山东省部分学校2025-2026学年高二上学期12月阶段性检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省部分学校2025-2026学年高二上学期12月阶段性检测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.数列，，，，…的第项为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】首先分析数列的分母规律：给出的前项分母依次为，，，，可见第项的分母为.因此，第项的分母为.再分析数列的分子规律：给出的前项分母依次为，，，，相邻两项的差均为，构成首项为，公差为的等差数列，其通项公式为.因此，第项的分子为.综上所述，数列的第项为.故选：C.2.双曲线C：的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，可得，解得，所以双曲线C：的渐近线方程为.故选：C.3.在平行六面体中，点E，F分别为棱，的中点，则（）A B.C. D.【答案】A【解析】因为点，分别为棱，的中点，所以.故选：A.4.圆与圆的位置关系为（）A.外切 B.内切 C.相交 D.相离【答案】A【解析】将圆的方程化为标准方程为，圆心为，半径，圆的方程化为标准方程为，圆心为，半径，由，且，可得，所以圆和外切.故选：A.5.已知Q为直线l：上的动点，点P满足，记点P的轨迹为E，则（）A.E是一个半径为圆 B.E是一条与l垂直的直线C.E是两条与l平行的直线 D.E上的点到l的距离为【答案】D【解析】设，由，则，由在直线l上，故，化简得，即点P的轨迹E为直线且与直线l平行，所以E上的点到直线l的距离，故A、B、C错误，D正确.故选：D.6.已知是数列的前n项和，，则（）A.2575 B.3435 C.4345 D.5135【答案】B【解析】由题知.故选：B7.已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上且轴，为坐标原点，点满足，，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设椭圆的半焦距为，由对称性不妨设在第一象限.由题设有，因，故，故，故，故，因为，故，故，而，因为，故，整理得，故，故（负根舍去），故选：D.8.已知等比数列的公比为，前项积为，若，且，，均有，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】当时，注意到，因此，即解得;当时，则即解得，则的取值范围为.故选：D.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知方程，则下列结论正确的是（）A.方程C表示椭圆的充要条件是B.若，则方程C表示焦点在y轴上的双曲线C.存在m，使方程C表示直线D.方程C不可能表示抛物线【答案】BCD【解析】当，即时，方程表示圆，故A错误；当时，方程为且，表示焦点在轴上的双曲线，故B正确；当时，方程为，表示轴，故C正确；方程中不含一次项，所以不可能表示抛物线，故D正确．故选：BCD.10.已知是各项均不为0的数列的前n项和，，，则（）A.是等差数列 B.C. D.数列的前10项和为220【答案】AD【解析】因为，等式两边同时除以，得.根据等差数列的定义可知是等差数列，所以A正确；那么有，所以，B错误；，当时，，所以C错误；因为.所以数列的前10项和为，D正确.故选：AD.11.过抛物线的焦点作直线与交于两点，为坐标原点，直线分别与的准线交于点，则（）A.的最小值为4 B.C.以为直径的圆过点 D.以为直径的圆过点【答案】BC【解析】对于，由题得，设直线的方程为，与联立，得，所以，所以，当且仅当时取等号，故A错误；对于B，抛物线C的准线方程为，设，由，得.所以，即，故B正确；对于C，由上述分析知，同理有，所以，故C正确；对于D，因为，所以为钝角，点在以为直径的圆内，故D错误．故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知数列的前n项和，则_________.【答案】18【解析】.故答案为：18.13.已知点，，直线l：上总存在一点P，使得（），则实数k的取值范围为________．【答案】【解析】直线l：过定点.由题意直线l：与线段相交，临界情况为恰好经过点或经过点时，由图可知，或.故答案为：.14.已知点在圆上，则当取最小值时，___________．【答案】1或.【解析】已知点在圆上，所以，即，所以，其几何意义是点到点，的距离之和，即，根据绝对值三角不等式：，当点在线段上时取等号；点即在圆上，也在线段上，所以此时点为线段与圆的交点；已知点，，利用两点式方程可得：直线的方程为；方程联立得：，解得或；即或；两组解均满足题意，所以或；故答案为：或.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知等差数列的前n项和为，，.（1）求的通项公式；（2）已知，求数列的前n项和.解：（1）设的公差为d，依题意，，解得，，所以的通项公式.（2）由（1）知，，所以.16.记为数列的前n项和，，.（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.解：（1）∵，，①∴当时，，当时，，②①-②，得，∴，又，∴是首项为1，公比为3的等比数列，∴.（2）由（1）知，，∴，③∴，④③-④，得，∴.17.已知椭圆经过点，且离心率．（1）求的方程；（2）记的左焦点为，过点且不与轴重合的直线与交于两点，证明：直线关于直线对称．（1）解：由经过点，得，由，得，所以，与联立，得，所以的方程为．（2）证明：由（1）得，易知直线的斜率存在且不为0，设．由得，由，得．所以，则，把，代入，得，把代入，得，不满足，所以，则，所以直线关于直线对称．18.如图，在四棱锥中，，底面ABCD为矩形，，，E，F分别在棱PB，PD上，且，．（1）求证：；（2）求平面AEF与平面ABCD夹角的余弦值；（3）求三棱锥外接球的表面积．（1）证明：∵平面，平面，∴，∵四边形ABCD是矩形，∴，∵，∴平面，∵平面，∴，∵，，∴平面，同理可得平面，∴，，∵，平面，∴平面，又∵平面，∴．（2）解：以A为坐标原点，向量，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则，，，，，∴，．设，则，∴．∵，∴，∴，∴．设平面AEF的法向量为，则，取，得，，∴平面AEF的一个法向量为．易知平面ABCD的一个法向量为．设平面AEF与平面ABCD的夹角为θ，则，∴平面AEF与平面ABCD夹角的余弦值为．（3）解：设三棱锥的外接球球心坐标为，半径为R，则解得，，，，∴三棱锥外接球的表面积为．19.已知双曲线的离心率为2，左焦点为，点在上．（1）求的方程．（2）过点的直线与的左支交于两点，直线分别交直线于点，的中点为．（i）求证：．（ii）记的面积分别为，是否存在，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．（1）解