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文档简介
重难点01利用基本不等式求最值8大题型
【全国通用】
基本不等式是历年高考的重点和热点内容,是常考常新的内容.从近几年的高考情况来看,高考题型通
常为选择题或填空题,但它的应用范围很广,涉及到函数、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何、
导数等内容,它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等.在高考中经常考查运用基本不等式求函
数或代数式的最值,具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点.在高考复习中切忌生搬硬套,在应用时一
定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件灵活运用.
知识点1利用基本不等式求最值
1.基本不等式与最值
已知x,y都是正数,
(1)如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2P;
1
(2)如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值S2.
4
温馨提示:从上面可以看出,利用基本不等式求最值时,必须有:(1)x、y>0,(2)和(积)为定值,(3)存在取
等号的条件.
2.常见的求最值模型
nn
(1)模型一:mx2mn(m0,n0),当且仅当x时等号成立;
xm
nnn
(2)模型二:mxm(xa)ma2mnma(m0,n0),当且仅当xa时等号成立;
xaxam
x11c
(3)模型三:(a0,c0),当且仅当x时等号成立;
2c
axbxcaxb2acba
x
mx(nmx)1mxnmxn2nn
(4)模型四:x(nmx)()2(m0,n0,0x),当且仅当x时等
mm24mm2m
号成立.
3.利用基本不等式求最值的几种方法
(1)直接法:条件和问题间存在基本不等式的关系,可直接利用基本不等式来求最值.
(2)配凑法:利用配凑法求最值,主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.
(3)常数代换法:主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题,先将转化为
,再用基本不等式求最值.
(4)消元法:当所求最值的代数式中的变量比较多时,通常考虑利用已知条件消去部分变量后,凑出“和为常
数”或“积为常数”的形式,最后利用基本不等式求最值.
(5)构造不等式法:构建目标式的不等式求最值,在既含有和式又含有积式的等式中,对和式或积式利用基
本不等式,构造目标式的不等式求解.
知识点2基本不等式的实际应用
1.基本不等式的实际应用的解题策略
(1)根据实际问题抽象出函数的解析式,再利用基本不等式求得函数的最值.
(2)解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围.
(3)在应用基本不等式求函数的最值时,若等号取不到,则可利用函数的单调性求解.
【题型1直接法求最值】
【例】(河北保定二模)已知,是非零实数,则的最小值为()
12025··xy22
�9�
22
�+�
A.6B.12C.2D.4
【答案】A
【解题思路】由基本不等式即可求解.
【解答过程】,
2222
�9��9�
2222
�+�≥2�×�=6
当且仅当,
22
�9�
22
即�=�,等号成立,
所以�=3�的最>小0值为,
226
�9�
22
�+�
故选:A.
【变式1-1】(25-26高二上·北京海淀·月考)若,则函数的最小值为()
4
�>0�=�+�
A.2B.3C.D.4
【答案】D22
【解题思路】利用基本不等式即可求得答案.
【解答过程】由题意知,则函数,
44
�>0�=�+�≥2�⋅�=4
当且仅当,即时取得等号,
4
�=��=2
故函数的最小值为4,
4
�=�+�
故选:D.
【变式1-2】(2025·甘肃定西·一模)的最小值为()
7
22
�+�+7
A.B.C.D.
【答案】B27374757
【解题思路】利用基本不等式即可得解.
【解答过程】由题意知,所以,
7
22
�≠0�>0,�>0
所以.
277
222
�+�+7≥2�⋅�+7=37
当且仅当,即时,等号成立.
7
222
�=��=7
故选:B.
【变式1-3】(24-25高一上·江苏淮安·阶段练习)如果,那么当取得最小值时m的值为()
16
�>0�+�
A.-4B.4C.8D.16
【答案】B
【解题思路】根据基本不等式等号成立的条件即可求解.
【解答过程】由于,故,当且仅当,即时取等号,
161616
�>0�+�≥2�⋅�=8�=��=4
故选:B.
【题型2配凑法求最值】
【例2】(2025·新疆省直辖县级单位·模拟预测)已知,则的最小值为()
4
�∈(0,+∞)�=2�+2�+1
A.3B.4C.D.6
【答案】A32
【解题思路】根据给定条件,利用基本不等式求出最小值.
【解答过程】由,得,
�∈(0,+∞)2�+1>1,
444
�=2�+2�+1=2�+1+2�+1−1≥2(2�+1)⋅2�+1−1=3
当且仅当,即时取等号,
41
2�+1=2�+1�=2
所以的最小值为3.
4
�=2�+2�+1
故选:A.
【变式2-1】(2025·四川德阳·二模)若,则函数的最小值为()
8
�>1�=2�+�−1
A.8B.9C.10D.11
【答案】C
【解题思路】利用基本不等式可得答案.
【解答过程】若,则,
所以函数�>1�−1>0,
88
�=2�−1+�−1+2≥22�−1�−1+2=10
当且仅当即时等号成立.
8
2�−1=�−1�=3
故选:C.
【变式2-2】(25-26高一上·全国·课后作业)若,则的最小值为()
1
�>14�+�−1
A.4B.6C.8D.无最小值
【答案】C
【解题思路】将式子配凑成,然后利用基本不等式求解即可.
1
4(�−1)+�−1+4
【解答过程】若,则,
111
�>14�+�−1=4�−1+�−1+4≥24�−1⋅�−1+4=8
当且仅当,即时,等号成立,所以的最小值为8.
131
4�−1=�−1�=24�+�−1
故选:C.
【变式2-3】(2025·江西赣州·二模)已知,则的最小值为.
�4�
�>�>0�−�−2�+�
【答案】
2
3
【解题思路】依据条件结构特征利用分离常数法和配凑法思想对进行变形配凑,再结合基本不等式
�4�
�−�−2�+�
即可求解最小值.
【解答过程】由题,所以
�>�>0
�4��4�+2�−2��2�
−=−=+−2
�−�2�+��−�2�+��−�2�+�
1222
=�+−2=�+−2
�−�2�+�2�−2�2�+�
122
=2�−2�+2�+�+−2
32�−2�2�+�
22�+�2�−2�
=2++−2
32�−2�2�+�,
22�+�2�−2�82
≥32+22�−2�·2�+�−2=3−2=3
当且仅当,即,即时等号成立.
2�+�2�−2�
2�−2�=2�+�2�+�=2�−2��=4�
故答案为:.
2
3
【题型3巧用“1”的代换求最值】
【例3】(2025·贵州遵义·模拟预测)已知,且,则的最小值为()
�1
�>0,�>0�+2�=1�+�
A.B.4C.3D.2
9
2
【答案】B
【解题思路】利用1的代换,结合基本不等式可求最小值.
【解答过程】因为,所以,
�1��+2�����
�+2�=1�+�=�+�=�+�+2≥2�×�+2=4
当且仅当,即时取等号,所以的最小值为.
��1�1
�=��=�=3�+�4
故选:B.
【变式3-1】(2025·广东梅州·模拟预测)已知,且,则的最小值是()
1
�>0, �>0��−2�+1=0�+9�
A.4B.6C.7D.8
【答案】D
【解题思路】将已知等式变形为,然后使用常数代换法,结合基本不等式可得.
1
�+�=2
【解答过程】由得,即,
11
��−2�+1=0�−2+�=0�+�=2
所以,
1111111
�+9�=2�+9��+�=21+��+9��+9≥210+29=8
当且仅当1,即时,等号成立,
�+�=212
1�=2,�=3
��=9��
所以的最小值为8.
1
�+9�
故选:D.
【变式3-2】(2025·河南信阳·模拟预测)已知,则的最小值为()
11
�+�=1��>0�+�
A.1B.2C.4D.
9
4
【答案】C
【解题思路】利用“1”的代换结合基本不等式求解即可.
【解答过程】因为
�+�=1��>0,
所以.其中均正数.
11������
�+��+�=2+�+�≥2+2�⋅�=4�,�
当且仅当,即时取等号.
��1
�=��=�=2
故选:C.
【变式3-3】(2025·河南·三模)若,,且,则的最大值为()
14
�>0�>0�+�=1−�−�
A.B.C.D.
【答案】A−9−7−5−3
【解题思路】根据“1”的代换,结合基本不等式求出的最小值,即可得出答案.
14
【解答过程】因为,,且,�+�
所以�>0�>0�+�=1,
1414�4��4�
�+�=�+��+�=5+�+�≥5+2�⋅�=9
当且仅当,,,即,时等号成立,
�4�12
�=��>0�>0�=3�=3
所以的最大值为.
14
−�−�−9
故选:A.
【题型4消元法求最值】
【例4】(24-25高三上·河南漯河·期末)设正实数、、满足,则的最大值为()
22��
����−��+�−�=0�
A.B.C.D.
【答案】D4231
【解题思路】由已知条件可得出,利用基本不等式可求得的最大值.
��1��
��
�=�+�−1�
【解答过程】因为正实数、、满足,则,
2222
所以,����−,��+�−�=0�=�+�−��
����11
��
22��
��+�−���+�−1
==≤2�⋅�−1=1
当且仅当时,即当时,等号成立,
��
�=��>0,�>0�=�
故的最大值为.
��
�1
故选:D.
【变式4-1】(24-25高一上·广东肇庆·期末)已知,则的最小值为()
44
�>0,�>1,�+�−1=1�+�
A.15B.16C.17D.18
【答案】C
【解题思路】根据条件等式有且,再应用基本不等式求最值.
416
�+�=(�−5)+�−5+9�>5
【解答过程】由题设且,则,
4�−5
�=1−�−1=�−1>0�>1�>5
所以
44(�−1)1616
�+�=�−5+�=(�−5)+�−5+9≥2(�−5)⋅�−5+9=17
当且仅当即时取等号.
16
�−5=�−5�=9
故选:C.
【变式4-2】(2025·浙江绍兴·三模)若,且,则的最小值
2
是.�,�,�>0�+��+2��+2��=42�+�+2�
【答案】
【解题思路4】由题意可借助、表示出,从而消去,再计算化简后结合基本不等式计算即可得.
【解答过程】由���,则�,
2
24−�−��
�+��+2��+2��=42�=�+�
即
22
4−�−��2�+��+�+4−�−��
2�+�+2�=2�+�+�+�=�+�
222222
2�+3��+�+4−�−���+2��+�+4�+�+4
===
�+�,�+��+�
44
=�+�+�+�≥2�+�⋅�+�=4
当且仅当,即时,等号成立.
4
�+�=�+��+�=2
故答案为:.
【变式4-3】(42025·四川德阳·模拟预测)已知正实数,,满足,则
2
的最小值是.����+��+��+��+�+�=63�+2�+�
【答案】
【解题思路4】3−因2式分解得到,变形后得到,利用基本不等式求
66
�+�=�+�+13�+2�+�=2�+�+�+�+1
出最小值.
【解答过程】因为为正实数,
故�,�,�,
22
即�+��+��+��+�+�=6⇒�+��+��+��+�+�=6,
6
��+�+��+�+�+�=6⇒�+�+1�+�=6⇒�+�=�+�+1
6
3�+2�+�=2�+�+�+�=2�+�+
�+�+1,
66
=2�+�+1+�+�+1−2≥22�+�+1⋅�+�+1−2=43−2
当且仅当,即,此时,
66
2�+�+1=�+�+1�+�=3−1�+�=�+�+1=23
所以的最小值为.
故答案3�为+:2�+�.43−2
43−2
【题型5齐次化求最值】
【例】(高一上江西月考)已知,则的最大值是()
525-26··2
�−�+14
A.B.�<−C1.5�+1D.8
【答案】A−11−8
【解题思路】化简变形利用基本不等式计算即可.
【解答过程】易知.
22
�−�+14�+1−3�+1+1616
因为,所以�+1=,所以�+1=�+1,+�+1−3
则�<−1�+1<0−�+1,>0
1616
�+1+�+1=−−�+1+−�+1≤−8
当且仅当,即时,等号成立,
16
−�+1=−�+1�=−5
故,则的最大值是.
2
16�−�+14
故选�+:1A+.�+1−3≤−11�+1−11
【变式】(高一下重庆沙坪坝月考)已知正数满足,则的最小值为()
5-124-25··2
�+�
�,��+2�=1��
A.B.C.D.
11
222222+122+1
【答案】D
【解题思路】将目标式整理为齐次式,再结合均值不等式即可求得结果.
【解答过程】,因为,故,
2222
�+��+�(�+2�)�+��+2��2��2�
��=��=��=�+�+1�>0,�>0�>0,�>0
则,当且仅当,也即取得等号,
�2��2��2�2
�+�+1≥2�×�+1=22+1�=�,�+2�=1�=2−1,�=1−2
故的最小值为
2.
�+�
��22+1
故选:D.
【变式】(全国模拟预测)已知,为正数,则的最小值为()
5-22025··xy22
2�+3�
��
A.4B.C.3D.
【答案】D3226
【解题思路】根据给定条件,利用基本不等式求出最小值.
【解答过程】由,均为正数,则,
xy22
2�+3�2�3�2�3�
��=�+�≥2�⋅�=26
当且仅当,即时取等号,
2�3�6
�=��=3�
故的最小值为
22.
2�+3�
��26
故选:D.
【变式】(山东模拟预测)设正实数满足,则的最小值为()
5-32025··22
(�+1)+�
�,��+2�=1��
A.B.17C.D.16
37
28+45
【答案】C
【解题思路】代入,再由基本不等式即可求解;
【解答过程】由题意�+知2�=1,
222222
(�+1)+�(�+�+2�)+�4�+8��+5�4�5�4�5�
��=��=��=�+�+8≥2�⋅�+8=8+45
当且仅当,即时,等号成立.
4�5�545−5
�=��=2�=11
因此,的最小值为.
22
(�+1)+�
故选:C.��8+45
【题型6多次使用基本不等式求最值】
【例6】(24-25高二下·河北保定·月考)已知,,,,则的最小
311
��+1�
值为()�>0�>−1�>02�+3�=2−�++
A.B.C.D.
77+65+65
【答案】A2+6222+6
【解题思路】结合条件可得,展开等式右侧,结合基本不
311311
4�+�+1+�=�+2�+1+3��+�+1+�
等式求其最小值即可.
【解答过程】因为,所以,
所以�+2�+3�=2�+2�+1+,3�=4
311311
4�+�+1+�=�+2�+1+3��+�+1+�
所以,
3112�+16�+13�9���
4�+�+1+�=2+�+�+�+1+3+�+�+1+�+3
又,当且仅当时等号成立,
2�+13�6
�+�+1≥26�+1=2�
,当且仅当时等号成立,
6�+1�6
�+�+1≥26�+1=6�
,当且仅当时等号成立,
9��
�+�≥29=6�=3�
三个等号可同时成立,所以,
311
4�+�+1+�min=14+46
当且仅当时等号成立,
12−2626−712−26
�=5,�=5,�=15
所以的最小值为,
3117
�+�+1+�2+6
故选:A.
【变式6-1】(2025·天津红桥·一模)已知,则的最小值为()
1�
2
�>0,�>0�+4�+�
A.B.C.4D.2
【答案】D4222
【解题思路】两次利用基本不等式,即可得解.
【解答过程】因为,
所以�>0,�>0,
1�1�11
22
�+4�+�≥2�⋅4�+�=�+�≥2�⋅�=2
当且仅当,且,即时,取等号,
1�1
2
�=4��=��=2,�=1
所以的最小值为2.
1�
2
�+4�+�
故选:D.
【变式6-2】(24-25高三上·安徽六安·阶段练习)已知正数x,y,z满足,则的最小
2221+�
2���
值为()�+�+�=1�=
A.3B.C.4D.
3(3+1)
【答案】C22(2+1)
【解题思路】由基本不等式可得,由题意整理可得,即可得.
11+�11+�1
【解答过程】由题意可得,�1−�≤42��≥1−�2���≥�1−�≥4
则,0当<且�仅<当1,0<1−�,<即1时,等号成立,
�+1−�211
又因�1为−�≤2=,4�=1−��=2
222
则�+�+�=1,当且仅当时,等号成立,
222
可得1−�=�,+即�≥2��,�=�
2
1−�1−�1+�
2��≥12��≥1
又因为,则,
1+�1
1−�>02��≥1−�
可得,当且仅当时,等号成立,
1+�161
2���≥�1−�≥4�=�=4,�=2
所以的最小值.
1+�
�=2���4
故选:C.
【变式6-3】(2025·山东淄博·二模)记表示中最大的数.已知均为正实数,则
212
的最小值为()max�,�,��,�,��,�max�,�,�+
2
4�A.B.1C.2D.4
1
2
【答案】C
【解题思路】设,得,两次应用基本不等式求最小值,注意等
21222122
�=max{�,�,�+4�}3�≥�+�+�+4�
号成立的条件即可.
【解答过程】设,则,,,
21222122
�=max{�,�,�+4�}�≥�>0�≥�>0�≥�+4�>0
∴,当且仅当时取等号,
212221
3�≥�+�+�+4�≥�+�+4���=2�
又,当且仅当,即时取等号,
2132121
所以�+�+4,��当≥且3仅�当⋅�⋅4��=6时取等号,�=�=4���=2�=1
所以�的≥最2小值是2,�=2�=1
故选:�C.
【题型7基本不等式的实际应用】
【例7】(2025·广西·一模)现使用一架两臂不等长的天平称中药,操作方法如下:先将100g的砝码放在天
平左盘中,取出一些中药放在天平右盘中,使得天平平衡;再将100g的砝码放在天平右盘中,再取出一些
中药放在天平左盘中,使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量()
A.等于200gB.大于200gC.小于200gD.以上都有可能
【答案】B
【解题思路】用平衡条件得出的表达式,结合基本不等式可得答案.
【解答过程】设天平左臂长为�,右臂长为,且,左盘放的药品为克,右盘放的药品为
克,���,�>0�≠��1�2
则,解得,
2100�100�
100�=��12
1�=�,�=�
��=100�,
100�100�100�100�
12
当�=且�仅当+�=时�,+取到�等≥号2,而�⋅�,=所20以0.
故选:B.�=��≠��>200
【变式7-1】(2024·黑龙江哈尔滨·一模)已知某商品近期价格起伏较大,假设第一周和第二周的该商品的单
价分别为m元和n元,甲、乙两人购买该商品的方式不同,甲每周购买100元的该商品,乙每周购
买20件该商品,若甲(、�乙≠两�)次购买平均单价分别为,则()
A.B.C.�1,�2D.的大小无法确定
【答案】B�1=�2�1<�2�1>�2�1,�2
【解题思路】由题意求出的表达式,利用基本不等式,比较大小,即得答案.
【解答过程】由题意得�1,�2,,
2002��20(�+�)�+�
11001002
�=�+�=�+��=40=2
因为,故,,
�+�2��2��
即�>0,,�>0,�≠�2>���+�<2��=��
故选�1:<B�.2
【变式7-2】(2025·贵州遵义·模拟预测)某学校社团举办“灯笼装饰校园”的活动比赛,要求用彩带制作、
两种类型的灯笼,其中型灯笼每个需要0.5米彩带,型灯笼每个需要1米彩带.活动规定:两种灯笼�数�
量的乘积越大,评分越高�.已知某同学用60米长的彩�带制作型灯笼个,型灯笼个.若要使该同学的
得分最高,则实数,的值分别为()����
A.,��B.,
C.�=60,�=30D.�=50,�=35
【答案】�A=40�=40�=30�=45
【解题思路】依题意可得,再利用基本不等式计算可得
【解答过程】依题意0.5,�+�=6且0,即,
又�∈N∗,所�以∈N∗0.5�,+当�且=仅6当0�+时2取�=等1号2,0由,解得,
�+2�=120�=60
120=�+2�≥22����≤1800�=2�
故当,时该同学的得分最高.�=2��=30
故选:�A=.60�=30
【变式7-3】(2024·贵州遵义·模拟预测)如图所示的“大方图”称为赵爽弦图,它是由中国数学家赵爽于公元
3世纪在给《周髀算经》“勾股网方图”作注时给出的一种几何平面图,记载于赵爽“负薪余日,聊观《周》”
一书之中.他用数学符号语言将其表示为“若直角三角形两直角边为,斜边为(、、均为正数).则
,”.某同学读到此书�中的�“赵爽弦�图�”时�,出�于好奇,想用软�钢+
2222
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