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文档简介

第二章函数及其性质(举一反三综合训练)

(全国通用)

(考试时间:120分钟;满分:150分)

注意事项:

1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写

在答题卡上。

2.回答第I卷时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用

橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷(选择题共58分)

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要

求的。

1.(5分)(2025·陕西商洛·模拟预测)函数的定义域是()

1

��=�−1+�+5

A.且B.且

C.{�|�>−5�≠1}D.{�|�≥−5�≠1}

【答案】{�B|�≥−5}{�|�≠1}

【解题思路】求出使式子有意义的自变量的范围即得.

【解答过程】由题意,解得且,

�−1≠0

�≥−5�≠1

故选:B.�+5≥0

2.(5分)(2025·广东清远·一模)设函数,则函数为()

2

��=�−���

A.奇函数,且在单调递增

B.奇函数,且在0,+∞单调递减

C.偶函数,且在0,+∞单调递增

D.偶函数,且在0,+∞单调递减

【答案】A0,+∞

【解题思路】利用函数的奇偶性定义、单调性定义判断即可.

【解答过程】易知的定义域为,且,

22

��−∞,0∪0,+∞�−�+��=−�+�+�−�=0

所以为奇函数,

因为函��数在上单调递增,

2

�=�,�=−�0,+∞

所以在上单调递增,

2

��=�−�0,+∞

故选:A.

.(分)(四川绵阳一模)已知,则()

352025··1

32

3

A.�=2B,.�=log4,�=e

C.�<�<�D.�<�<�

【答案】�A<�<��<�<�

【解题思路】对于对数函数和指数函数的值比较大小,通常可以利用函数的单调性以及中间值来进行判断.

【解答过程】因为,

3

323

333

又因为对数函数2=log3在=log3上单=调log递增27,且,

所以�=l,og即3�0,.+∞4=16<27

33

log4<,log27,�由<于�,,且函数在上单调递增,

1

2399

�=e=e�=2=4e≈2.7184=2.25�=�[0,+∞)

所以,即.

9

综合以e上>两个4比较�结>果�,可得.

故选:A.�<�<�

4.(5分)(2025·河南·模拟预测)在光纤通信中,发射器发出光信号的功率传输后会逐渐变弱,衰减后的

光功率(单位:W)可表示为,其中为初始光功率,为衰减系数,为接收信号处与发射

−��

器之间的距离(单位:km).�已�知=距�离0e发射器k�m0处的光功率衰减�为初始光功率的�一半,若某处光功率

衰减为初始光功率的,则此处到发射器的距离3为.5()

2

A.km4B.kmC.kmD.km

【答案】7B.55.253.752.05

【解题思路】根据题意,列出方程,求出参数衰减系数的值,代入原函数,求出结果即可.

【解答过程】由题意得,即,化简得,解得,

1−�⋅3.51−�⋅3.51ln2

�3.5=2�0�0e=2�0e=2�=3.5

代入得,当时,得,

ln2ln2

−3.5�2−3.5�2

��=�0e��=4�0�0e=4�0

化简得,两边取对数得,解得

ln2.

−3.5�2ln223

e=4−3.5�=ln4=ln2−ln4=−2ln2�=5.25

故选:B.

.(分)(辽宁模拟预测)函数的部分图象大致为()

552025··�

9−1

�2

��=3⋅�

A.B.

C.D.

【答案】D

【解题思路】根据函数解析式化简,应用奇函数定义及特殊值法分别判断各个选项.

【解答过程】由,可得的定义域为,

��−�

9−13−3

�22

��=3⋅�=���−∞,0∪0,+∞

且,所以为奇函数,图象关于原点对称,排除项;

−��B

3−3

2

�−�=(−�)=−����

,排除C项;

8

�1=3>0

当时,,排除A项.

故选�→:+D∞.��→+∞

6.(5分)(2025·陕西西安·模拟预测)已知函数,对任意的,恒有

,且,则�下�列说法正确的�,是�(∈�)

1

��+�+��−�=2��⋅���1=2

A.B.为奇函数C.D.

【答案】�C0=0����≥−1�2025=1

【解题思路】对于A:令后计算即可判断;对于B:根据奇函数的性质即可判断;对于C:令

后计算即可判断;对于�D=:1先,�通=过0变形确定函数的周期,然后利用周期来求解.�=�

【解答过程】对于A:令,则,

�=1,�=0�1+�1=2�1�0

又,所以,故A错误;

1

�1=2�0=1

对于B:因为,所以不为奇函数,故B错误;

�0≠0��

对于C:令,则,

2

即�=��2�,+得�0=2��。由≥0的任意性可知,故C正确;

2

对�于(2D�:)+令1=2�,(则�)≥0�(2�)≥−1��,(�)≥−1

�=1��+,1则+��−1=2���1=,��

�所�以+2+��=��,+可1得��+2+��−1=0,

可知��+是3周期=−为�6�的周期函�数�.+6=−��+3=��

所以��,故D错误.

故选:�2C0.25=�6×337+3=�3=−�0=−1

7.(5分)(2025·海南省直辖县级单位·模拟预测)已知定义在上的偶函数,且当

时,单调递增,则关于的不等式1−3�的,4解�集−是2()���∈

0,3�−1�����−1>�2�−3�

A.B.C.D.

475252

3,28,43,33,2

【答案】A

【解题思路】先利用偶函数性质可得,再由偶函数单调性以及定义域列出不等式组计算求解即可.

【解答过程】由题意,函数是定义�在=1上的偶函数,所以,

解得,即函数的�定�义域为1,−3�,4�−21−3�+4�−2=0

当�=1时,单�调�递增,所以当−2,2时,单调递减,

关于�∈的0不,2等式��,�∈即−2,0��,

���−1>�2�−3���−1>�2�−3

所以,解得,所以原不等式解集为.

−2≤�−1≤244

−2≤2�−3≤23<�<23,2

故选:�A−.1>2�−3

8.(5分)(2025·内蒙古乌兰察布·三模)已知函数,若函数恰

2

4−�,�≤0

��=��=���−�

有5个零点,则实数的取值范围为()ln�+2,�>0

A.�B.C.D.

2

【答案】C2,eln2+2,4ln2+2,2ln2+22,4

【解题思路】画出函数的图象,利用换元法、数形结合思想、分类讨论进行求解即可.

【解答过程】由恰有5个零点,

则关于的方程��=��恰�有−5�个相异实根,

����=�

令,问题转化为满足的恰有5个不同的解.

��=�

��=��

��=�

作出函数的图象,如图所示,

由图易得:��当时,关于的方程仅有一个实根,且,

此时�仅<有21个实根,�不合题�意�;=��0�0<0

当��时=,�0仅有两个相异实根,

而�=2��=�各仅有1个实根−,不2合,1题意;

当��=−2时,�,�=1仅有3个实根,

且2<�≤4��=��1,�2,�3各仅有1个实根,

2

且两�1实≤根0均<小�于2<1<,�则3≤e,��有=三�个��实=根1,,2必有,

所以−3��=�3.2<�3≤4

又ln2+2,=所�以2<�≤�4=2ln2+2,此时的5个实根互不相等,

即2<恰�≤有45个零点ln;2+2<�≤2ln2+2

��

当时,仅有2个相异实根,且,

1

22

�>4��=��4,�50<�4<e,�5>e

此时仅有1个实根,有2个实根,不合题意.

��=�4��=�5

所以实数的取值范围为.

故选:C.�ln2+2,2ln2+2

二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目的

要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。

9.(6分)(2025·新疆喀什·模拟预测)已知函数,则()

2

2

�(�)=�+1

A.B.

�(�)+�(−�)=0�(�)≤2

C.D.

111

�(�)+�(�)=2�(3)+�(2)+�(1)+�(2)+�(3)=5

【答案】BCD

【解题思路】根据的解析式,进行相关的运算判断各个选项即可.

【解答过程】对于�A�,,故A错误;

224

222

��+�−�=�+1+−�+1=�+1≠0

对于B,由,故B正确;

22

2

�+11

对于,��=≤=2,故正确;

C2C

1222�+1

2122

��+1�+1

��+�=+�+1==2

对于D,由选项C知,且,

1

��+��=2�1=1

,故D正确.

11

∴�3+�2+�1+�2+�3=2+2+1=5

故选:BCD.

10.(6分)(2025·四川广安·模拟预测)已知,,则()

2��

A.B1.0=510=2

�<�2�+�=1

C.D.

21

log2�+log2�<−3�+�>9

【答案】BCD

【解题思路】由得,由得.对于A,利用作差法判断;对于B,由对数运算

2�1�

10=5�=2lg510=2�=lg2

法则计算判断;对于C,由基本不等式可得,结合对数运算法则计算判断;对于D,解法一:利用基

1

��<8

本不等式“1”的妙用,计算判断,解法二:用权方和不等式计算判断.

【解答过程】由得,由得.

2�1�

10=5�=2lg510=2�=lg2

对于A,,所以,故A错误;

15

�−�=2lg5−lg2=lg2>lg1=0�>�

对于B,,故B正确;

1

2�+�=2×2lg5+lg2=1

对于C,由,,则,当且仅当时等号成立,

1

�=2lg5>0�=lg2>01=2�+�≥22�⋅�2�=�

因为,故等号不成立,即,

1

2�=lg5≠lg2=���<8

则,故C正确;

1

log2�+log2�=log2��<log28=−3

对于D,解法一:易知,,

21212�2�2�2�

�+�=�+�2�+�=5+�+�≥5+2�⋅�=9

当且仅当时等号成立,因为,故等号不成立,所以,

2�2�21

�=��≠��+�>9

解法二:若用权方和不等式,则有,当且仅当时等号成立,因为,故

222

21212+1

�+�=2�+�≥2�+�=9�=��≠�

等号不成立,所以,故D正确.

21

�+�>9

故选:BCD.

11.(6分)(2025·海南省直辖县级单位·模拟预测)函数是定义在上的奇函数,满足

,在区间上单调递减,且,则�(�)���+1+��−1=

33

����0,2�−2=3

A.

�6=0

B.

3

�2025+�2=6

C.关于直线对称

���=3

D.在上单调递增

3

��2,3

【答案】AD

【解题思路】利用已知条件迭代可得周期,结合奇函数性质可判断A;利用和奇函数定义可

��=�3−�

得函数的图象关于对称,结合函数单调性可判断D;求出和的值进行比较可判断C;利

339

���=2�2�2

用周期性可判断B.

【解答过程】因为,所以,

所以��+1+��,−1=����−1=��−��+1

故��=��+1−��+2,

所以��−1=��+1,−所�以�+2−��+1=−��+2,

所以,��6是=函−数��+3的一个周�期�.=−��+3=−−��+3+3=��+6

对于A,因为��是定义在上的奇函数,所以,所以,正确;

��R�0=0�6=�0=0

对于C,因为,所以,

333

�−2=3�2=−�−2=−3

又,所以,

99393

所以�2=的�图2象−不6关=于�直−线2=3对称,�错误2;=−�2

���=3

对于B,因为,,

3

�3=−�0=0�2=−3

所以,错误.

333

�2025+�2=�337×6+3+�2=�3+�2=0−3=−3

对于D,因为,

因为6是的�周�期=,−�所�以+3=�−3−�,故

所以函数��的图象关于�−对3称−,�又=�3在−区�间�上�单=调�递3减−,�

33

���=2��0,2

所以在区间上单调递增,正确;

3

��2,3

故选:AD.

第II卷(非选择题共92分)

三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。

12.(5分)(2025·上海金山·一模)函数的定义域为.

2

【答案】�=�−2�−3

【解题思路(−】∞根,−据1题]意∪[列3,出+一∞元)二次不等式,求解即得函数的定义域.

【解答过程】要使函数有意义,需使,

22

解得或.�=�−2�−3�−2�−3≥0

故函数�≤的−定1义域�为≥3.

故答案为:(−∞,−1]∪[3.,+∞)

13.(5分)(−(∞20,2−5·1河]∪北[秦3,皇+岛∞)·三模)已知函数满足对都有成立.当

时,,则不等式��的解集∀为�∈R��.+�−�=0�≥0

2

【答案�】�=�+2����+��+1<0

3−13

【解题思路−】∞根, 据2得到函数是上的奇函数,继而求出时,的解析式并判断

在上的单调�性(�,)+利�用(奇−函�)数=和0单调性结合�分�段函�数可得两个不等式组,�求<解0即得.��

【�解�答过�程】因为对都有,所以是上的奇函数,

又时,∀�∈���+�−�,=显0然在���上单调递增,

22

故函�≥数0在�上�单=调�递+增2,�=�+1−1��0,+∞

当�时�,�,则,即;

22

由�<0−�>0�,−可�得=�−2���=−�−�=−�,+2�

故得���+��+,1<0���<−��+1=�−�−1

则有��<−�−1或,

2�≥02�<0

即�+2�<−�−或1−�+2�<−,�解−得1:,

3−13

�≥0�<0

22�<2

所以�不+等3式�+1<0�−3�−1>的0解集为.

3−13

���+��+1<0−∞,2

故答案为:.

3−13

−∞,2

14.(5分)(2025·上海闵行·一模)已知函数,若函数有三个零点

�−2,�≥0

��=�+1�(�)=��−�

,且,则的取值范围是2,�<.0

�2⋅��1

�1,�2,�3�1<�2<�3�3(�2+�3)

【答案】

3

0,2−2

【解题思路】由函数图象得到函数零点的关系,然后得到的取值范围.由等量关系化简,利用双勾

�2⋅��1

�3�3(�2+�3)

函数的单调性求出的取值范围,从而得到的取值范围.

8�2⋅��1

33323

【解答过程】函数�+大�致图象如下,�(�+�)

��

若,且,则

123123233

所以�<�<��(�)=�(�)=�(�)�+�=4,2<�<4

�2⋅�(�1)(4−�3)⋅�(�3)1(4−�3)(�3−2)18

�3(�2+�3)=4�3=4�3=46−(�3+�3)

∵,当且仅当,即时取等号,

888

�3+�3≥2�3×�3=42�3=�3�3=22

当时,,当时,,

8888

�3=2�3+�3=2+2=6�3=4�3+�3=4+2=6

由双勾函数的单调性可知,

88

�3+�3<4+4=6

即,

8

42≤�3+�3<6

∴.

�2⋅�(�1)3

�3(�2+�3)∈0,2−2

故答案为:.

3

0,2−2

四、解答题:本题共5小题,共77分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.(13分)(2025·四川眉山·一模)计算下列各式的值:

(1);

22

log105+2log102−log102

(2)12.

−2

120332

【答案24】(1−)1−7.8−38+3

(2)

1

2

【解题思路】(1)利用对数的运算法则计算求解;

(2)运用指数的运算法则计算每一项,再合并计算求解.

【解答过程】(1)原式

2

=log105+2−log102log102

2

=log105+1+log105log102

2

=log105+log102⋅log105+log102

=log105+log102⋅lo.g105+log102

=log105+log102=1

(2)原式12.

32×233×3323991

=2−1−2+2=2−1−4+4=2

16.(15分)(25-26高三上·山西太原·月考)已知函数的图象过点和点.

�12

��+�511

(1)求实数的值;�(�)=1,4,

(2)写出�,的�定义域,并求的值域.

【答案】�((1�))�(�)

�=2,�=3

(2)的定义域为;值域为.

6

【解�题�思路】(1)根0,据+题∞意列出方程组0,1求2解即可;

(2)根据法则求出定义域,利用基本不等式求值域.

【解答过程】(1)由,得,,,

121122

�1=5�4=11�+�=54�+�=11

上两式联立,解得,.

�=2,�=3

(2)由(1)知,故,得,

�

2�+3≠0

��=2�+3�≥0

所以的定义域为;�≥0

��,时,0,+∞,

�1

3

�0=0�>0��=2�+3=2�+�

因为,当且仅当时取等号,

33

2�+�≥26�=2

所以,即,

166

3

0<2�+�≤120<��≤12

所以的值域为.

6

17.(�1�5分)(20205,·1安2徽合肥·一模)城市地铁可为市民出行带来便利,提升城市形象,更是一张亮丽的城

市名片.安徽省合肥市于年开通了地铁号线,该条线路通车后,列车的发车时间间隔(单位:分钟)

满足,经市场2调01研6测算,列车载客1量与发车时间间隔相关,当时,载�客量会逐渐增

加,载3客≤量�≤与20成一次函数关系,且发车时间间隔为分�钟时的载客3量≤为�≤10人,当

2

时,列车为满载(10状−态�,)载客量为人,记列车载客量为3.33310≤�≤20

(1)求的表达式,并求当发车时48间0间隔为分钟时,列车�的�载客量;

��6

(2)若该线路每分钟的净收益为:(元),问当发车时间间隔为多少时,该线路每分钟的

4��−32�−912

�

净收益最大,并求出最大值.��=

【答案】(1),人;

2

−3�+60�+180,3≤�<10

��=432

(2)发车时间间隔为分钟4时80,,1该0≤线�路≤每2分0钟的净收益最大为元.

【解题思路】(1)由4题设,有当时,112,且,,求

2

值,进而写出其分段函数的形式,3再≤求�≤10.�(�)=�(10−�)+��(3)=333�(10)=480�,�

(2)由(1)写出解析式,讨论�6、求最大值即可.

【解答过程】(1)�由(�题)设,当3≤�时<,10令10≤�≤20,

2

又发车时间间隔为3分钟时的载3客≤量�≤为13033人,1�0�分=钟�时(1的0载−客�)量+为�480人,

所以,解得,

2

333=�10−32+��=−3

所以480=�10−10+��=480,

22

当��=−31时0,−�+480=,−3�+60�+180

所以10<�≤20��=480,

2

−3�+60�+180,3≤�<10

��=

故时,480,10≤�≤20,

2

所以�=当6发车时�间6间=隔−为3×分6钟+时60,×列6车+的18载0客=量43为2人;

6432

(2)(2)因为,

4��−32�−912

��=�

所以由(1)可得:192

208−12�+�,3≤�<10

��=1008

�−32,10≤�≤20

当时,,

192192

当且3仅≤当�<10等号�成�立,=208−12�+�≤208−212�⋅�=208−96=112

则�=4时,(元),

max

当3≤�<10时,�(�)=�4=在112递减,

1008

则10≤�≤20��=�−32�(∈元10),20

综上�(,�)发ma车x=时�间1间0隔=为1400分.8钟−时32,=该6线8.路8每分钟的净收益最大为112元.

.(分)(辽宁沈阳一模)已知函数是定义域为的奇函数,

18172025··�−1.

�⋅2+1

�−1

(1)求的值;�(�)=�⋅2+1R�,�∈R

�,�

(2)用定义法证明的单调性;

(3)当时,�(�)恒成立,求实数k的取值范围.

2

【答案�】∈(1[1),4],�(��)+�(−�−4)>0

(2)证明见解�析=2�=−2

(3)

【解(题−思∞路,4】)(1)利用奇函数性质得,进而解得即可.

(2)利用定义法得到函数的单调性�即0可=.0,�−1=−�1�,�

��

(3)利用奇函数性质得,再由单调性得,即,最后利用均值不等式求

224

���>�4+���<4+��<�+�

解参数范围即可.

【解答过程】(1)因为函数是定义域为的奇函数,

��R

所以�,得,

2+1

�

�0=2+1=0�=−2

又,即1,解得,

−2+1−2+1

�

�−1=−�14+1=−�+1�=2

则,经检验符合题意

�.

−2+1

�

��=2+1

()由已知得,则,

2�

−2+12

��

��=2+1��=−1+2+1

任取,且令,则

22

�1�2

�1,�2�1<�2��1−��2=−1+2+1−(−1+2+1)

�2�1

222(2+1)2(2+1)

=�1−�2=�1�2−�1�2

2+12+1,得(到2+1)(2+1)(,2+1)(2+1)

�2�1

2(2−2)

�1�2

=(2+1)(2+1)>0��1−��2>0

故,则是减函数.

(3�)�由1题>意�得�2�(�)在时恒成立,

2

因为是单调�递��减>的−奇�函−数�,−4�∈1,4

所以��,即在时恒成立,

22

得到���>�,4且+令���<4,+即��∈1,4恒成立,

44

�<�+��(�)=�+��<�(�)min

又,当且仅当时等号成立,

44

得到�+�≥2�×,�得=到4,即�=2.

min

19.(�1(7�)分)(=24025·上海�闵<行4·一模�)∈若(定−义∞域,4为)的函数满足:对任意的和,都有,

��+��

�������+�=1+����

且,就称这个函数是“优美函数”.

(1)|判�(断�)并|≠证1明优美函数的奇偶性;

(2)若优美函数的值域�为�,且当时,,判断并证明优美函数的单调性;

若题()中�优�美函数还−1满,1足�>,0且不等0式<��<1对任意的�恒�成立,试求实数

(3)22

14+5�(��)1+2�(��)

2

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