黑龙江省牡丹江市名校协作体2025-2026学年高一数学上学期期末考试(一)【含答案】

2025-2026学年高一数学上学期1月期末考试试题一、单选题1．函数f（x）=lnx+3x-4的零点所在的区间为（）A． B． C． D．2．下列说法正确的是（

）A．向量与向量是相等向量B．若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合C．与实数类似，对于两个向量，有，，三种关系D．向量的模是一个非负实数3．“”是“函数的图象关于点对称”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．下列命题中正确的是（

）A．函数的定义域是B．第一象限的角必是锐角C．若，则与的终边相同D．不是周期函数．5．已知,则的值为A．2 B． C．-2 D．6．一个容器装有细沙，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，后剩余的细沙量为，经过8后发现容器内还有一半的沙子，若容器中的沙子只有开始时的八分之一，则需再经过的时间为（

）.A．24 B．26 C．8 D．167．关于函数，下列命题正确的是

A．由可得是的整数倍B．函数的表达式可改写成C．函数的图象关于点对称D．函数的图象关于直线对称8．定义在上的偶函数，当时，则=的所有零点之和为A． B． C． D．二、多选题9．下列式子结果为的是（

）①；②；③；④．A．① B．② C．③ D．④10．（多选）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（

）A．的图象的最小正周期为B．C．将的图象上各点的横坐标伸长到原来的5倍，再向上移动3个单位长度后得到的函数图象的解析式为D．不等式的解集为11．欧拉公式：（是虚数单位，…，）非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来，被数学家们誉为“上帝公式”、“宇宙第一公式”、“最美公式”等等．令可得，它又将自然界中的两个重要的无理数和、实数单位、虚数单位以及复数中的巧妙地结合在一起．下列关于欧拉公式的结论正确的有（

）A． B． C． D．三、填空题12．若1弧度的圆心角所对的弧长为2，则这个圆心角所在的扇形面积等于13．已知锐角的终边经过点，则.14．已知函数，若存在实数使得方程在上恰好有三个实数解，，，则.四、解答题15．化简并求值(1)化简：；(2)求值：.16．计算与求值(1)已知，，，，求的值.(2)已知，，且，，求的值；17．已知函数．(1)求在上的值域，(2)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．18．如图，单位圆上有一点，点P以点为起点按逆时针方向以每秒弧度做圆周运动，点的纵坐标y是关于时间x的函数，记作.

(1)当时，求；(2)若将函数向左平移个单位长度后，得到的曲线关于y轴对称，求的最小正值.19．已知函数，.(1)若函数在区间上存在零点，求实数的取值范围；(2)如果对任意，总存在，使成立，则称与是友好函数.已知当时，在区间上，与是友好函数，求实数m的取值范围.题号12345678910答案BDCDBDDAABCBCD题号11答案ABD1．B根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间．【详解】解：函数在其定义域上单调递增，（2），（1），（2）（1）．根据函数零点的判定定理可得函数的零点所在的区间是，故选．2．D根据相等向量的概念判断A；根据共线向量的定义判断B；由向量的性质判断C；根据空间向量模的定义判断D.【详解】对于A，向量与向量是相反向量，不是相等向量，因此A不正确；对于B，若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合，若两个共线向量中含有零向量时，零向量所在直线不确定，故B错误；对于C，与实数不一样，两个实数可以比较大小，而两个向量不能比较大小，因此C不正确；对于D，向量的模指的是向量的长度，是一个非负实数，因此D正确.故选：D.3．C由充分条件、必要条件的定义，结合三角函数的性质判断即可.【详解】正切函数的对称中心为，，令，解得，所以函数的对称中心为.所以“”是“函数的图象关于点对称”的充要条件.故选：C．4．D根据正切函数的定义可知A错误；容易举出反例判定BC错误；根据正弦函数的性质和周期函数的定义，的利用反证法可以证明D正确.【详解】由正切函数的定义可知函数的定义域为，x=0时正切函数是有意义的，0∉，故A错误；380°是第一象限角，但不是锐角，故B错误；60°和120°的正弦值相等，但终边不相同，故C错误；假若函数是周期函数，存在T>0,使得f(x+T)=f(x)对于任意实数x恒成立，当x≥0时,由正弦函数的周期性得,T=2kπ,k∈N*，但,,，所以函数不是周期函数，故D正确.故选：D.5．B【详解】由题意可知，，故选：B.6．D依题意有=，解得，得到，再令,求解得到的值，减去最初的即得所求．【详解】依题意有=，即，两边取对数得，当容器中只有开始时的八分之一，则有，两边取对数得，所以再经过的时间为．故选:．7．D举出反例，可判断A是否正确；通过诱导公式可判断B是否正确；根据正弦型函数的对称中心在曲线上可判断C是否正确；根据正弦型函数在对称轴处取得最值可判断D是否正确.【详解】函数，最小正周期为．对于A：当，时，满足，但是不满足是的整数倍，故A错误；对于B：由诱导公式可得，故B错误；对于C：令，可得，故C错误；对于D：当时，可得，所以的图象关于直线对称，故D正确．故选：D．8．A【详解】是上的偶函数，当时，,得到可以作出及大致图像,又零点转化图像交点横坐标问题,如上图可以求出交点横坐标分别,选择A9．ABC【详解】对于①，由于，所以；对于②，由于，所以；对于③，因为，；对于④，因为，；故选：ABC10．BCDA选项，由函数图象得到最小正周期；B选项，由图象求出，得到函数解析式；C选项，根据伸缩变换和平移变换的法则得到；D选项，整体法求解不等式，求出解集.【详解】A选项，的最小正周期，A错误；B选项，，则，即，由可得，，即，B正确；C选项，将的图象上各点的横坐标伸长到原来的5倍，得到，再向上移动3个单位长度后得到的解析式为，C正确；D选项，由可得，，即，所以，解得，即不等式的解集为，D正确．故选：BCD11．ABD根据欧拉公式逐个分析判断即可【详解】对于A，因为，所以，所以A正确，对于B，因为，，所以，所以B正确，对于C，因为，所以C错误，对于D，因为，所以D正确，故选：ABD12．2算出扇形所在的圆的半径后可得扇形的面积.【详解】设扇形所在的圆的半径为，则（），故圆心角所在的扇形面积等于.故答案为：2.13．【详解】由三角函数的定义可得，.由两角差的余弦公式可得.故答案为：.14．【详解】，最小正周期为，

因为在上恰好有三个实数解，，，所以，由对称性可得，所以.故答案为：.15．(1)(2)（1）由向量的运算可得；（2）由诱导公式计算可得.【详解】（1）.（2）16．(1)(2)（1）由同角的三角函数关系结合两角差的余弦公式计算可得；（2）由同角的三角函数关系结合两角差的余弦公式计算后再利用特殊角的余弦值可得.【详解】（1）因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以.（2）因为，，且，，所以，，所以，又，即，，所以两式相加可得，所以.17．(1)(2)（1）利用和差角公式和辅助角公式化简函数，由的取值范围得到函数在对应区间的值域；（2）由（1）知道函数的取值范围，通过讨论的范围，利用分离常数得到的不等式.通过函数的单调性，得到不等式另一边的范围，由不等式恒成立得到的取值范围.【详解】（1）当时，，∴∴.（2）由（1）可知，，令，则当时，∵，∴，令，∵函数，在上均单调递增，∴函数在上单调递增，∴，∴；当时，不等式恒成立，当时，∵，∴，令，∵函数，在上均单调递增，∴函数在上单调递增，∴，∴，综上所诉.18．(1)(2)3（1）由题意利用任意角的三角函数的定义求得初相，再根据正弦函数的周期性，可得，代入，即可求出结果；（2）根据图象平移可知，又是偶函数，所以，，由此可得最小值为3.【详解】（1）点是单位圆上一点，它从初始位置开始，按逆时针方向以每秒弧度做圆周运动，设初相为，∴，∴．所以，当时，（2