电路基础 课件 第八章 线性动态电路的复频域分析

线性动态电路的复频域分析CONTENTS目录拉普拉斯变换的定义和性质拉普拉斯反变换的部分分式展开法复频域中的电路定律和电路模型8.1拉普拉斯变换的定义和性质根据电路定律和元件的电压电流关系（VCR）建立描述电路的方程，建立以时间为自变量的线性常微分方程，求解常微分方程即可得到电路变量在时域的解答，这种方法又称为经典法。Part01Part02Part03经典法对于具有多个动态元件的复杂电路，用经典法求解比较困难。J经典法缺点积分变换法是通过积分变换，把已知的时域函数变换为频域函数，从而把时域的微分方程化为频域的代数方程。求出频域函数后，再作反变换，返回时域，可以求得满足电路初始条件的原微分方程的解答，而不需要确定积分常数。积分变换法8.1.1拉普拉斯变换的定义Part01Part02Part03应用拉氏变换法进行电路分析称为电路的复频域分析法，又称为运算法。通常可用符号L[]表示对方括号里的时域函数作拉氏变换。如果F(s)已知，要求出与它对应的原函数f(t)，由F(s)到f(t)的变换称为拉普拉斯反变换，定义为式中，c是正的有限常数。可用符号L-1[]表示对方括号里的时域函数作拉氏反变换。拉普拉斯反变换的定义一个定义在区间的函数，它的拉普拉斯变换式F(s)

定义为式中，是复数；F(s)称为f(t)的象函数；

f(t)称为F(s)的原函数。拉普拉斯变换简称拉氏变换。拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义8.1.1拉普拉斯变换的定义求以下函数的象函数。（1）单位阶跃函数；（2）单位冲激函数。Part01Part02Part03例8-18.1.1拉普拉斯变换的定义解：（1）求单位阶跃函数的象函数解：（2）求单位冲激函数的象函数Part01Part02Part038.1.2常用时域函数的拉普拉斯变换设和是两个任意的时间函数，它们的象函数分别为F1(s)

和F2(s)

，a和b是两个任意实常数，则Part01Part02Part03线性性质8.1.3拉普拉斯变换的基本性质证明例8-2求指数函数的象函数。解：Part01Part02Part03微分性质-时域微分性质8.1.3拉普拉斯变换的基本性质证明函数f(t)的象函数F(s)与其导数f’(t)的象函数之间有如下关系：若则Z证明所以只要s的实部取正值，当t→∞

时，，则F(s)

存在，可得设则由于所以

Part01Part02Part03微分性质-时域微分性质8.1.3拉普拉斯变换的基本性质微分性质也可推广到二阶导数例8-3求冲激函数的象函数。解：因为可得

微分性质-时域微分性质进一步类推，对高阶导数的变换式有Part01Part02Part03微分性质-复频域微分性质8.1.3拉普拉斯变换的基本性质证明若函数f(t)的象函数为F(s)，则有例8-4求函数f(t)=t、f(t)=tn、f(t)=te-at的象函数。解：Part01Part02Part03J积分性质8.1.3拉普拉斯变换的基本性质证明设则由于所以函数f(t)的象函数F(s)与其积分的象函数之间有如下关系：若则

证明只要s的实部取正值，当t→∞

时和t=0_时，上式等号右边第一项都为零，可得Part01Part02Part03J8.1.3拉普拉斯变换的基本性质

例8-5利用拉氏变换的积分性质，求函数f(t)=t的象函数。例8-5解：由于可得Part01Part02Part03J平移性质-时域平移性质8.1.3拉普拉斯变换的基本性质证明函数f(t)的象函数F(s)与其延迟函数f(t-t0)ε(t-t0)的象函数之间有如下关系：若则

令则上式变为证明Part01Part02Part038.1.3拉普拉斯变换的基本性质例8-6

解：因为根据拉氏变换的时移性质可得例8-6求图所示矩形脉冲的象函数。解：矩形脉冲数学表达式为Part01Part02Part03J平移性质-复频域平移性质8.1.3拉普拉斯变换的基本性质证明根据拉普拉斯变换的定义有设函数f(t)的象函数为F(s)，则f(t)e-at的象函数为F(s+a)，即

Part01Part02Part038.1.3拉普拉斯变换的基本性质例8-7解：因为则根据复频域平移特性，可得

解：因为则根据复频域平移特性，可得例8-7利用复频域平移性质，求f(t)=te-at和f(t)=e-atcosωt的象函数。例8-7Part01Part02Part03J初值定理8.1.3拉普拉斯变换的基本性质设函数f(t)的象函数为F(s)，f(t)的一阶导数的象函数存在，并且当s→∞

时sF(s)的极限存在，则有

证明由时域微分性质，可得因此对上式等号两端取s→∞

时的极限，显然有则证明Part01Part02Part038.1.3拉普拉斯变换的基本性质

证明根据式对其等号两端取s→0的极限，有J终值定理设函数f(t)的象函数为F(s)，并且当s→∞

时f(t)的极限存在，则有则证明Part01Part02Part038.1.3拉普拉斯变换的基本性质解：

解：例8-8运用初值定理和终值定理求象函数对应的原函数f(t)的初值f(0+)和终值f(∞)。例8-8例8-8Part01Part02Part03J卷积定理8.1.3拉普拉斯变换的基本性质设函数f1(t)和f2(t)，它们在t<0时为零，f1(t)和f2(t)的卷积用下列积分式定义：设函数f1(t)和f2(t)的象函数分别为F1(s)和F2(s)，有

J证明J证明根据拉氏变换的定义，有根据延迟的单位阶跃函数的定义故则令则上式变为同理，可以证明所以8.2拉普拉斯反变换的部分分式展开法电路响应的象函数通常可表示为两个实系数的s的多项式之比，即s的一个有理分式Part01Part02Part03部分分式展开法8.2拉普拉斯反变换的部分分式展开法部分分式展开法把F(s)分解成若干简单项之和，而这些简单项可以在拉氏变换表中找到，这种方法称为部分分式展开法，或称为分解定理。用部分分式展开有理分式F(s)时，需要把有理分式化为真分式。若n>m

，则F(s)为真分式。若n=m

，则式中A是一个常数，其对应的时间函数为Aε(t)

，余数项是真分式。部分分式展开法用部分分式展开真分式时，需要对分母多项式作因式分解，求出D(s)=0的根。D(s)=0的根可以是单根、共轭复根和重根几种情况。Part01Part02Part03部分分式展开法8.2拉普拉斯反变换的部分分式展开法单根如果D(s)=0有n个单根，分别为p1，p2，--，

pn，利用部分分式可将F(s)分解为其中K1，K2，--，

Kn为待定系数。方法一将上式两边都乘以(s-p1)

，得令s=p1，则等号右侧除第一项外都变为零，这样求得确定上式各待定系数的公式单根待定系数确定方法方法二利用求极限的方法求解待定系数Ki，即Part01Part02Part03单根待定系数确定方法8.2拉普拉斯反变换的部分分式展开法确定各待定系数后，相应的原函数为单根待定系数确定方法Part01Part02Part038.1.3拉普拉斯变换的基本性质解：因为所以D(s)=0的根为p1=0，p2=-2，p3=-5，所以

解：同理求得：K2=0.5，K3=-0.6所以例8-9求的原函数f(t)。例8-9例8-9Part01Part02Part038.2拉普拉斯反变换的部分分式展开法例8-10解：同理求得： 所以共轭复根如果D(s)=0有共轭复根则可得求的原函数f(t)。解：D(s)=0的根为p1=-3+j5，p2=-3-j5所以Part01Part02Part038.2拉普拉斯反变换的部分分式展开法重根重根如果D(s)=0有重根，则应含

(s-p1)n的因式。现设D(s)中含有(s-p1)3的因式，p1为D(s)=0的三重根，其余为单根，F(s)可分解为：式中，括号中为其余单根项，对于单根，仍采用公式计算。确定K11，K12，K13。

\Part01Part02Part038.2拉普拉斯反变换的部分分式展开法重根如果D(s)=0有q阶重根，其余为单根时的分式为结论式中

\Part01Part02Part038.2拉普拉斯反变换的部分分式展开法解：

解：即所以例8-11求的原函数f(t)。解：因为D(s)=0的根包含3个重根p1=-2和一个单根p2=-1，所以，F(s)的部分分式展开式为式中8.3复频域中的电路定律和电路模型方法一：将各电路元件的特性方程变换成复频域形式，再画出线性定常网络的复频域模型（或称为运算电路），然后直接列出网络在复频域中的代数方程并求解。Part01Part02Part03分析方法8.3线性动态电路的复频域分析分析方法方法二：先列出网络的微积分方程，然后变换为复频域中的代数方程并求解。基尔霍夫电流定律的复频域表达式基尔霍夫电压定律的复频域表达式Part01Part02Part03基尔霍夫定律的复频域形式8.3线性动态电路的复频域分析电阻元件的复频域形式电感元件的复频域形式Part01Part02Part03电容元件的复频域形式8.3线性动态电路的复频域分析RLC元件串联的复频域形式运算电路的画法为：（1）电路结构基本不变，即运算电路保持时域电路的结构。（2）电源用电源象函数表示，即电压源用US(s)表示，电流源用IS(s)表示。（3）电路中的电压量和电流量，一律用电压象函数U(s)、电流象函数I(s)表示。Part01Part02Part03电路的复频域模型8.3线性动态电路的复频域分析（4）电阻元件仍然用R表示。（5）电感元件用电感与电压源的串联电路代替，电感用电感的运算阻抗sL表示，电压源的电压为Li(0-)。电路的复频域模型（6）电容元件用电容与电压源的串联电路代替，电容用电容的运算阻抗表示，电压源的电压为；电容元件也可以用电容与电流源的并联电路代替，电容用电容的运算导纳sC表示，电流源的电流为Cu(0-)。电路的复频域模型Part01Part02Part038.3线性动态电路的复频域分析解：（1）电容、电感的初始值：电容的初始电压电感的初始电流

解：（2）电容元件用电容的运算阻抗和电压源的串联组合代替。电感用电感的运算阻抗sL代替。电路的复频域模型如下图所示。例8-12电路如图所示，试画出电路的复频域模型。运算法把时间函数变换为对应的象函数，从而把问题归结为求解以象函数为变量的线性代数方程。在运算法中求得象函数之后，利用拉氏反变换就可以求得对应的时间函数。Part01Part02Part03复频域分析法8.3线性动态电路的复频域分析（1）由换路前瞬间电路的工作状态，计算出原电路所有储能元件的初始状态，即t=0-时刻各电感电流和电容电压值。（2）画出运算电路图。将所有电路元件均用运算电路模型表示，如电阻R用R替代，电感L用运算感抗sL及附加电压源Li(0-)相串联的有源支路替代，电容C用运算容抗和附加电压源相串联的有源