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文档简介
第二章函数及其性质(举一反三综合训练)
(全国通用)
(考试时间:120分钟;满分:150分)
注意事项:
1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写
在答题卡上。
2.回答第I卷时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用
橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷(选择题共58分)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要
求的。
1.(5分)(2025·陕西商洛·模拟预测)函数的定义域是()
1
��=�−1+�+5
A.且B.且
C.{�|�>−5�≠1}D.{�|�≥−5�≠1}
【答案】{�B|�≥−5}{�|�≠1}
【解题思路】求出使式子有意义的自变量的范围即得.
【解答过程】由题意,解得且,
�−1≠0
�≥−5�≠1
故选:B.�+5≥0
2.(5分)(2025·广东清远·一模)设函数,则函数为()
2
��=�−���
A.奇函数,且在单调递增
B.奇函数,且在0,+∞单调递减
C.偶函数,且在0,+∞单调递增
D.偶函数,且在0,+∞单调递减
【答案】A0,+∞
【解题思路】利用函数的奇偶性定义、单调性定义判断即可.
【解答过程】易知的定义域为,且,
22
��−∞,0∪0,+∞�−�+��=−�+�+�−�=0
所以为奇函数,
因为函��数在上单调递增,
2
�=�,�=−�0,+∞
所以在上单调递增,
2
��=�−�0,+∞
故选:A.
.(分)(四川绵阳一模)已知,则()
352025··1
32
3
A.�=2B,.�=log4,�=e
C.�<�<�D.�<�<�
【答案】�A<�<��<�<�
【解题思路】对于对数函数和指数函数的值比较大小,通常可以利用函数的单调性以及中间值来进行判断.
【解答过程】因为,
3
323
333
又因为对数函数2=log3在=log3上单=调log递增27,且,
所以�=l,og即3�0,.+∞4=16<27
33
log4<,log27,�由<于�,,且函数在上单调递增,
1
2399
�=e=e�=2=4e≈2.7184=2.25�=�[0,+∞)
所以,即.
9
综合以e上>两个4比较�结>果�,可得.
故选:A.�<�<�
4.(5分)(2025·河南·模拟预测)在光纤通信中,发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱,衰减后的
光功率(单位:W)可表示为,其中为初始光功率,为衰减系数,为接收信号处与发射
−��
器之间的距离(单位:km).�已�知=距�离0e发射器k�m0处的光功率衰减�为初始光功率的�一半,若某处光功率
衰减为初始光功率的,则此处到发射器的距离3为.5()
2
A.km4B.kmC.kmD.km
【答案】7B.55.253.752.05
【解题思路】根据题意,列出方程,求出参数衰减系数的值,代入原函数,求出结果即可.
【解答过程】由题意得,即,化简得,解得,
1−�⋅3.51−�⋅3.51ln2
�3.5=2�0�0e=2�0e=2�=3.5
代入得,当时,得,
ln2ln2
−3.5�2−3.5�2
��=�0e��=4�0�0e=4�0
化简得,两边取对数得,解得
ln2.
−3.5�2ln223
e=4−3.5�=ln4=ln2−ln4=−2ln2�=5.25
故选:B.
.(分)(辽宁模拟预测)函数的部分图象大致为()
552025··�
9−1
�2
��=3⋅�
A.B.
C.D.
【答案】D
【解题思路】根据函数解析式化简,应用奇函数定义及特殊值法分别判断各个选项.
【解答过程】由,可得的定义域为,
��−�
9−13−3
�22
��=3⋅�=���−∞,0∪0,+∞
且,所以为奇函数,图象关于原点对称,排除项;
−��B
3−3
2
�−�=(−�)=−����
,排除C项;
8
�1=3>0
当时,,排除A项.
故选�→:+D∞.��→+∞
6.(5分)(2025·陕西西安·模拟预测)已知函数,对任意的,恒有
,且,则�下�列说法正确的�,是�(∈�)
1
��+�+��−�=2��⋅���1=2
A.B.为奇函数C.D.
【答案】�C0=0����≥−1�2025=1
【解题思路】对于A:令后计算即可判断;对于B:根据奇函数的性质即可判断;对于C:令
后计算即可判断;对于�D=:1先,�通=过0变形确定函数的周期,然后利用周期来求解.�=�
【解答过程】对于A:令,则,
�=1,�=0�1+�1=2�1�0
又,所以,故A错误;
1
�1=2�0=1
对于B:因为,所以不为奇函数,故B错误;
�0≠0��
对于C:令,则,
2
即�=��2�,+得�0=2��。由≥0的任意性可知,故C正确;
2
对�于(2D�:)+令1=2�,(则�)≥0�(2�)≥−1��,(�)≥−1
�=1��+,1则+��−1=2���1=,��
�所�以+2+��=��,+可1得��+2+��−1=0,
可知��+是3周期=−为�6�的周期函�数�.+6=−��+3=��
所以��,故D错误.
故选:�2C0.25=�6×337+3=�3=−�0=−1
7.(5分)(2025·海南省直辖县级单位·模拟预测)已知定义在上的偶函数,且当
时,单调递增,则关于的不等式1−3�的,4解�集−是2()���∈
0,3�−1�����−1>�2�−3�
A.B.C.D.
475252
3,28,43,33,2
【答案】A
【解题思路】先利用偶函数性质可得,再由偶函数单调性以及定义域列出不等式组计算求解即可.
【解答过程】由题意,函数是定义�在=1上的偶函数,所以,
解得,即函数的�定�义域为1,−3�,4�−21−3�+4�−2=0
当�=1时,单�调�递增,所以当−2,2时,单调递减,
关于�∈的0不,2等式��,�∈即−2,0��,
���−1>�2�−3���−1>�2�−3
所以,解得,所以原不等式解集为.
−2≤�−1≤244
−2≤2�−3≤23<�<23,2
故选:�A−.1>2�−3
8.(5分)(2025·内蒙古乌兰察布·三模)已知函数,若函数恰
2
4−�,�≤0
��=��=���−�
有5个零点,则实数的取值范围为()ln�+2,�>0
A.�B.C.D.
2
【答案】C2,eln2+2,4ln2+2,2ln2+22,4
【解题思路】画出函数的图象,利用换元法、数形结合思想、分类讨论进行求解即可.
【解答过程】由恰有5个零点,
则关于的方程��=��恰�有−5�个相异实根,
����=�
令,问题转化为满足的恰有5个不同的解.
��=�
��=��
��=�
作出函数的图象,如图所示,
由图易得:��当时,关于的方程仅有一个实根,且,
此时�仅<有21个实根,�不合题�意�;=��0�0<0
当��时=,�0仅有两个相异实根,
而�=2��=�各仅有1个实根−,不2合,1题意;
当��=−2时,�,�=1仅有3个实根,
且2<�≤4��=��1,�2,�3各仅有1个实根,
2
且两�1实≤根0均<小�于2<1<,�则3≤e,��有=三�个��实=根1,,2必有,
所以−3��=�3.2<�3≤4
又ln2+2,=所�以2<�≤�4=2ln2+2,此时的5个实根互不相等,
即2<恰�≤有45个零点ln;2+2<�≤2ln2+2
��
当时,仅有2个相异实根,且,
1
22
�>4��=��4,�50<�4<e,�5>e
此时仅有1个实根,有2个实根,不合题意.
��=�4��=�5
所以实数的取值范围为.
故选:C.�ln2+2,2ln2+2
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目的
要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。
9.(6分)(2025·新疆喀什·模拟预测)已知函数,则()
2
2
�(�)=�+1
A.B.
�(�)+�(−�)=0�(�)≤2
C.D.
111
�(�)+�(�)=2�(3)+�(2)+�(1)+�(2)+�(3)=5
【答案】BCD
【解题思路】根据的解析式,进行相关的运算判断各个选项即可.
【解答过程】对于�A�,,故A错误;
224
222
��+�−�=�+1+−�+1=�+1≠0
对于B,由,故B正确;
22
2
�+11
对于,��=≤=2,故正确;
C2C
1222�+1
2122
��+1�+1
��+�=+�+1==2
对于D,由选项C知,且,
1
��+��=2�1=1
,故D正确.
11
∴�3+�2+�1+�2+�3=2+2+1=5
故选:BCD.
10.(6分)(2025·四川广安·模拟预测)已知,,则()
2��
A.B1.0=510=2
�<�2�+�=1
C.D.
21
log2�+log2�<−3�+�>9
【答案】BCD
【解题思路】由得,由得.对于A,利用作差法判断;对于B,由对数运算
2�1�
10=5�=2lg510=2�=lg2
法则计算判断;对于C,由基本不等式可得,结合对数运算法则计算判断;对于D,解法一:利用基
1
��<8
本不等式“1”的妙用,计算判断,解法二:用权方和不等式计算判断.
【解答过程】由得,由得.
2�1�
10=5�=2lg510=2�=lg2
对于A,,所以,故A错误;
15
�−�=2lg5−lg2=lg2>lg1=0�>�
对于B,,故B正确;
1
2�+�=2×2lg5+lg2=1
对于C,由,,则,当且仅当时等号成立,
1
�=2lg5>0�=lg2>01=2�+�≥22�⋅�2�=�
因为,故等号不成立,即,
1
2�=lg5≠lg2=���<8
则,故C正确;
1
log2�+log2�=log2��<log28=−3
对于D,解法一:易知,,
21212�2�2�2�
�+�=�+�2�+�=5+�+�≥5+2�⋅�=9
当且仅当时等号成立,因为,故等号不成立,所以,
2�2�21
�=��≠��+�>9
解法二:若用权方和不等式,则有,当且仅当时等号成立,因为,故
222
21212+1
�+�=2�+�≥2�+�=9�=��≠�
等号不成立,所以,故D正确.
21
�+�>9
故选:BCD.
11.(6分)(2025·海南省直辖县级单位·模拟预测)函数是定义在上的奇函数,满足
,在区间上单调递减,且,则�(�)���+1+��−1=
33
����0,2�−2=3
A.
�6=0
B.
3
�2025+�2=6
C.关于直线对称
���=3
D.在上单调递增
3
��2,3
【答案】AD
【解题思路】利用已知条件迭代可得周期,结合奇函数性质可判断A;利用和奇函数定义可
��=�3−�
得函数的图象关于对称,结合函数单调性可判断D;求出和的值进行比较可判断C;利
339
���=2�2�2
用周期性可判断B.
【解答过程】因为,所以,
所以��+1+��,−1=����−1=��−��+1
故��=��+1−��+2,
所以��−1=��+1,−所�以�+2−��+1=−��+2,
所以,��6是=函−数��+3的一个周�期�.=−��+3=−−��+3+3=��+6
对于A,因为��是定义在上的奇函数,所以,所以,正确;
��R�0=0�6=�0=0
对于C,因为,所以,
333
�−2=3�2=−�−2=−3
又,所以,
99393
所以�2=的�图2象−不6关=于�直−线2=3对称,�错误2;=−�2
���=3
对于B,因为,,
3
�3=−�0=0�2=−3
所以,错误.
333
�2025+�2=�337×6+3+�2=�3+�2=0−3=−3
对于D,因为,
因为6是的�周�期=,−�所�以+3=�−3−�,故
所以函数��的图象关于�−对3称−,�又=�3在−区�间�上�单=调�递3减−,�
33
���=2��0,2
所以在区间上单调递增,正确;
3
��2,3
故选:AD.
第II卷(非选择题共92分)
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.(5分)(2025·上海金山·一模)函数的定义域为.
2
【答案】�=�−2�−3
【解题思路(−】∞根,−据1题]意∪[列3,出+一∞元)二次不等式,求解即得函数的定义域.
【解答过程】要使函数有意义,需使,
22
解得或.�=�−2�−3�−2�−3≥0
故函数�≤的−定1义域�为≥3.
故答案为:(−∞,−1]∪[3.,+∞)
13.(5分)(−(∞20,2−5·1河]∪北[秦3,皇+岛∞)·三模)已知函数满足对都有成立.当
时,,则不等式��的解集∀为�∈R��.+�−�=0�≥0
2
【答案�】�=�+2����+��+1<0
3−13
【解题思路−】∞根, 据2得到函数是上的奇函数,继而求出时,的解析式并判断
在上的单调�性(�,)+利�用(奇−函�)数=和0单调性结合�分�段函�数可得两个不等式组,�求<解0即得.��
【�解�答过�程】因为对都有,所以是上的奇函数,
又时,∀�∈���+�−�,=显0然在���上单调递增,
22
故函�≥数0在�上�单=调�递+增2,�=�+1−1��0,+∞
当�时�,�,则,即;
22
由�<0−�>0�,−可�得=�−2���=−�−�=−�,+2�
故得���+��+,1<0���<−��+1=�−�−1
则有��<−�−1或,
2�≥02�<0
即�+2�<−�−或1−�+2�<−,�解−得1:,
3−13
�≥0�<0
22�<2
所以�不+等3式�+1<0�−3�−1>的0解集为.
3−13
���+��+1<0−∞,2
故答案为:.
3−13
−∞,2
14.(5分)(2025·上海闵行·一模)已知函数,若函数有三个零点
�−2,�≥0
��=�+1�(�)=��−�
,且,则的取值范围是2,�<.0
�2⋅��1
�1,�2,�3�1<�2<�3�3(�2+�3)
【答案】
3
0,2−2
【解题思路】由函数图象得到函数零点的关系,然后得到的取值范围.由等量关系化简,利用双勾
�2⋅��1
�3�3(�2+�3)
函数的单调性求出的取值范围,从而得到的取值范围.
8�2⋅��1
33323
【解答过程】函数�+大�致图象如下,�(�+�)
��
若,且,则
123123233
所以�<�<��(�)=�(�)=�(�)�+�=4,2<�<4
�2⋅�(�1)(4−�3)⋅�(�3)1(4−�3)(�3−2)18
�3(�2+�3)=4�3=4�3=46−(�3+�3)
∵,当且仅当,即时取等号,
888
�3+�3≥2�3×�3=42�3=�3�3=22
当时,,当时,,
8888
�3=2�3+�3=2+2=6�3=4�3+�3=4+2=6
由双勾函数的单调性可知,
88
�3+�3<4+4=6
即,
8
42≤�3+�3<6
∴.
�2⋅�(�1)3
�3(�2+�3)∈0,2−2
故答案为:.
3
0,2−2
四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15.(13分)(2025·四川眉山·一模)计算下列各式的值:
(1);
22
log105+2log102−log102
(2)12.
−2
120332
【答案24】(1−)1−7.8−38+3
(2)
1
2
【解题思路】(1)利用对数的运算法则计算求解;
(2)运用指数的运算法则计算每一项,再合并计算求解.
【解答过程】(1)原式
2
=log105+2−log102log102
2
=log105+1+log105log102
2
=log105+log102⋅log105+log102
=log105+log102⋅lo.g105+log102
=log105+log102=1
(2)原式12.
32×233×3323991
=2−1−2+2=2−1−4+4=2
16.(15分)(25-26高三上·山西太原·月考)已知函数的图象过点和点.
�12
��+�511
(1)求实数的值;�(�)=1,4,
(2)写出�,的�定义域,并求的值域.
【答案】�((1�))�(�)
�=2,�=3
(2)的定义域为;值域为.
6
【解�题�思路】(1)根0,据+题∞意列出方程组0,1求2解即可;
(2)根据法则求出定义域,利用基本不等式求值域.
【解答过程】(1)由,得,,,
121122
�1=5�4=11�+�=54�+�=11
上两式联立,解得,.
�=2,�=3
(2)由(1)知,故,得,
�
2�+3≠0
��=2�+3�≥0
所以的定义域为;�≥0
��,时,0,+∞,
�1
3
�0=0�>0��=2�+3=2�+�
因为,当且仅当时取等号,
33
2�+�≥26�=2
所以,即,
166
3
0<2�+�≤120<��≤12
所以的值域为.
6
17.(�1�5分)(20205,·1安2徽合肥·一模)城市地铁可为市民出行带来便利,提升城市形象,更是一张亮丽的城
市名片.安徽省合肥市于年开通了地铁号线,该条线路通车后,列车的发车时间间隔(单位:分钟)
满足,经市场2调01研6测算,列车载客1量与发车时间间隔相关,当时,载�客量会逐渐增
加,载3客≤量�≤与20成一次函数关系,且发车时间间隔为分�钟时的载客3量≤为�≤10人,当
2
时,列车为满载(10状−态�,)载客量为人,记列车载客量为3.33310≤�≤20
(1)求的表达式,并求当发车时48间0间隔为分钟时,列车�的�载客量;
��6
(2)若该线路每分钟的净收益为:(元),问当发车时间间隔为多少时,该线路每分钟的
4��−32�−912
�
净收益最大,并求出最大值.��=
【答案】(1),人;
2
−3�+60�+180,3≤�<10
��=432
(2)发车时间间隔为分钟4时80,,1该0≤线�路≤每2分0钟的净收益最大为元.
【解题思路】(1)由4题设,有当时,112,且,,求
2
值,进而写出其分段函数的形式,3再≤求�≤10.�(�)=�(10−�)+��(3)=333�(10)=480�,�
(2)由(1)写出解析式,讨论�6、求最大值即可.
【解答过程】(1)�由(�题)设,当3≤�时<,10令10≤�≤20,
2
又发车时间间隔为3分钟时的载3客≤量�≤为13033人,1�0�分=钟�时(1的0载−客�)量+为�480人,
所以,解得,
2
333=�10−32+��=−3
所以480=�10−10+��=480,
22
当��=−31时0,−�+480=,−3�+60�+180
所以10<�≤20��=480,
2
−3�+60�+180,3≤�<10
��=
故时,480,10≤�≤20,
2
所以�=当6发车时�间6间=隔−为3×分6钟+时60,×列6车+的18载0客=量43为2人;
6432
(2)(2)因为,
4��−32�−912
��=�
所以由(1)可得:192
208−12�+�,3≤�<10
��=1008
�−32,10≤�≤20
当时,,
192192
当且3仅≤当�<10等号�成�立,=208−12�+�≤208−212�⋅�=208−96=112
则�=4时,(元),
max
当3≤�<10时,�(�)=�4=在112递减,
1008
则10≤�≤20��=�−32�(∈元10),20
综上�(,�)发ma车x=时�间1间0隔=为1400分.8钟−时32,=该6线8.路8每分钟的净收益最大为112元.
.(分)(辽宁沈阳一模)已知函数是定义域为的奇函数,
18172025··�−1.
�⋅2+1
�−1
(1)求的值;�(�)=�⋅2+1R�,�∈R
�,�
(2)用定义法证明的单调性;
(3)当时,�(�)恒成立,求实数k的取值范围.
2
【答案�】∈(1[1),4],�(��)+�(−�−4)>0
(2)证明见解�析=2�=−2
(3)
【解(题−思∞路,4】)(1)利用奇函数性质得,进而解得即可.
(2)利用定义法得到函数的单调性�即0可=.0,�−1=−�1�,�
��
(3)利用奇函数性质得,再由单调性得,即,最后利用均值不等式求
224
���>�4+���<4+��<�+�
解参数范围即可.
【解答过程】(1)因为函数是定义域为的奇函数,
��R
所以�,得,
2+1
�
�0=2+1=0�=−2
又,即1,解得,
−2+1−2+1
�
�−1=−�14+1=−�+1�=2
则,经检验符合题意
�.
−2+1
�
��=2+1
()由已知得,则,
2�
−2+12
��
��=2+1��=−1+2+1
任取,且令,则
22
�1�2
�1,�2�1<�2��1−��2=−1+2+1−(−1+2+1)
�2�1
222(2+1)2(2+1)
=�1−�2=�1�2−�1�2
2+12+1,得(到2+1)(2+1)(,2+1)(2+1)
�2�1
2(2−2)
�1�2
=(2+1)(2+1)>0��1−��2>0
故,则是减函数.
(3�)�由1题>意�得�2�(�)在时恒成立,
2
因为是单调�递��减>的−奇�函−数�,−4�∈1,4
所以��,即在时恒成立,
22
得到���>�,4且+令���<4,+即��∈1,4恒成立,
44
�<�+��(�)=�+��<�(�)min
又,当且仅当时等号成立,
44
得到�+�≥2�×,�得=到4,即�=2.
min
19.(�1(7�)分)(=24025·上海�闵<行4·一模�)∈若(定−义∞域,4为)的函数满足:对任意的和,都有,
��+��
�������+�=1+����
且,就称这个函数是“优美函数”.
(1)|判�(断�)并|≠证1明优美函数的奇偶性;
(2)若优美函数的值域�为�,且当时,,判断并证明优美函数的单调性;
若题()中�优�美函数还−1满,1足�>,0且不等0式<��<1对任意的�恒�成立,试求实数
(3)22
14+5�(��)1+2�(��)
2
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