上海市静安区2026届高三上学期一模数学试题

高级中学名校试卷PAGEPAGE1上海市静安区2026届高三上学期一模数学试题一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1.已知全集是实数集R，集合，则集合的补集___________．2.已知椭圆的标准方程为，则该椭圆的长轴的长等于___________．3.已知直线与，则直线与的夹角大小是_________.4.已知复数满足（其中为虚数单位），则复数___________．5.已知是第四象限角，，则________.6.设等差数列的前项和为（为正整数），首项，，则_________.7.已知圆柱的底面圆的半径与球的半径相等，若圆柱的表面积与球的表面积也相等，则圆柱的体积与球的体积之比___________．8.已知函数，则___________．9.抛物线具有如下的光学性质：所有平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后都过这条抛物线的焦点；设抛物线的方程为，一束光线从平行于其对称轴方向射向抛物线，光线所在直线交抛物线于一点，这点的纵坐标为12，则这束光线经过抛物线反射后所在直线的一个法向量为___________．10.在中，将角所对边的边长分别记作.设.若，，则的面积为___________．11.如图，已知是半圆O的直径，直径长为2，点均在半圆O上，且都不与点重合，四点依次按照逆时针方向排列.若CD的长为，则的取值范围为__________．12.设是定义在上的偶函数，对任意的，都有，且当时，.设，若函数在左开右闭区间上恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是___________．二.选择题（本大题共4题，第13、14题各4分，第15、16题各5分，共18分）13.在三维空间中，下列命题是真命题的一个是（）A.垂直于同一条直线的两条直线平行B.垂直于同一个平面的两个平面平行C.若一条直线垂直于一个平面，另一条直线与这个平面平行，则这两条直线互相垂直D.若两个平面分别平行于两条互相垂直的直线，则这两个平面互相垂直14.如图，已知某频率分布直方图形成“右拖尾”形态，则下列结论正确的是（）A.众数平均数中位数 B.众数中位数平均数C.众数平均数中位数 D.中位数平均数众数15.若数列满足且，则称数列为“对数底数列”.已知正项数列是“对数2底数列”且，则当且时，（）A. B.C. D.16.已知函数；现有下述两个结论：①若在区间内恰有一个零点，则的取值范围是；②若，则方程的解为；则下列说法正确的是（）A.结论①和②均正确 B.结论①正确，结论②错误C.结论①错误，结论②正确 D.结论①和②均错误三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）17.为开展社区与学校教育共建活动，某地区教育系统从、两所学校的5名教师志愿者中随机抽调2人到某社区为居民开展“义务教育咨询”活动．已知、两所学校中的志愿者学科分布如下：学科语文数学学校12学校11（1）假设学校语文a老师、数学b、c老师，学校语文d老师、数学e老师，列出“从，两所学校的5名教师志愿者中随机抽调2人”的样本空间；（2）求事件“抽到的2人恰好都是语文老师”的概率；（3）求事件“抽到的2人中，恰好有1名语文老师1名数学老师，且这2人恰好来自同一所学校”的概率．

18.已知函数().（1）将函数化为的形式，并指出这个函数的振幅和初始相位；（2）若函数的最小正周期为，求的值并求函数的值域.

19.已知正四棱柱的底面边长为1，点、分别在边、上，且，．（1）证明：平面；（2）若2，求直线与平面所成角的正弦值．

20.在平面直角坐标系中，已知双曲线的焦距为4，点在上．（1）求双曲线的方程；（2）设直线l的斜率为，l交双曲线于两点，且与圆相切，切点位于轴上方，求的值；（3）如图，设过双曲线的左焦点的直线交的左支于点、，过的右焦点的直线交的右支于点、，若直线，且四边形的面积为，求直线的方程．

21.已知函数（）的图象关于点成中心对称的充要条件是（）是奇函数；如果一个函数的图象关于点成中心对称，则称这个函数是点奇函数，其中点为对称中心；设函数∙，.（1）若函数是点奇