(本小题15分)已知椭圆C:x2a2(1)求C的方程；(2)若直线l:y=x+t与C交于M,N两点，O为坐标原点，▵OMN的面积为4317.(本小题15分)

设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=3，S3=5a1．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn=1+2Sn，数列{18.(本小题17分)

已知函数f(x)=x+1−(2x+1)lnx．

(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程．

(2)证明：f(x)在(0,+∞)上单调递减．

(3)若关于x的不等式lnx−ax2−ax<0恒成立，求整数19.(本小题17分)泊松分布是统计与概率学里常见的离散型概率分布，特别适合用于描述单位时间(或单位空间)内随机事件发生的次数，如自然灾害发生的次数等．若随机变量X服从参数为λ(λ>0)的泊松分布，记作X∼Poisson(λ)，则其概率分布为P(X=k)=λ(1)当λ≥20时，泊松分布可以近似为正态分布N(λ,λ).已知某交通路口平均每分钟通过的车辆数X服从λ=25的泊松分布，试估算在一分钟内该路口通过的车辆数大于15且小于30的概率；参考数据：若X∼Nμ,σ2，则(2)若随机变量X服从二项分布，当n≥100且p≤0.01时，二项分布近似于泊松分布，其中λ=np.某工厂生产电子元器件的次品率为0.003，现从一批产品中随机抽取1000件，记其中的次品数为X，按泊松分布近似计算：①这1000件产品中恰有2件次品的概率；(参考数据：e②求使得P(X=i)最大时的X值．(3)若X∼Poisson(λ)，求证：当0<λ<0.1时，P(X>1)<0.01．

参考答案1.B

2.A

3.A

4.B

5.D

6.B

7.C

8.D

9.BD

10.BC

11.BCD

12.16

13.1.5

14.1215.解：(1)证明：取AD的中点为O，连接OP，OE，因为▵PAD是等边三角形，所以OP⊥AD，因为侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，所以OP⊥底面ABCD，因为OA,OE⊂底面ABCD，所以OP⊥OA，OP⊥OE，所以OA，OE，OP两两垂直，则分别以OA，OE，OP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O−xyz，不妨设AD=2，则P0,0,3，A1,0,0，B1,2,0，CAD=−2,0,0，因为AD⋅PE=−2×0+0×2+0×(2)在平面PBC中，PB=1,2,−设m=x,y,z为平面则m令y=3，则m=又平面PAD的一个法向量n=设平面PAD与平面PBC夹角为θ，则cosθ=所以平面PAD与平面PBC夹角的余弦值为21

16.解：(1)由题意，得e=ca=则椭圆C的方程为x2(2)设Mx联立y=x+tx26则Δ=16t2−12且x1所以|MN|=点O(0,0)到直线l的距离为|t|

则S▵OMN=12⋅4则t=±1或

17.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，因为a1=3，则S3=3a1+3d=9+3d．

因为S3=5a1=15，则9+3d=15，得d=2．

所以数列{an}的通项公式是an=3+2(n−1)=2n+1．

(2)因为Sn=3n+n(n−1)2×2=n2+2n，则bn=1+2Sn=1+2n(n+2)=1+1n−1n+218.解：(1)由题意可得，f′(x)=−1x−2lnx−1，则f′(1)=−2，

又f(1)=2，所以切线方程为y−2=−2(x−1)，即y=−2x+4．

(2)证明：令g(x)=f′(x)=−1x−2lnx−1，x>0，

则g′(x)=1x2−2x=1−2xx2，

当x∈(0,12)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，

当x∈(12,+∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，

所以g(x)的最大值为g(12)=−2ln12−2−1=2ln2−3<2−3=−1，

即f′(x)<0在(0,+∞)上恒成立，所以f(x)在(0,+∞)上单调递减．

(3)关于x的不等式lnx−ax2−ax<0恒成立，即lnx<ax2+ax恒成立，

由于x>0，所以a>lnxx2+x恒成立，

设F(x)=lnxx2+x，则F′(x)=x+1−(2x+1)lnx(x2+x)2=f(x)(x2+x)2，

由(2)知f(x)在(0,+∞)上单调递减，且f(1)=2，19.解：(1)因为X∼Poisson(λ)，且λ=25>20，可近似地认为X∼N(λ,λ)，即X∼N(25,25),μ=25,σ=5，所以P(15<X<30)≈P(μ−2σ<X<μ+σ)=P(μ−2σ<X<μ)+P(μ≤X<μ+σ)=0.9545+0.6827(2)①由题知X∼Poisson(λ)，其中λ=np=1000×0.003=3，P(X=2)=3②P(X=i)=3所以P(X=i+1)P(X=i)当i=1时，P(X=i+1)P(X=i)>1，当i>2时，P(X=i+1)P(X=i)<1，当所以P(X=1)<P(X=2)=P(X=3)>P(X=4)>⋯所以当X=2，或X=3时，P(X=i)最大．(3)因为X∼Poisson(λ)，所以P(X>1)=1−P(X=0)−P(X=1)，由泊松分布的概率公式，得P(X=0)=e所以P(X>1)=1−e要证当0<λ<0.1时，P(X>1)<0.01，只要证当0<λ<0.1时