2026年高考数学复习系列（全国）专题1.2 集合与常用逻辑用语（解析版）

专题1.2集合与常用逻辑用语（举一反三专项训练）

【全国通用】

目录

第一部分题型专练

【题型1元素与集合的关系】...................................................................................................................................1

【题型2集合中元素的个数问题】...........................................................................................................................2

【题型3集合间的基本关系】...................................................................................................................................4

【题型4集合的交、并、补运算及其求参问题】...................................................................................................5

【题型5集合的新定义问题】...................................................................................................................................6

【题型6充分条件与必要条件】...............................................................................................................................8

【题型7全称量词与存在量词】...............................................................................................................................9

第二部分分层突破

A组基础跟踪练

B组培优提升练

【题型1元素与集合的关系】

1．（2025·河南·一模）已知集合，若且，则（）

A．�=�∣3��−B2．≤01∈�2∉�

12

3<�<3�<0

C．D．

122

3<�≤3�>3

【答案】C

【解题思路】根据题意列出不等式组即可求出结果.

【解答过程】由题可知且

3�−2≤0,

1∈�2∉�⇔

解得.6�−2>0,

12

3<�≤3

故选：C.

2．（2025·广东·模拟预测）若，则m可能取值的集合为（）

2

�∈{1,3,4,�}

A．B．C．D．

【答案】{B0,1,4}{0,3,4}{−1,0,3,4}{0,1,3,4}

【解题思路】根据给定条件，利用元素与集合的关系列式计算并验证即得.

【解答过程】由，得，则，

22

由{1,，3,4得,�}，�此时≠1�，≠符1合题意；

22

或�∈{1，,3此,4,时�}�，=符3合题意�；或=9，则，此时，符合题意，

222

所以�=m4可能取值�的集=合16为.�=��=0�=0

故选：B.{0,3,4}

3．（2025·广东河源·模拟预测）已知集合，，若且，则

2

的取值范围是（）�={�∣�>�}�=�∣�−��−3>01∈�1∈∁��

�A．B．C．D．

【答案】A−2,1−2,1−2,+∞−∞,1

【解题思路】由元素与集合的关系列出不等式组，解之即得.

【解答过程】因为且，所以，解得.

1>�

1∈�1∈∁��−2≤�<1

故选：A．1−�−3≤0

4．（2025·辽宁·模拟预测）已知集合

，且，则（）�=��=2�,�∈�,�=��=2�+1,�∈�,�=��=4�+1,�∈

�A．�∈�,�∈�B．C．D．

【答案】�B+�∈��+�∈��−�∈��⋅�∈�

【解题思路】根据描述法表示的集合元素特征，对选项逐一判断即可得出结论.

【解答过程】因为，所以，因为，所以

所以�∈��=2�1,�1∈�，故�∈A�错误，B�正=确2�；2+1,�2∈Z

所以�+�=2�1+2�2+1=2�1.+�2+1∈�，故C错误；

所以�−�=2�1−2�2−1=2�1.−�2−1+1，∈故�D错误；

故选：�⋅B�．=2�1⋅2�2+1=22�1�2+�1∈�

【题型2集合中元素的个数问题】

5．（2024·西藏拉萨·一模）集合中的元素个数为（）

A．B．�∈N�<3C．D．

2357

【答案】B

【解题思路】列举法表示集合，可得解.

【解答过程】，该集合中的元素有个，

故选：B.�∈N�<3=0,1,23

6．（2024·陕西宝鸡·一模）若集合中只有一个元素，则实数（）

2

A．1B．0�=�∈RC�．�2−2�+1=0D．0或1�=

【答案】D

【解题思路】分类讨论，确定方程有一解时满足的条件求解.

【解答过程】当时，由可得，满足题意；

21

当时，由�=0��−只2有�+一1个=根0需满足�=2，

22

解得�≠0.��−2�+1=0Δ=(−2)−4�=0

综上，�=实1数的取值为0或1.

故选：D.�

7．（25-26高一上·四川成都·期中）由单词“happy”中的字母作为集合A中的元素，则集合A中的元素个数

为（）

A．3B．4C．5D．6

【答案】B

【解题思路】根据集合的互异性可得出答案.

【解答过程】根据集合的互异性，，

所以集合中的元素个数为.�=ℎ,�,�,�

故选：B.�4

8．（25-26高二上·湖南·期中）集合的元素个数为（）

A．2B．3�=�,�C|．�6=4−2�,�=5−�D,�．,�1,8�∈�

【答案】B

【解题思路】根据题意先求出，进而求出即可.

【解答过程】由题意有：��,�，又，所以，

4−2�≥0�≤2

⇒⇒�≤2�∈N�=0,1,2

所以或或5−�，≥0�≤5

�=4�=2�=0

所以�=5�=4�=，3所以中的元素个数为3个，

�=4,5,2,4,0,3�

故选：B.

【题型3集合间的基本关系】

9．（2025·广东广州·模拟预测）已知集合，且，则实数（）

2

A．B．0�=C．1,31,�,�=3,�+2D．2�⊆��=

【答案】−D1

【解题思路】根据题意可对和分类讨论，再由集合元素的互异性即可求得结果.

2

【解答过程】由可知�+2=1或�+2=�；

2

当时，�即⊆��，+此2时=1�+，2不=能�满足题意；

2

当�+2=1时，解�得=−1或�=（1舍），

2

�+时2=，��=2�，=−满1足题意，

�故=2.�=1,3,4,�=3,4

故选�=：2D.

10．（2025·陕西西安·一模）已知，，若集合，则（）

�220252025

�∈��∈��,�,1=�,�+�,0�+�=

A．0B．1C．D．1或-1

【答案】C−1

【解题思路】由两集合相等及分式的分母不为可求出，再利用集合相等和互异性求，代入计算

2025

即可.0���+

2025

【�解答过程】因为，，所以，故，

��

此时集合为0∈�,�,1，�根≠据0集合相等�，=必0有�=0，解得或．

22

当时，�不,0满,1足=集合�元,�素,0的互异性，�=1�=1�=−1

当�=1时，集合为，符合条件.

所以�=−1{−1,0,1}．

2025202520252025

故选：�C.+�=−1+0=−1

11．（2025·浙江杭州·模拟预测）设全集，集合，

则（）�=Z�=��=3�−1, �∈Z, �=��=6�−1, �∈Z

A．B．C．D．

【答案】B�⊆��⊆��=��∩�=�

【解题思路】化简集合B，再利用集合之间的包含关系即可得到结果.

【解答过程】因为集合，

�=��=3�−1, �∈Z，故，

 故�选=：�B�.=6�−1, �∈Z=��=3×2�−1,�∈Z�⊆�

12．（2025·江苏盐城·模拟预测）已知集合，，则满足条件的集合C的个数

为（）�=1,2�=1,2,3,4�⊆�⊆�

A．1B．2C．3D．4

【答案】D

【解题思路】根据给定条件，列举出集合C的可能情况即可.

【解答过程】依题意，集合可以为：，

所以集合C的个数为4.�{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}

故选：D.

【题型4集合的交、并、补运算及其求参问题】

13．（2025·陕西西安·三模）已知集合，则（）

A．B．�=−1C,．0,1,2,�={�∣0<�≤D2．}�∩�=

【答案】D0,1,20,1−1,01,2

【解题思路】由交集运算即可求解.

【解答过程】因为，

故，�=−1,0,1,2,�={�∣0<�≤2}

故选�∩：�D=.1,2

14．（2025·云南昆明·模拟预测）已知全集，集合，，则（）

A．�=B�．�=�|�≤5�=��>2�∪∁��=

C．��≤5或D．��<5

【答案】A�|�≤2,�≥5�|−5≤�≤2

【解题思路】解不等式求得，进而求得，根据集合的并集运算，即可求得答案.

【解答过程】依题意，�∁��，，故.

故选：A.�=�∣−5≤�≤5∁��=�∣�≤2�∪∁��=�∣�≤5

15．（2025·四川成都·二模）已知集合，则（）

A．�={�∣B−．2<�<2},�={�∣1<�<3}�∪�=

C．{�∣−2<�<3}D．{�∣1<�<2}

{�∣�<3}{�∣�>−2}

【答案】A

【解题思路】根据并集的概念求解.

【解答过程】集合，则.

故选：A.�={�∣−2<�<2},�={�∣1<�<3}�∪�={�∣−2<�<3}

16．（2025·北京海淀·二模）已知集合．若，且，则

（）�=−1,0,1,2,�={�∣�<�<2}�∈��∩�=1�=

A．B．0C．1D．2

【答案】B−1

【解题思路】根据交集的结果直接得出答案.

【解答过程】由题意知，，

因为，�={−1,0,1,2},�={��<�<2}

所以�∈�,.�∩�={1}

故选：�=B.0

【题型5集合的新定义问题】

17．（25-26高一上·江西宜春·月考）设、是非空集合，定义且，若

，，则等于�（�）�×�={��∈�∪��∉�∩�}�=�2�−

2

�≥A0．�={��>，1}或�×�B．，或

C．{�0≤�≤1�>2}D．{�∣0≤�≤1�≥2}

【答案】A�0≤�≤1�0≤�≤2

【解题思路】解出集合，利用交集和并集的定义得出集合和，然后利用题中的定义可得出集合

.��∪��∩��×

【�解答过程】解不等式，即，解得，则集合.

22

所以2�−�≥0�−2�，≤根0据集合的0定≤义�可≤得2�=�|0≤�或≤2.

故选：�∪A.�=�|�≥0,�∩�=�|1<�≤2�×�={�|0≤�≤1�>2}

18．（25-26高一上·辽宁·月考）已知集合，

22

，定义�=�,��+�，≤则1,�,�∈中�的元�素=个数�,为�（�）≤2,�≤2,�,�∈

� A．11�⊗�=�1B�．2,�91�2�1,�1∈�,C�．2,7�2∈��⊗�D．5

【答案】B

【解题思路】先求出集合，再根据所给定义分情况讨论列出即可判断.

��⊗�

【解答过程】由，

22

而�=�,�∣�+�≤1,，�,�∈�={(−1,0),0,−1,0,0,0,1,1,0}

在集�=合中�,，�和�≤都2可,�以取≤2,�,�∈�，即和都可以取，

当�，��时，−2,−1,0,1,2�2�2−2,−1；,0,1,2

当�1=−，1�1=0时，�⊗�=−2,0,−1,0,0,0,1,0,2,0；

当�1=0，�1=−1时，�⊗�=0,−；2,0,−1,0,0,0,1,0,2

当�1=0，�1=0时，�⊗�=0,0；

当�1=0，�1=1时，�⊗�=0,−2,(0,−1),0,0,0,1,0,2．

综上�1所=述1，�1=0�⊗�=−2,0,−1,0,0,0,1,0,2,0，共9个元素．

故选：B．�⊗�={−2,0,−1,0,0,0,1,0,2,0,0,−2,0,−1,0,1,0,2}

19．（2024·湖南怀化·二模）给定整数，有个实数元素的集合，定义其相伴数集

，如果，则称集合�为≥一3个元�规范数集．（注：�表示数集中�的=最小�数−）�．�,对�于∈

集�,�合≠�min�=1、��，则（）min��

A�．=是−0规.1范,−数1集.1,，2,2.5不是�规=范数−集1.5,−0.5B,0．.5,1是.5规范数集，是规范数集

C．�不是规范数集，�是规范数集D．�不是规范数集�，不是规范数集

【答案】�C���

【解题思路】利用规范数集的定义，逐项判断即可得解.

【解答过程】集合中，，则，

即的相伴数集中�的=最小−0数.1不,−是1.11，,2,因2.5此不是2∈规�范,2数.5集∈；�|2−2.5|=0.5<1

集合�，�，

�=−1.5,−0.5,0.5,1.5|−1.5−(−0.5)|=，1,|−0.5−0.5|=1,|0.5−1.5|=1

|即−1的.5相−伴0.数5|集=中|−的0最.5小−数1.是5|=1，2,因|−此1.5是−规1范.5|数=集3.

故选�：C.�

20．（2024·浙江绍兴·模拟预测）对于集合A，B，定义A\B=且，则对于集合A={

，}，B={，}，且{�|�∈�，以�∉下�说}法正确的是（）�|�=6�+

5�A∈．N若在横线�上|�填=入3�”∩+”，7则�C∈的N真子�集=有�2|�12﹣∈�1个�.�<1000}

B．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数大于250.

C．若在横线上填入”\”，则C的非空真子集有2153﹣2个.

D．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数为13.

∁N∁N

【答案】B

【解题思路】根据各个选项确定相应的集合，然后由集合与子集定义得结论．

【解答过程】�，，集合无公共元素，

选项A中，集�合=6为�+空5集=，3没×有(2真�子+集1)，+A2错�；=3�+7=3(�+2)+1�,�

�

选项B中，由得，由得，因此中元素个数为

5

6�+5<1000�<16563�+7<1000�<331�166+331=

，B正确；

4选9项7C中，中元素个数为166，非空真子集个数为，C错；

166

选项D中，�2−2，而，因此其中元素个数为331个，D

错．∁��=∁�(�∪∁��)=∁��∩∁�(∁��)=∁��∩��⊆∁��

故选：B．

【题型6充分条件与必要条件】

21．（2025·山东·一模）设，则“”是“”的（）

A．充要条件�,�∈��>�B．充�分>而�不必要条件

C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解题思路】举反例可说明不充分性，根据绝对值和不等式的性质可说明必要性.

【解答过程】若，满足，但不能得到，故充分性不成立，

若，由于�=2,�，=−故4，�故>必�要性成立，�>�

故“�>�”是“�≥”的�必要�而>不�充分条件，

故选�：>C�.�>�

22．（2025·江西·模拟预测）已知函数，则“”是“”的（）

3

��=�−��=1��=−2

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解题思路】根据函数解析式，求解时的值，与解方程得的值，结合充分条件与必要

条件进行判断即可.�=1����=−2�

【解答过程】若，则，反之，若，则或.

3

�=1��=−2��=�−�=−2�=1�=−3

故“”是“”的充分不必要条件.

�=1��=−2

故选：A.

23．（2025·河南·模拟预测）已知集合，则使得“且”成立的一个充分不必要

条件是（）�=�|3��−2≤01∈�2∉�

A．B．C．D．

12121

3<�<3�<03<�≤3�>3

【答案】A

【解题思路】当且时求出的取值范围，然后根据充分不必要条件的定义可求出答案.

【解答过程】由题1可∈�知2∉且��，解得，

12

3�−2≤0

1∈�2∉�⇔3<�≤3

所以使得“且”成立的一个充分6不�必−要2条>件0是集合的一个真子集，

12

1∈�2∉��3<�≤3

因为只有选项A中的是的真子集，

1212

�3<�<3�3<�≤3

故选：A.

24．（2025·重庆·模拟预测）若A是B的充分不必要条件，B是C的充要条件，C是D的必要不充分条件，

则A是D的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【解题思路】根据充分不必要条件，充要条件，必要不充分条件，既不充分也不必要条件定义判断即可.

【解答过程】若A是B的充分不必要条件，B是C的充要条件，C是D的必要不充分条件，

则，

则�A⇒是�D⇔的�既⇐不充�分也不必要条件.

故选：D.

【题型7全称量词与存在量词】

25．（2025·云南昆明·模拟预测）已知命题，，则命题的否定是（）

2

A．，�:∀B�．∈0,+∞�，>��

22

C．∃�∈−∞,0，�>�D．∃�∈0,+∞，�≤�

22

【答案】∃B�∈0,+∞�>�∀�∈0,+∞�≤�

【解题思路】根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可求解.

【解答过程】“，”的否定是“，”.

22

∀�∈0,+∞�>�∃�∈0,+∞�≤�

故选：B.

26．（2025·陕西西安·模拟预测）已知命题；命题，则以下为真命题的

3

是（）�:∀�∈�,�+1>1�:∃�>0,�=�

A．和B．和C．和D．和

【答案】B��¬���¬�¬�¬�

【解题思路】根据不等式的解法，可判定命题为假命题，再由方程的解，可判定命题为真命题，结合选项，

即可求解.��

【解答过程】由不等式，可得或，解得或，

所以命题为假命题，则�+1为>真1命题，�+1<−1�+1>1�<−2�>0

又由�，解得或¬�或，所以命题为真命题，则为假命题，

3

故选：�B=.��=0�=1�=−1�¬�

27．（2025·辽宁·模拟预测）现有定义在上的函数，则命题“，，”的否定为（）

A．，，�B．��，∃�，>0∀�∈���≤�

C．∃�>0，∃�∈�，��>�D．∀�>0，∀�∈�，��≤�

【答案】∃D�>0∀�∈���>�∀�>0∃�∈���>�

【解题思路】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可.

【解答过程】命题“，，”为存在量词命题，

则其否定为：∃�，>0∀�，∈���.≤�

故选：D.∀�>0∃�∈���>�

28．（2025·云南·模拟预测）已知命题：“，”为假命题，则实数的取值范围

2

是（）∃�∈0,+∞2�−��+1<0�

A．B．

C．−∞,22D．−∞,2

1

−∞,1−∞,2

【答案】A

【解题思路】根据原命题为假命题得出其否定为真命题，再将问题转化为不等式恒成立问题，最后利用基本

不等式求解实数的取值范围.

【解答过程】已知�命题“”为假命题，根据特称命题的否定为全称命题，

2

可知其否定“∃�∈(0,+∞),2�−�”�为+真1命<0题.

2

由∀�∈(0，,+∞),2�−�，�+移1项≥可0得，

22

2�−��+1≥0�∈(0,+∞)��≤2�+1

因为，两边同时除以，得到在上恒成立.

1

�>0��≤2�+�(0,+∞)

在中，因为，所以2x和都是正实数，则，

1111

2�+��>0�2�+�≥22�⋅�=22

当且仅当，即时等号成立.

12

2�=��=2

因为在上恒成立，所以要小于等于的最小值，

11

即�≤2�，+�(0,+∞)�2�+�22

所以�≤实2数2的取值范围是.

故选：A.�(−∞,22]

A组基础跟踪练

一、单选题

1．（2025·辽宁沈阳·一模）集合，则集合（）

A．B．�=�∈N|�C−．1<2�=D．

【答案】B1,20,1,20,1,2,3−1,0,1,2,3

【解题思路】先解绝对值不等式再结合自然数定义计算即可.

【解答过程】集合.

故选：B.�=�∈N|�−1<2=�∈N|−1<�<3=0,1,2

2．（2025·四川绵阳·模拟预测）若命题：“，都有”，则命题的否定为（）

4

�∀�∈0,2�+�≥4�

A．，都有B．，都有

44

∀�∈0,2�+�<4∀�∉0,2�+�<4

C．，使得D．，使得

44

∃�∈0,2�+�<4∃�∉0,2�+�<4

【答案】C

【解题思路】根据存全称词命题的否定是存在量词命题分析判断.

【解答过程】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，

所以命题的否定为“，使得”.

4

�∃�∈0,2�+�<4

故选：C.

3．（2025·甘肃张掖·模拟预测）方程组的解集是（）

�+�=1

�−�=−3

A．，或B．

{�,�∣�=−1�=2}1,−2

C．D．

�=1�−2�=−5

�,�|�,�|

【答案】D�=−2�+�=1

【解题思路】解方程组，用集合表示即可判断.

【解答过程】由方程组，解得，所以该方程组的解集为，

�+�=1�=−1

−1,2

而�−�=−3�=2.

�−2�=−5�=−1

�,�=�,�=−1,2

故选：D.�+�=1�=2

4．（2025·广东江门·模拟预测）设，若，则（）

A．B．0�,�∈�,�=C．11,−�,�=−1,�D．�2=��+�=

【答案】D−2

【解题思路】根据已知集合及相等关系确定参数值，即可得.

【解答过程】由题设，，则.

−�=−1

�=�⇒⇒�=�=1�+�=2

故选：D.�=1

5．（2025·辽宁·三模）已知集合，则的子集个数为（）

12

�=(�,�)�=2−�,�=(�,�)�=−2��∩�

A．0B．1C．2D．4

【答案】C

【解题思路】根据题意，联立方程组，求得集合中的元素个数，进而的集合的子集的个数，得到

答案.�∩��∩�

【解答过程】根据题意，联立方程组1，可得，

�=2−�2

2�−2�+1=0

�=−2�

所以，解得，即集合，

211

(�−1)=0�=1,�=−2�∩�=1,−2

所以集合的子集个数为2个．

故选：C．�∩�

6．（2025·云南昭通·模拟预测）“”是“”的（）

�

�<39−�≥0

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解题思路】利用两集合相等可得充要条件.

【解答过程】解不等式得解集为，解不等式得解集也为，

�

�<30,99−�≥00,9

所以“”是“”的充要条件，

�

�<39−�≥0

故选：C．

7．（2025·四川成都·三模）已知集合，则（）

A．�=�−B1．<�<1,�=�0≤�<2�∩�=

C．�−1<�<2D．�0≤�<2

【答案】C�0≤�<1�−1<�<1

【解题思路】借助交集定义计算即可得.

【解答过程】由，则.

故选：C.�=�−1<�<1,�=�0≤�<2�∩�=�0≤�<1

8．（2025·云南·模拟预测）已知全集，集合，则（）

A．B．�=1, 2C, 3．, 4, 5, 6�=3D, 5．, �=2, 3, 4∁��∪�=

【答案】A1, 633, 52, 3, 4, 5

【解题思路】利用集合并集和补集的定义求解即可.

【解答过程】由题可得：，所以.

故选：A.�∪�=2,3,4,5∁��∪�=1,6

9．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知a，b为实数，“”是“”的（）

A．充分不必要条件B．必要�不≠充0分条�件�≠0

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解题思路】利用充分，必要条件的定义判断即可得结论.

【解答过程】由，可得且，

则由“”可�得�“≠0”，�≠0�≠0

但是不�能�≠由0“”�得≠到0“”，因为b可能为0，

则“”是“�≠0”的必�要�≠不充0分条件．

故选�：≠B0.��≠0

10．（2025·湖南·模拟预测）设集合，则集合中所含整数的

�={�∣−3≤�≤1},�={�∣−2≤�≤2}�∩�

个数为（）

A．2B．3C．4D．5

【答案】C

【解题思路】根据集合的交集，即可求解.

【解答过程】，其中所含的整数有，，，，共个.

故选：C.�∩�={�∣−2≤�≤1}−2−1014

11．（2025·河北唐山·一模）已知命题；命题．则（）

2

A．和都是真命题�:∀�∈�,�>0�:∃�>0,ln�<0

B．�是假�命题，是真命题

C．�是真命题，�是假命题

D．�和都是假命�题

【答案】B��

【解题思路】对于判断全称命题为假只需要举反例；对于判断特称命题为真只需要举例说明.

【解答过程】对于命题，因为当时，，故命题是假命题；

22

�:∀�∈�,�>0�=0�=0�

对于命题，当时，，故命题是真命题.

11

�:∃�>0,ln�<0�=elne=−1<0�

故选：B.

12．（2025·辽宁·模拟预测）已知集合、、是全集的三个真子集，、、的关系如Venn图所示，则

图中阴影部分所表示的集合为（）�������

A．B．

C．�∩�∩�D．�∩�+�∩�

【答案】B�∩�+�∩�−�∩�∩��∩∁��∪�

【解题思路】根据题意，结合集合交集和并集的概念，即可求解.

【解答过程】如图所示，根据集合交集和并集的概念，可得阴影部分表示集合为，

即阴影部分表示集合为.�∩�∪�∩�

故选：B.�∩�+�∩�

B组培优提升练

一、单选题

1．（2025·广西·模拟预测）已知集合，则（）

A．B．�=�∈C�．|�=3�+2,�∈�,�D=．�∈�|�=6�−1,�∈�

【答案】C�=��⊆��⊆��∩�=∅

【解题思路】先证明对任意，则