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文档简介
重难点05利用导数研究函数的零点
【全国通用】
1、导数中的零点问题
导数是高中数学的重要内容,是每年高考的必考内容。从近几年的高考情况来看,导数中的函数零点
(方程根)问题在高考中占有很重要的地位,是高考的热点和重难点问题,高考常考查函数零点的个数判断
或求参问题、函数零点的和差商积问题、三次函数与复合函数的零点问题,以及函数零点与其他知识的交
汇问题,一般作为解答题的压轴题出现,难度较大,需要灵活求解,复习是要加强这方面的训练。
知识点1导数中的函数零点问题及其解题策略
1.函数零点(个数)问题的的常用方法
(1)构造函数法:构造函数g(x),利用导数研究g(x)的性质,结合g(x)的图象,判断函数零点的个数.
(2)函数零点存在定理:利用零点存在定理,先判断函数在某区间有零点,再结合图象与性质确定函数有多
少个零点.
(3)数形结合法:函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数,数形结合,根据图象的几何直观求解.
2.导数中的含参函数零点(个数)问题
利用导数研究含参函数的零点(个数)问题主要有两种方法:
(1)利用导数研究函数f(x)的最值,转化为f(x)图象与x轴的交点问题,主要是应用分类讨论思想解决.
(2)分离参变量,即由f(x)=0分离参变量,得a=g(x),研究y=a与y=g(x)图象的交点问题.
3.与函数零点有关的参数范围问题的解题策略
与函数零点(方程的根)有关的参数范围问题,往往利用导数研究函数的单调区间和极值点,并结合特殊
点判断函数的大致图象,进而求出参数的取值范围.也可分离出参数,转化为两函数图象的交点情况.
知识点2隐零点问题及其解题策略
1.隐零点问题
隐零点问题是指函数的零点存在但无法直接求解出来的问题,在函数不等式与导数的综合题目中常会遇到
涉及隐零点的问题,处理隐零点问题的基本策路是判断单调性,合理取点判断符号,再结合函数零点存在
定理处理.
2.隐零点问题的解题策略
在求解函数问题时,很多时候都需要求函数f(x)在区间I上的零点,但所述情形都难以求出其准确值,导致
解题过程无法继续进行时,可这样尝试求解:先证明函数f(x)在区间I上存在唯一的零点(例如,函数f(x)在
区间I上是单调函数且在区间I的两个端点的函数值异号时就可证明存在唯一的零点),这时可设出其零点
是x0.因为x0不易求出(当然,有时是可以求出但无需求出),所以把零点x0叫做隐零点;若x0容易求出,就
叫做显零点,而后解答就可继续进行,实际上,此解法类似于解析几何中“设而不求”的方法.
【题型1判断或讨论零点的个数】
【例1】(2025·云南红河·三模)函数的零点个数是()
3
A.0B.1��=�C−.122�+16D.3
【变式1-1】(2025·宁夏银川·三模)若函数,则
3
2�−6�+3,�≤02
��=���=2[��]−13��+21
的零点个数为()3e,�>0
A.2B.3C.4D.5
【变式1-2】(2025·四川巴中·模拟预测)已知函数.
(1)当时,求函数的单调区间;��=��+ln�+1
(2)讨论�<函0数的零点�的�个数;
(3)对于任意的��恒成立,求的取值范围.
2�
�>0, ��<�e�
【变式1-3】(2025·甘肃·模拟预测)已知函数.
211−�
��=�+�−2e�>0
(1)求的图象在点处的切线方程;
(2)求��的零点个数;1,�1
(3)证明��:.
��≥3ln�
【题型2零点问题之唯一零点问题】
【例2】(2025·四川成都·三模)函数有且只有一个零点,则的取值是()
A.B.��=2�C−.�−ln�D.�
【变式2-1】−(ln22025·云南曲靖1·+二ln模2)已知函数ln2−ln2,若该函数有且只有一个
��
零点,则的值为()��=�+�−2(0<�<1,�>1)
A.1��B.C.D.
11
2
���
【变式2-2】(2025·辽宁鞍山·模拟预测)已知,若有唯一解,则的取值范
22
�−�2
围为()�(�)=e−e−���(�)=0�
A.B.C.D.
【变式2-(3】−(∞2,−0215]·河南·二[模2,)9)若函数(−∞,2]在区间内[仅−有1,3一]个零点,则的取值范围为
32
()��=2�−3�−�1,2�
A.B.C.D.
2,30,1−1,4−1,0
【题型3零点问题之双零点问题】
【例3】(2025·湖南郴州·模拟预测)已知,若有两个零点,则实数m的取值
��
范围为()��=�e−ln��≥0��
A.B.C.D.
1111
22
0,�0,ee,+∞e,+∞
【变式3-1】(2025·山东青岛·模拟预测)若函数有2个零点,则实数的取值
2�
范围是()��=�1−e+�ln�+��
A.B.C.D.
【变式3-2−】∞(,02025·甘肃甘南−·∞模,拟1预测)已知函数0,+∞有两个零1点,+∞,且,则()
�
A.B.��=�e−��1,�2�1<�2
C.�1+2e�2>−3D.�1+2e�2与=−3无法比较大小
�1+2e�2<−3�1+2e�2−3
【变式3-3】(2025·海南省直辖县级单位·模拟预测)已知函数,且有
ln�,�>0
��=���=��−��
两个不同的零点,则的取值范围为()−e,�≤0
A.�B.C.D.
111
−∞,ee,ee,+∞e,+∞
【题型4根据零点(个数)情况求参数范围】
【例4】(2025·山西太原·一模)已知函数有三个零点,则实数的取值范围为()
32
A.��=B�.−�+�−1��
11
−27,0∪0,1−27,0∪0,1∪1,+∞
C.D.
11
−27,1−27,+∞
【变式4-1】(24-25高三下·江苏扬州·期末)已知函数3221,,
�+2�+20�,�≤0
��=ln���=��−2��
若函数有5个零点,则实数a的取值范围为()�,�>0
��
A.B.C.D.
11111111
20,4e20,2e20,e40,4e
【变式4-2】(2025·贵州遵义·模拟预测)已知函数.
32
(1)当时,求曲线在点处的切�线�方=程�;−2�+�+��∈�
(2)若函�=数1恰有三个�不=同�零�点,求0实,�数0的取值范围.
���
【变式4-3】(2025·广东广州·模拟预测)已知函数.
2��
(1)当时,求曲线在点处的切�线�方=程�;e−�+2e+�+2,�∈�
(2)讨论�=函1数的单调�性=;��0,�0
(3)若函数�有�三个零点,求的取值范围.
���
【题型5函数零点的证明问题】
【例5】(2025·安徽淮北·二模)已知函数
12
��=2�−2�+�ln�
(1)若,求函数在处的切线方程;
(2)求证�=:1当时�,��有=且1仅有一个零点.
�≥0��
【变式5-1】(2025·浙江宁波·模拟预测)已知函数.
(1)当时,求曲线在点处的切�线�方=程�;1−�−ln�−1
(2)若�=的2极小值小于-�=1,�求�的取1值,�范1围;
(3)当��时,证明:�有2个零点.
�
�>1��=��+�e−�
【变式5-2】(2025·安徽六安·模拟预测)已知函数.
(1)若为上的单调函数,求k的取值范围;�(�)=−sin�+��
�(�)�
(2)若函数,求证:k可以取无数个值,使得每一个的取值都恰有三个不同的零点.
�3
�(�)=6�+�+sin���(�)
【变式5-3】(2025·江西·模拟预测)已知函数.
�2
(1)当时,证明:有且仅有一个零点;�(�)=e−��+�,�(�)=�
�=0�(�)
(2)若曲线与相切.
(ⅰ)求a;�=�(�)�=�(�)
(ⅱ)当时,证明:.
�>0�(�)≥�(�)
【题型6多零点的和、差、商、积与大小关系问题】
【例6】(2025·四川南充·一模)已知函数()有两个不同的零点,
2
12
(),下列关于,的说法正确的�(有�)(=ln)�个−�+2−�0<�<3��
1212
①�<�②�③�④
�
2
�2�233
�1<e�1>�+2e<�2<3−��1�2>1
A.1B.2C.3D.4
【变式6-1】(2025·四川成都·一模)已知函数有三个零点、、且,
2��2
��=ln�−2�ln�+e��1�2�3�1<�2<�3
则的取值范围是()
2ln�1ln�2ln�3
�1+�2+�3
A.B.C.D.
1112
22
−e−e,0−e,0−2e,0−e,0
【变式6-2】(2025·甘肃平凉·模拟预测)已知函数.
�2
(1)当时,若直线过原点且与曲线相�切�,求=e的−方�程�;�∈�
(2)若函�=数0在�上恰有2个零点�=,��.�
①求的取�值�范围0;,+∞�1�2
②求证�:.
�1+�2>4
【变式6-3】(2025·湖北·二模)已知函数.
�
(1)当时,求曲线在�处�的=切e线−方�l程n�;+��−1�∈�
(2)若�=有1两个不同的零�=点��,.1,�1
���1�2
(ⅰ)求实数的取值范围;
(ⅱ)证明:�.
�1�2<1
【题型7隐零点问题】
【例7】(2025·新疆喀什·模拟预测)已知函数.
(1)当时,求在点处的切线方�程�;=�+�sin�−�cos�
�=1�,�
(2)若在区间�上有零π点,π求实数的取值范围.
π
��0,2�
【变式7-1】(2025·湖南长沙·二模)已知函数.
2�2
(1)当时,讨论的单调性;�(�)=e+��−2�
(2)若�=2与�(�)恰有两个交点,求的取值范围.
2
(3)当�(�)时�(,�)=��+2(�−,1求)�+a的2�取值范围.�
3
�≥0�(�)≥4�+1
【变式7-2】(2025·陕西咸阳·模拟预测)已知.
2��3
��=�−1e−3�+���>0�∈�
(1)讨论函数的单调性;
��
(2)当时,判定函数零点的个数,并说明理由.
12
�=0��=��+ln�−2�
【变式7-3】(2025·广东广州·模拟预测)已知函数().
��
(1)求在区间上的最大值与最小值;��=�e�>0
(2)当��时,求−证1,:1.
�≥1��≥ln�+�+1
【题型8导数中函数零点的新定义问题】
【例8】(2025·湖北武汉·一模)已知函数的导函数为,若在区间上单调递增,则称为区
′′
间上的凹函数;若在区间上单调递�减�,则称为�区间�上的�凸�函数.已知�函数��.
�
′�
���������=e+�ln�+1
(1)若在上为凹函数,求实数的取值范围;
(2)已知��2,3,且在�上存在零点,求实数的取值范围.
��=��−1��1,+∞�
【变式8-1】(2025·河南许昌·模拟预测)对于函数,和,,设,
1212
若对任意的,,都有�=�(�)�∈�成�立=,�则(�称)函�数∈��与∩�=�“具
�
有性质”�.1�2∈��(�1)−�(�2)≤�(�1)−�(�2)(�>0)�=�(�)�=�(�)
(1)判断�函(�数),与是否“具有性质”,并说明理由;
�
�(�)=sin��∈(0,2)�(�)=��(1)
(2)若函数与“具有性质”,且函数在区间上存在两个零点
1
2
,,求�(证�):=�+2ln�−;2�=�(�)�(1)�=�(�)(0,+∞)
22
1212
(�3)已�知函数�+�,>2,,求证:函数与“具有性质”.
1
�(�)=�ln��∈(0,1)�(�)=��=�(�)�=�(�)�(2)
【变式8-2】(2025·吉林长春·模拟预测)已知函数和.
�−1�
��=�e−���=ln�+�−1
(1)若,证明:对.
(2)若函�=数1和各∀有�≥两个1,�零�点,≥求�实�数的取值范围;
(3)若一个函��数有�且�仅有两个零点,则称这两�个零点的算术平均数为该函数的“完美点”.设和分别为和
的“完美点”,比较与的大小,并说明理由.����
����
【变式8-3】(24-25高三上·浙江丽水·期末)牛顿法是17世纪牛顿在《流数法与无穷级数》一书中,给出了
高次代数方程的一种数值解法.具体步骤如下:设是函数的一个零点,任取作为的初始近似值,过
点作曲线的切线,设与轴�交点的横�坐�标为,并称为�的01次�近似值;过点
�0,��0作曲线�=�的�切线,�1设与�1轴�交点的横坐标为,�1称为�的12�次近似值;一直继续下去,
得�1到,��1�.=一�般�地,过点�2�2�作曲线的切�线2�,2记�与轴交点的横坐标为,
并称�1,�2为,�3的,⋯,��次近似值,称�数�,列���为牛顿数�列=.����+1��+1���+1
(1)若�函�+数1��+1的零点为��.求的2次近似值;
(2)设��=是�函+数ln��,�0=1�的两个零点,数列为函数的牛顿数列,数列
2
��
满足�,�(�<�)��=.�+��+��,�∈�����
��−�*
��=��−��∈�,��>�
(i)求证:数列为等比数列;
�
(ii)证明:ln�.
�
12
�1
�=1�<ln�
一、单选题
1.(2025·安徽·模拟预测)函数的零点个数为()
��
��=�e−e−1
A.0B.1C.2D.3
2.(2025·辽宁大连·模拟预测)若函数(且)在上有唯一零点,
�32
则的取值范围是()�(�)=�−�+��−�−1�>0�≠1(0,1)
�A.B.C.D.
33
2≤�<e2<�<e1<�≤21<�<2
.(湖南益阳三模)若函数有两个零点,则的取值范围为()
32025··2a
�−1
A.�(�)=−�lBn.�+2
C.−∞,1D.1,+∞
.(0,1重∪庆1一,+模∞)关于的方程0,1有两个不同的解,则实数的取值范围为()
42026··�
�
��e+ln�=1−��
A.B.
11
0≤�<e�≤e
C.D.
11
0<�≤e0<�<e
5.(2026·江西新余·一模)已知在上有两个不同零点,则的取值范围为
�−1�
()��=�⋅2−�−log2�1,8�
A.B.
5log2e5log2e
4,1+2e4,1+2e
C.D.
11log2e11log2e
8,1+e8,1+e
6.(2026·云南昭通·模拟预测)已知函数,若函数有3个零点,则k的取值范围是()
A.B.�(�)=C.|ln�|−��−2D.
1111
3333
0,e0,e0,e0,e
7.(2025·贵州遵义·模拟预测)已知且,关于的方程有两个不同的实数根,则实
�
��
数的取值范围为()�>0�≠1�+log�=1
�..,..
AB1C1D
eeee
0,11ee,ee,+∞
8.(2025·陕西西安·模拟预测)已知函数,函数有三个零点,
2
−�−2�,�≤0
�(�)=��=��−��1,�2,�3
则的取值范围是()ln�,�>0
123
�A.⋅�⋅�B.C.D.
11
二、多选0题,1e,1e,e0,e
9.(2026·四川遂宁·一模)已知函数,则()
32
A.的图象关于点成中�心(�对)=称�−3�−��+�
�(�)(1,−2)
B.当时,有两个极值点
C.对于�>任−意4�(�)有三个零点
D.当时�,>0,�(在�)上存在最大值
10.(202�6>·陕0西渭南�·(一�)模)0设,2函数,则()
3
A.点是图像的对称�中�心=�−��+1�∈�
B.当0,1时�,=函�数�有三个零点
C.当�=3时,直线�=�不�是曲线的切线
D.若�=0有三个不同�的=零1点�,=则��
123123
11.(2025�·安�徽合肥·一模)已知�,�,分�别为�+�+�与=0的零点,则()
�
A.�1,�2�=�+e�=�+ln�
B.�1�2+�1−�2<1
C.�1<ln�2
�1+�2=0
D.
1
21
三、填空�题−�∈1,2+ln2
12.(2025·广东江门·模拟预测)函数的零点个数为.
2
13.(2025·浙江宁波·一模)已知函数��=ln�−�+2�有+两3个零点,则实数的取值范围是.
�
14.(2025·湖北·模拟预测)已知函数�(
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