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文档简介

重难点01利用基本不等式求最值8大题型

【全国通用】

基本不等式是历年高考的重点和热点内容,是常考常新的内容.从近几年的高考情况来看,高考题型通

常为选择题或填空题,但它的应用范围很广,涉及到函数、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何、

导数等内容,它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等.在高考中经常考查运用基本不等式求函

数或代数式的最值,具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点.在高考复习中切忌生搬硬套,在应用时一

定要紧扣“一正二定三相等”这三个条件灵活运用.

知识点1利用基本不等式求最值

1.基本不等式与最值

已知x,y都是正数,

(1)如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2P;

1

(2)如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值S2.

4

温馨提示:从上面可以看出,利用基本不等式求最值时,必须有:(1)x、y>0,(2)和(积)为定值,(3)存在取

等号的条件.

2.常见的求最值模型

nn

(1)模型一:mx2mn(m0,n0),当且仅当x时等号成立;

xm

nnn

(2)模型二:mxm(xa)ma2mnma(m0,n0),当且仅当xa时等号成立;

xaxam

x11c

(3)模型三:(a0,c0),当且仅当x时等号成立;

2c

axbxcaxb2acba

x

mx(nmx)1mxnmxn2nn

(4)模型四:x(nmx)()2(m0,n0,0x),当且仅当x时等

mm24mm2m

号成立.

3.利用基本不等式求最值的几种方法

(1)直接法:条件和问题间存在基本不等式的关系,可直接利用基本不等式来求最值.

(2)配凑法:利用配凑法求最值,主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.

(3)常数代换法:主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题,先将转化为

,再用基本不等式求最值.

(4)消元法:当所求最值的代数式中的变量比较多时,通常考虑利用已知条件消去部分变量后,凑出“和为常

数”或“积为常数”的形式,最后利用基本不等式求最值.

(5)构造不等式法:构建目标式的不等式求最值,在既含有和式又含有积式的等式中,对和式或积式利用基

本不等式,构造目标式的不等式求解.

知识点2基本不等式的实际应用

1.基本不等式的实际应用的解题策略

(1)根据实际问题抽象出函数的解析式,再利用基本不等式求得函数的最值.

(2)解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围.

(3)在应用基本不等式求函数的最值时,若等号取不到,则可利用函数的单调性求解.

【题型1直接法求最值】

【例】(河北保定二模)已知,是非零实数,则的最小值为()

12025··xy22

�9�

22

�+�

A.6B.12C.2D.4

【答案】A

【解题思路】由基本不等式即可求解.

【解答过程】,

2222

�9��9�

2222

�+�≥2�×�=6

当且仅当,

22

�9�

22

即�=�,等号成立,

所以�=3�的最>小0值为,

226

�9�

22

�+�

故选:A.

【变式1-1】(25-26高二上·北京海淀·月考)若,则函数的最小值为()

4

�>0�=�+�

A.2B.3C.D.4

【答案】D22

【解题思路】利用基本不等式即可求得答案.

【解答过程】由题意知,则函数,

44

�>0�=�+�≥2�⋅�=4

当且仅当,即时取得等号,

4

�=��=2

故函数的最小值为4,

4

�=�+�

故选:D.

【变式1-2】(2025·甘肃定西·一模)的最小值为()

7

22

�+�+7

A.B.C.D.

【答案】B27374757

【解题思路】利用基本不等式即可得解.

【解答过程】由题意知,所以,

7

22

�≠0�>0,�>0

所以.

277

222

�+�+7≥2�⋅�+7=37

当且仅当,即时,等号成立.

7

222

�=��=7

故选:B.

【变式1-3】(24-25高一上·江苏淮安·阶段练习)如果,那么当取得最小值时m的值为()

16

�>0�+�

A.-4B.4C.8D.16

【答案】B

【解题思路】根据基本不等式等号成立的条件即可求解.

【解答过程】由于,故,当且仅当,即时取等号,

161616

�>0�+�≥2�⋅�=8�=��=4

故选:B.

【题型2配凑法求最值】

【例2】(2025·新疆省直辖县级单位·模拟预测)已知,则的最小值为()

4

�∈(0,+∞)�=2�+2�+1

A.3B.4C.D.6

【答案】A32

【解题思路】根据给定条件,利用基本不等式求出最小值.

【解答过程】由,得,

�∈(0,+∞)2�+1>1,

444

�=2�+2�+1=2�+1+2�+1−1≥2(2�+1)⋅2�+1−1=3

当且仅当,即时取等号,

41

2�+1=2�+1�=2

所以的最小值为3.

4

�=2�+2�+1

故选:A.

【变式2-1】(2025·四川德阳·二模)若,则函数的最小值为()

8

�>1�=2�+�−1

A.8B.9C.10D.11

【答案】C

【解题思路】利用基本不等式可得答案.

【解答过程】若,则,

所以函数�>1�−1>0,

88

�=2�−1+�−1+2≥22�−1�−1+2=10

当且仅当即时等号成立.

8

2�−1=�−1�=3

故选:C.

【变式2-2】(25-26高一上·全国·课后作业)若,则的最小值为()

1

�>14�+�−1

A.4B.6C.8D.无最小值

【答案】C

【解题思路】将式子配凑成,然后利用基本不等式求解即可.

1

4(�−1)+�−1+4

【解答过程】若,则,

111

�>14�+�−1=4�−1+�−1+4≥24�−1⋅�−1+4=8

当且仅当,即时,等号成立,所以的最小值为8.

131

4�−1=�−1�=24�+�−1

故选:C.

【变式2-3】(2025·江西赣州·二模)已知,则的最小值为.

�4�

�>�>0�−�−2�+�

【答案】

2

3

【解题思路】依据条件结构特征利用分离常数法和配凑法思想对进行变形配凑,再结合基本不等式

�4�

�−�−2�+�

即可求解最小值.

【解答过程】由题,所以

�>�>0

�4��4�+2�−2��2�

−=−=+−2

�−�2�+��−�2�+��−�2�+�

1222

=�+−2=�+−2

�−�2�+�2�−2�2�+�

122

=2�−2�+2�+�+−2

32�−2�2�+�

22�+�2�−2�

=2++−2

32�−2�2�+�,

22�+�2�−2�82

≥32+22�−2�·2�+�−2=3−2=3

当且仅当,即,即时等号成立.

2�+�2�−2�

2�−2�=2�+�2�+�=2�−2��=4�

故答案为:.

2

3

【题型3巧用“1”的代换求最值】

【例3】(2025·贵州遵义·模拟预测)已知,且,则的最小值为()

�1

�>0,�>0�+2�=1�+�

A.B.4C.3D.2

9

2

【答案】B

【解题思路】利用1的代换,结合基本不等式可求最小值.

【解答过程】因为,所以,

�1��+2�����

�+2�=1�+�=�+�=�+�+2≥2�×�+2=4

当且仅当,即时取等号,所以的最小值为.

��1�1

�=��=�=3�+�4

故选:B.

【变式3-1】(2025·广东梅州·模拟预测)已知,且,则的最小值是()

1

�>0, �>0��−2�+1=0�+9�

A.4B.6C.7D.8

【答案】D

【解题思路】将已知等式变形为,然后使用常数代换法,结合基本不等式可得.

1

�+�=2

【解答过程】由得,即,

11

��−2�+1=0�−2+�=0�+�=2

所以,

1111111

�+9�=2�+9��+�=21+��+9��+9≥210+29=8

当且仅当1,即时,等号成立,

�+�=212

1�=2,�=3

��=9��

所以的最小值为8.

1

�+9�

故选:D.

【变式3-2】(2025·河南信阳·模拟预测)已知,则的最小值为()

11

�+�=1��>0�+�

A.1B.2C.4D.

9

4

【答案】C

【解题思路】利用“1”的代换结合基本不等式求解即可.

【解答过程】因为

�+�=1��>0,

所以.其中均正数.

11������

�+��+�=2+�+�≥2+2�⋅�=4�,�

当且仅当,即时取等号.

��1

�=��=�=2

故选:C.

【变式3-3】(2025·河南·三模)若,,且,则的最大值为()

14

�>0�>0�+�=1−�−�

A.B.C.D.

【答案】A−9−7−5−3

【解题思路】根据“1”的代换,结合基本不等式求出的最小值,即可得出答案.

14

【解答过程】因为,,且,�+�

所以�>0�>0�+�=1,

1414�4��4�

�+�=�+��+�=5+�+�≥5+2�⋅�=9

当且仅当,,,即,时等号成立,

�4�12

�=��>0�>0�=3�=3

所以的最大值为.

14

−�−�−9

故选:A.

【题型4消元法求最值】

【例4】(24-25高三上·河南漯河·期末)设正实数、、满足,则的最大值为()

22��

����−��+�−�=0�

A.B.C.D.

【答案】D4231

【解题思路】由已知条件可得出,利用基本不等式可求得的最大值.

��1��

��

�=�+�−1�

【解答过程】因为正实数、、满足,则,

2222

所以,����−,��+�−�=0�=�+�−��

����11

��

22��

��+�−���+�−1

==≤2�⋅�−1=1

当且仅当时,即当时,等号成立,

��

�=��>0,�>0�=�

故的最大值为.

��

�1

故选:D.

【变式4-1】(24-25高一上·广东肇庆·期末)已知,则的最小值为()

44

�>0,�>1,�+�−1=1�+�

A.15B.16C.17D.18

【答案】C

【解题思路】根据条件等式有且,再应用基本不等式求最值.

416

�+�=(�−5)+�−5+9�>5

【解答过程】由题设且,则,

4�−5

�=1−�−1=�−1>0�>1�>5

所以

44(�−1)1616

�+�=�−5+�=(�−5)+�−5+9≥2(�−5)⋅�−5+9=17

当且仅当即时取等号.

16

�−5=�−5�=9

故选:C.

【变式4-2】(2025·浙江绍兴·三模)若,且,则的最小值

2

是.�,�,�>0�+��+2��+2��=42�+�+2�

【答案】

【解题思路4】由题意可借助、表示出,从而消去,再计算化简后结合基本不等式计算即可得.

【解答过程】由���,则�,

2

24−�−��

�+��+2��+2��=42�=�+�

22

4−�−��2�+��+�+4−�−��

2�+�+2�=2�+�+�+�=�+�

222222

2�+3��+�+4−�−���+2��+�+4�+�+4

===

�+�,�+��+�

44

=�+�+�+�≥2�+�⋅�+�=4

当且仅当,即时,等号成立.

4

�+�=�+��+�=2

故答案为:.

【变式4-3】(42025·四川德阳·模拟预测)已知正实数,,满足,则

2

的最小值是.����+��+��+��+�+�=63�+2�+�

【答案】

【解题思路4】3−因2式分解得到,变形后得到,利用基本不等式求

66

�+�=�+�+13�+2�+�=2�+�+�+�+1

出最小值.

【解答过程】因为为正实数,

故�,�,�,

22

即�+��+��+��+�+�=6⇒�+��+��+��+�+�=6,

6

��+�+��+�+�+�=6⇒�+�+1�+�=6⇒�+�=�+�+1

6

3�+2�+�=2�+�+�+�=2�+�+

�+�+1,

66

=2�+�+1+�+�+1−2≥22�+�+1⋅�+�+1−2=43−2

当且仅当,即,此时,

66

2�+�+1=�+�+1�+�=3−1�+�=�+�+1=23

所以的最小值为.

故答案3�为+:2�+�.43−2

43−2

【题型5齐次化求最值】

【例】(高一上江西月考)已知,则的最大值是()

525-26··2

�−�+14

A.B.�<−C1.5�+1D.8

【答案】A−11−8

【解题思路】化简变形利用基本不等式计算即可.

【解答过程】易知.

22

�−�+14�+1−3�+1+1616

因为,所以�+1=,所以�+1=�+1,+�+1−3

则�<−1�+1<0−�+1,>0

1616

�+1+�+1=−−�+1+−�+1≤−8

当且仅当,即时,等号成立,

16

−�+1=−�+1�=−5

故,则的最大值是.

2

16�−�+14

故选�+:1A+.�+1−3≤−11�+1−11

【变式】(高一下重庆沙坪坝月考)已知正数满足,则的最小值为()

5-124-25··2

�+�

�,��+2�=1��

A.B.C.D.

11

222222+122+1

【答案】D

【解题思路】将目标式整理为齐次式,再结合均值不等式即可求得结果.

【解答过程】,因为,故,

2222

�+��+�(�+2�)�+��+2��2��2�

��=��=��=�+�+1�>0,�>0�>0,�>0

则,当且仅当,也即取得等号,

�2��2��2�2

�+�+1≥2�×�+1=22+1�=�,�+2�=1�=2−1,�=1−2

故的最小值为

2.

�+�

��22+1

故选:D.

【变式】(全国模拟预测)已知,为正数,则的最小值为()

5-22025··xy22

2�+3�

��

A.4B.C.3D.

【答案】D3226

【解题思路】根据给定条件,利用基本不等式求出最小值.

【解答过程】由,均为正数,则,

xy22

2�+3�2�3�2�3�

��=�+�≥2�⋅�=26

当且仅当,即时取等号,

2�3�6

�=��=3�

故的最小值为

22.

2�+3�

��26

故选:D.

【变式】(山东模拟预测)设正实数满足,则的最小值为()

5-32025··22

(�+1)+�

�,��+2�=1��

A.B.17C.D.16

37

28+45

【答案】C

【解题思路】代入,再由基本不等式即可求解;

【解答过程】由题意�+知2�=1,

222222

(�+1)+�(�+�+2�)+�4�+8��+5�4�5�4�5�

��=��=��=�+�+8≥2�⋅�+8=8+45

当且仅当,即时,等号成立.

4�5�545−5

�=��=2�=11

因此,的最小值为.

22

(�+1)+�

故选:C.��8+45

【题型6多次使用基本不等式求最值】

【例6】(24-25高二下·河北保定·月考)已知,,,,则的最小

311

��+1�

值为()�>0�>−1�>02�+3�=2−�++

A.B.C.D.

77+65+65

【答案】A2+6222+6

【解题思路】结合条件可得,展开等式右侧,结合基本不

311311

4�+�+1+�=�+2�+1+3��+�+1+�

等式求其最小值即可.

【解答过程】因为,所以,

所以�+2�+3�=2�+2�+1+,3�=4

311311

4�+�+1+�=�+2�+1+3��+�+1+�

所以,

3112�+16�+13�9���

4�+�+1+�=2+�+�+�+1+3+�+�+1+�+3

又,当且仅当时等号成立,

2�+13�6

�+�+1≥26�+1=2�

,当且仅当时等号成立,

6�+1�6

�+�+1≥26�+1=6�

,当且仅当时等号成立,

9��

�+�≥29=6�=3�

三个等号可同时成立,所以,

311

4�+�+1+�min=14+46

当且仅当时等号成立,

12−2626−712−26

�=5,�=5,�=15

所以的最小值为,

3117

�+�+1+�2+6

故选:A.

【变式6-1】(2025·天津红桥·一模)已知,则的最小值为()

1�

2

�>0,�>0�+4�+�

A.B.C.4D.2

【答案】D4222

【解题思路】两次利用基本不等式,即可得解.

【解答过程】因为,

所以�>0,�>0,

1�1�11

22

�+4�+�≥2�⋅4�+�=�+�≥2�⋅�=2

当且仅当,且,即时,取等号,

1�1

2

�=4��=��=2,�=1

所以的最小值为2.

1�

2

�+4�+�

故选:D.

【变式6-2】(24-25高三上·安徽六安·阶段练习)已知正数x,y,z满足,则的最小

2221+�

2���

值为()�+�+�=1�=

A.3B.C.4D.

3(3+1)

【答案】C22(2+1)

【解题思路】由基本不等式可得,由题意整理可得,即可得.

11+�11+�1

【解答过程】由题意可得,�1−�≤42��≥1−�2���≥�1−�≥4

则,0当<且�仅<当1,0<1−�,<即1时,等号成立,

�+1−�211

又因�1为−�≤2=,4�=1−��=2

222

则�+�+�=1,当且仅当时,等号成立,

222

可得1−�=�,+即�≥2��,�=�

2

1−�1−�1+�

2��≥12��≥1

又因为,则,

1+�1

1−�>02��≥1−�

可得,当且仅当时,等号成立,

1+�161

2���≥�1−�≥4�=�=4,�=2

所以的最小值.

1+�

�=2���4

故选:C.

【变式6-3】(2025·山东淄博·二模)记表示中最大的数.已知均为正实数,则

212

的最小值为()max�,�,��,�,��,�max�,�,�+

2

4�A.B.1C.2D.4

1

2

【答案】C

【解题思路】设,得,两次应用基本不等式求最小值,注意等

21222122

�=max{�,�,�+4�}3�≥�+�+�+4�

号成立的条件即可.

【解答过程】设,则,,,

21222122

�=max{�,�,�+4�}�≥�>0�≥�>0�≥�+4�>0

∴,当且仅当时取等号,

212221

3�≥�+�+�+4�≥�+�+4���=2�

又,当且仅当,即时取等号,

2132121

所以�+�+4,��当≥且3仅�当⋅�⋅4��=6时取等号,�=�=4���=2�=1

所以�的≥最2小值是2,�=2�=1

故选:�C.

【题型7基本不等式的实际应用】

【例7】(2025·广西·一模)现使用一架两臂不等长的天平称中药,操作方法如下:先将100g的砝码放在天

平左盘中,取出一些中药放在天平右盘中,使得天平平衡;再将100g的砝码放在天平右盘中,再取出一些

中药放在天平左盘中,使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量()

A.等于200gB.大于200gC.小于200gD.以上都有可能

【答案】B

【解题思路】用平衡条件得出的表达式,结合基本不等式可得答案.

【解答过程】设天平左臂长为�,右臂长为,且,左盘放的药品为克,右盘放的药品为

克,���,�>0�≠��1�2

则,解得,

2100�100�

100�=��12

1�=�,�=�

��=100�,

100�100�100�100�

12

当�=且�仅当+�=时�,+取到�等≥号2,而�⋅�,=所20以0.

故选:B.�=��≠��>200

【变式7-1】(2024·黑龙江哈尔滨·一模)已知某商品近期价格起伏较大,假设第一周和第二周的该商品的单

价分别为m元和n元,甲、乙两人购买该商品的方式不同,甲每周购买100元的该商品,乙每周购

买20件该商品,若甲(、�乙≠两�)次购买平均单价分别为,则()

A.B.C.�1,�2D.的大小无法确定

【答案】B�1=�2�1<�2�1>�2�1,�2

【解题思路】由题意求出的表达式,利用基本不等式,比较大小,即得答案.

【解答过程】由题意得�1,�2,,

2002��20(�+�)�+�

11001002

�=�+�=�+��=40=2

因为,故,,

�+�2��2��

即�>0,,�>0,�≠�2>���+�<2��=��

故选�1:<B�.2

【变式7-2】(2025·贵州遵义·模拟预测)某学校社团举办“灯笼装饰校园”的活动比赛,要求用彩带制作、

两种类型的灯笼,其中型灯笼每个需要0.5米彩带,型灯笼每个需要1米彩带.活动规定:两种灯笼�数�

量的乘积越大,评分越高�.已知某同学用60米长的彩�带制作型灯笼个,型灯笼个.若要使该同学的

得分最高,则实数,的值分别为()����

A.,��B.,

C.�=60,�=30D.�=50,�=35

【答案】�A=40�=40�=30�=45

【解题思路】依题意可得,再利用基本不等式计算可得

【解答过程】依题意0.5,�+�=6且0,即,

又�∈N∗,所�以∈N∗0.5�,+当�且=仅6当0�+时2取�=等1号2,0由,解得,

�+2�=120�=60

120=�+2�≥22����≤1800�=2�

故当,时该同学的得分最高.�=2��=30

故选:�A=.60�=30

【变式7-3】(2024·贵州遵义·模拟预测)如图所示的“大方图”称为赵爽弦图,它是由中国数学家赵爽于公元

3世纪在给《周髀算经》“勾股网方图”作注时给出的一种几何平面图,记载于赵爽“负薪余日,聊观《周》”

一书之中.他用数学符号语言将其表示为“若直角三角形两直角边为,斜边为(、、均为正数).则

,”.某同学读到此书�中的�“赵爽弦�图�”时�,出�于好奇,想用软�钢+

2222

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