2026年高考数学复习系列（全国）重难点02 不等式恒成立、能成立问题7大题型（试题版）

重难点02不等式恒成立、能成立问题7大题型

【全国通用】

1、不等式恒成立、能成立问题

一元二次不等式是高考数学中的重要内容.从近几年的高考情况来看，“含参不等式恒成立与能成立问

题”是常考的重点、热点内容，这类问题把不等式、函数、三角、几何等知识有机地结合起来，其以覆盖

知识点多、综合性强、解法灵活等特点备受高考命题者的青睐.另一方面，在解决这类数学问题的过程中涉

及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想，对锻炼学生的综合解

题能力和培养其思维能力都起到很好的作用，二轮复习时需要加强这方面的训练.

知识点1不等式恒成立、能成立问题

1．一元二次不等式恒成立、能成立问题

不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R

的条件为．

一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为．

一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为的条件为．

∅

2．一元二次不等式恒成立问题的求解方法

(1)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立.

(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，

谁就是参数.

①若ax2+bx+c>0恒成立，则有a>0，且∆<0；若ax2+bx+c<0恒成立，则有a<0，且∆<0.

②对第二种情况，要充分结合函数图象利用函数的最值求解(也可采用分离参数的方法).

3．给定参数范围的一元二次不等式恒成立问题的解题策略

解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数；一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的

范围，谁就是参数；即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求

解.

4．常见不等式恒成立及有解问题的函数处理策略

不等式恒成立问题常常转化为函数的最值来处理，具体如下：

(1)对任意的x∈[m,n]，a>f(x)恒成立⇒a>f(x)max；

若存在x∈[m,n]，a>f(x)有解⇒a>f(x)min；

若对任意x∈[m,n]，a>f(x)无解⇒a≤f(x)min.

(2)对任意的x∈[m,n]，a<f(x)恒成立⇒a<f(x)min；

若存在x∈[m,n]，a<f(x)有解⇒a<f(x)max；

若对任意x∈[m,n]，a<f(x)无解⇒a≥f(x)max.

【题型1一元二次不等式在实数集上恒成立问题】

【例1】（2025·湖北黄冈·模拟预测）若“”是真命题，则实数的取值范围为（）

2

A．B．∀�∈�C,．�−��+2>0D．�

【变式1-1−】2（25,2-262高一上·江−2苏·2期,2中2）不等式−2,2对一切实数−2x,2都成立，则实数k的取值范围

2

是（）��+��+1≥0

A．B．

C．−∞,0∪4,+∞D．−∞,0∪4,+∞

【变式1-20】,4（2025·河南·模拟预测）已知命题“0,4”是假命题，则实数的取值范围为

2

（）∃�∈�,�−��+�<0�

A．B．C．D．

【变式1-30】,4（25-26高一上·宁0,4夏银川·期中）对于任0意,2实数，不等式0,2恒成立，

2

则实数的取值范围为（）��−2�−2�−2�−4<0

�

A．B．

C．��<2D．��≤2

�−2<�<2�−2<�≤2

【题型2一元二次不等式在某区间上恒成立问题】

【例2】（25-26高一上·贵州六盘水·期中）一元二次不等式在区间上恒成立，则实数

2

的取值范围是（）�−��−1≤02,4�

A．B．

3315

−∞,22,4

C．D．

315

2,+∞4,+∞

【变式2-1】（25-26高三上·北京西城·月考）若，不等式恒成立，

2

则实数m的取值范围是（）∀�∈(1,+∞)�−(1+�)�+(1+�)≥0

A．B．C．D．

(−∞,2][2,+∞)(−∞,3][3,+∞)

【变式2-2】（25-26高一上·江苏南通·期中）当时，不等式恒成立，则的取值

23

范围是（）�∈−1,12��−��−8<0�

A．B．C．D．

11

−3,0−3,0−3,8−3,8

【变式2-3】（25-26高一上·安徽芜湖·月考）设，若关于x的不等式恒成

12

0<�<22��−�+3�+2≥0

立，则实数k的最大值为（）

A．8B．9C．10D．11

【题型3给定参数范围的不等式恒成立问题】

【例3】（25-26高一上·云南红河·月考）当时，不等式恒成立，则

2

的取值范围为（）0≤�≤3�−�+2�+�−3<0�

A．B．C．D．

【变式3-1−】1（,525-26高一上·−黑1龙,3江哈尔滨·期中）若0,3，使得关于0的,5不等式成

2

立，则实数的取值范围为（）∃�∈1,2���+�−�+1≥0

A．�或B．或

1

�≤−1�≥0�≤−1�≥2

C．D．

【变式3-�2】≥（125-26高一上·湖北随州·期中）若不等�式≤1对任意恒成立，则

2

x的取值范围为（）�−��≥16−3�−4��∈−2,4

A．B．

C．−∞,−8∪3,+∞D．−∞,0∪1,+∞

【变式3-3−】（8,624-25高一上·贵州·期中）已知集合0,3，对于任意的，不等式

22

恒成立，则实数x的取值范围是（�）=��−5�−6≤0�∈��+��−

�>2A�．−1B．

C．1,2D．−∞,1∪1,+∞

−5,2−∞,−5∪2,+∞

【题型4一元二次不等式在实数集上有解问题】

【例4】（25-26高一上·山西太原·期中）若存在，使得不等式成立，则实数的取值

2

范围是（）�∈���−��−1>0�

A．B．C．D．

【变式4-1−】∞（,2−5-426高一上·天0,津+武∞清·期中）若命题−“4,0，使得−∞,−4∪0,”+为∞真命题，则实数

2

a的取值范围是（）∃�∈��+2��+2�+3<0

A．B．

�|�<−1�|−1≤�≤3

C．或D．

77

【变式4-{2�】|�（<2−5-126高�一>上3}·天津南开·月考）若关于�|x1的−不2等≤式�≤1+2有实数解，则实数m

22

的取值范围是（）�+2�+9<�+2�

A．B．

C．−∞,−4∪2,+∞D．−∞,−4∪2,+∞

【变式4-3−】（4,24-25高一上·山东济南·期末）若−∞,−2∪4,+∞，则实数的取值范围为（）

2

A．B．∃C�．∈�,��+2�−3D�．+4≤0�

1,9−∞,0−∞,1∪9,+∞−∞,1∪9,+∞

【题型5一元二次不等式在某区间上有解问题】

【例5】（25-26高一上·湖北孝感·期中）当时，关于的不等式有解，则实数

2

的取值范围是（）1≤�≤3��−��+4≥0�

A．B．或

�≤4�≤−4�≥4

C．D．

13

�≤5�≤3

【变式5-1】（25-26高一上·黑龙江·期中）若存在，使得成立，则m的取值

2

范围为（）�∈−2,0�−2�+5−�<0

A．B．C．D．

�>13�>4�>5�>8

【变式5-2】（25-26高一上·天津南开·月考）设，若关于的不等式在上有

2

解，则（）�∈R��−��+1≥01≤�≤2

A．B．

�≤2�≥2

C．D．

55

�≤2�≥2

【变式5-3】（25-26高一上·江西赣州·月考）当时，关于x的不等式有解

2

的充要条件是（）1≤�≤4�−��−�+15≤0

A．B．

C．�∈−∞,+5D．�∈6,+∞

�∈7,+∞�∈8,+∞

【题型6基本不等式中的恒成立、有解问题】

【例6】（2025·吉林延边·一模）已知正实数，满足，且不等式恒成立，则

1

的取值范围是（）���+�−2��=0�+�−�>0�

A．B．C．D．

【变式6-�1】<（224-25高一上�·江<西8南昌·期中）若两个�<正6实数，满足�<，4且不等式

14�2

��4

有解，则实数的取值范围是（）��+=1�+<�−3�

A．�B．或

C．{�|−1<�<4}D．{�|�<−4或�>1}

【变式{�】|（−4<�江<西1一}模）已知正数，满足{�|�<−1，若�不>等4式}恒成立，则实数的

6-22025··xy22a

��

取值范围是．�+�=6�≤�+1+�+2

【变式6-3】（25-26高一上·陕西宝鸡·期中）已知，且，若恒成立，则

228

实数的取值范围是．�>0,�>0�+�=1�+3�≤�+�

�

【题型7不等式恒成立、能成立问题综合】

【例7】（24-25高一上·北京·月考）已知命题，，命题，

22

恒成立.若和至多有一个为真命题，则实数�:∃�的∈取R值(范�围+为1)（�+）1≤0�:∀�∈R�−��+1>0

A．���B．

C．[2,+∞)D．(−1,2]

【变式7-(1】−（∞,2−4-25]∪高[一2,上+·∞河)北·月考）设命题p：(对−任∞意,−2]∪(−1,，+不∞等)式恒成立；

2

命题q：存在，使得不等式成−立1≤，�若≤p，1q中至少�有−一2个�是−假4命+�题，<则0实数m

2

0≤�≤12�−2≥�−3�

的取值范围为（）

A．B．

C．�∣�<−1D．�∣0≤�≤3

【变式7-2�】∣0（≤25�-26<高1一上·天津南开·期中）已知关−于∞,的0不∪等[1式,+∞).

2

(1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立，并说�明理由；��−2�−�+1<0

(2)若不等式对于�恒成立，求�∈实�数的取值范围；

(3)若存在�∈−使1不,1等式成立，求的�取值范围.

�∈2,+∞�

【变式7-3】（24-25高一上·河北张家口·月考）已知函数，

2222

．��=2�−2��+2−���=�+3�−�−

(41)�当∈�时，解不等式；

(2)若对�=任1意，都有��>��成立，求实数的取值范围；

(3)若对�>0，��>，�使�得不等式�成立，求实数的取值范围．

∀�1∈0,1∃�2∈0,1��1>��2�

一、单选题

1．（2025·陕西咸阳·二模）已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是（）

2

A．B．∃�∈�C．�+�+�−2≤0D．�

9

−∞,00,44,+∞4,+∞

2．（25-26高一上·湖北武汉·月考）设，，且不等式有解，则正实数的取

11

值范围是（）�>0�>0��+��+�≤9�

A．B．C．D．

3．（20�2≥5·重4庆·一模）已知0<�≤，2则“0<�的≤解4集为”是“�≥”2的（）

2

�∈R�+2�+�>0R�>0

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

4．（25-26高一上·福建·期中）已知存在，使得成立，则的取值范围是（）.

322

�∈−1,2�−2�≥�−2��

A．B．C．D．

13

0,2−1,32,20,+∞

5．（24-25高一上·江苏南通·期中）恒成立，则实数的取值范围

2

为（）∀�∈−1,+∞,�+1−��+1−�≥0�

A．B．C．D．

6．（24-−25∞高,−一1上·安徽池州−·期∞,中0）已知−3，,1且，若−∞,1恒成立，则实数

41

�+1�+2

的取值范围是（）�>0,�>0�+�=5+≥2�+1

�A．B．C．D．

121

−∞,16−∞,5−∞,2−∞,4

7．（24-25高三上·山西·月考）若不等式对任意的恒成立，则的最小值为

（）��−1�−�≥0�∈R4�+�

A．B．4C．5D．

8．（2025·2云南昭通·模拟预测）已知函数，若对4于任2意的实数x，不等式

2

(�−2),�≥2

�(�)=16�(2�−

恒成立，则实数a的取值范围为（−�）(4−�),�<2

2

�)≤A．�(�+2)B．C．D．

3

二、多选[1题,+∞)[1,2]−4,+∞[2,+∞)

9．（25-26高一上·江苏扬州·期中）若关于的不等式在上恒成立，则实

2

数的可能取值为（）��+1−��+�−1≥01,+∞

�A．7B．5C．3D．

10．（24-25高一上·广东湛江·月考）已知不等式在−2上有解，则实数的取值可

2

以为（）�−��−�+1≥0�∈[0,3]�

A．B．C．D．

5

�=2�=2�=3�=5

11．（25-26高一上·四川广元·月考）已知不等式的解集是，则下列说法正

2

确的是（）��+��+�>0{�∣−2<�<3}

A．

�>0

B．不等式的解集是

211

��+��+�<0�−2<�<3

C．

D．�若+关�于+�的>不0等式有解，则实数的取值范围是或

2�+5

三、填空题��−�>�+4�{�∣�>2�<1}

12．（2025·山东·二模）已知不等式对任意的恒成立，则实数a的最小

2

值为．3�+�−2�+4≥0�∈0,+∞

13．（2025·广东梅州·模拟预测）已知函数的定义域为实数集，则实数的取值范围

23

为.��=2��+��+4��

14．（25-26高一上·广东广州·月考）已知，且，若