2026年高考数学复习讲练测专题01 函数及其图象、性质的应用（解析版）

专题01函数及其图象、性质的应用

目录

01析·考情精解..............................................................................................................2

02构·知能框架..............................................................................................................3

03破·题型攻坚..............................................................................................................4

考点一指对运算.......................................................................................................4

真题动向

知识1指数基本运算

必备知识

知识2对数基本运算

命题预测题型1指对综合运算

考点二函数的三要素............................................................................................12

真题动向

知识1求具体函数与抽象函数的定义域

必备知识知识2求函数解析式的5种方法

知识3求函数值域的4种方法

题型1函数的定义域

命题预测题型2函数的值域

题型3根据值域求参数取值范围

考点三函数的四大性质........................................................................................24

真题动向

知识1函数单调性的判断及单调性常见规律

必备知识知识2函数奇偶性的判断及常见的奇函数、偶函数

知识3函数周期性的判断

知识4函数对称的判断

题型1函数单调性的判断

题型2根据单调性比较大小

命题预测题型3根据单调性解不等式

题型4函数奇偶性的判断及根据奇偶性求参数值

题型5函数的周期性和对称性

考点四函数与方程................................................................................................55

真题动向

知识1求零点个数的常用方法

必备知识

知识2根据零点个数求参数取值范围的常用方法

题型1零点个数的判断

命题预测

题型2根据零点个数求参数取值范围

近五年高考命题显示，本节内容为高考重点。指对运算和四大性质，多以单选题和

填空题的形式出现，这两个板块均是5年4考，指对运算和实际生活结合，要求学

命题生从情境中提取到数学知识，并用数学的语言表达现实世界；四大性质中，单调性

考查居多，根据单调性求值域，根据单调性求参数取值范围，对知识的综合运用能

轨迹

力要求较高，并且多次出现在15题填空题的压轴题位置。函数图像、三要素和零

透视点从这几年来看，考频相对较较低，三要素出题整体来说比较简单，以填空题为主，

零点在压轴题15题的位置。这个部分的内容整体侧重考查学生的数学运算能力、

逻辑推理能力和数学建模能力。

考点2025年2024年2023年2022年2021年

考点T7,4分

指对运算T9,4分T11,5分T7，4分

频次T9,4分

T4,4分

总结函数图像

三要素T7,4分T11,5分

T4,4分

四大性质T15,5分T4,4分T3,4分

T15,5分

函数与方程T15,5分

预计在2026年高考中，函数的四大性质及指对运算仍是必考点；指对

2026

运算常以单选题的形式出现；四大性质综合的内容会在填空压轴题的位

命题

置出现；零点问题在近5年高考中只出现了1次，围绕零点问题出题，

预测

依然会有很大的可能性。

考点一指对运算

1．（2025年北京卷9，4分）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间

69

Tklog2N（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从10个单位增加到1.02410个

单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从1.024109个单位增加到4.096109个单位时，训练时间增

加（）

A．2hB．4hC．20hD．40h

【答案】B

【知识点】对数的运算性质的应用、利用给定函数模型解决实际问题

【分析】由题给条件列出不同训练数据量时所需的时间，结合对数的运算性质即可求解.

699

【详解】设当N取10个单位、1.02410个单位、4.09610个单位时所需时间分别为T1,T2,T3,

6

由题意，T1klog2106klog210，

9106

T2klog21.02410klog2210k106log210，

9126

T3klog24.09610klog2210k126log210，

因为T2T1k106log2106klog21010k20，所以k2，

所以T3T2k126log210k106log2102k4，

所以当训练数据量N从1.024109个单位增加到4.096109个单位时，训练时间增加4小时.

故选：B.

S1

2．（2024年北京卷7,4分）生物丰富度指数d是河流水质的一个评价指标，其中S,N分别表示河流

lnN

中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没

有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则（）

A．3N22N1B．2N23N1

2332

C．N2N1D．N2N1

【答案】D

【难度】0.65

【知识点】指数式与对数式的互化、比较指数幂的大小

S1S1

【分析】根据题意分析可得2.1,3.15，消去S即可求解.

lnN1lnN2

S1S1

32

【详解】由题意得2.1,3.15，则2.1lnN13.15lnN2，即2lnN13lnN2，所以N2N1.

lnN1lnN2

故选：D.

x1

3．（2023年北京卷第11,5分）已知函数f(x)4log2x，则f．

2

【答案】1

【难度】0.94

【知识点】指数幂的运算、求函数值、对数的运算

1

【分析】根据给定条件，把x代入，利用指数、对数运算计算作答.

2

1

x121

【详解】函数f(x)4log2x，所以f()4log211.

222

故答案为：1

4．（2022年北京卷第7，4分）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷

制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和lgP的关系，

其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是bar．下列结论中正确的是（）

A．当T220，P1026时，二氧化碳处于液态

B．当T270，P128时，二氧化碳处于气态

C．当T300，P9987时，二氧化碳处于超临界状态

D．当T360，P729时，二氧化碳处于超临界状态

【答案】D

【难度】0.85

【知识点】根据折线统计图解决实际问题、对数的运算

【分析】根据T与lgP的关系图可得正确的选项.

【详解】当T220，P1026时，lgP3，此时二氧化碳处于固态，故A错误.

当T270，P128时，2lgP3，此时二氧化碳处于液态，故B错误.

当T300，P9987时，lgP与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C错

误.

当T360，P729时，因2lgP3,故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.

故选：D

x

5．（2024年北京卷第9，4分）已知x1,y1，x2,y2是函数y2的图象上两个不同的点，则（）

yyxxyyxx

A．log1212B．log1212

222222

yyyy

C．log12xxD．log12xx

22122212

【答案】B

【难度】0.65

【知识点】指数式与对数式的互化、基本不等式求和的最小值、比较对数式的大小

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可.

xx1x2

【详解】由题意不妨设x1x2，因为函数y2是增函数，所以022，即0y1y2，

xxxx

2x12x212yy12

对于选项AB：可得2x1·2x222，即12220，

22

x1x2

y1y22x1x2

根据函数ylog2x是增函数，所以loglog2，故B正确，A错误；

2222

对于选项D：例如x10,x21，则y11,y22，

yy3yy

可得log12log0,1，即log121xx，故D错误；

22222212

11

对于选项C：例如x1,x2，则y,y，

121224

yy3yy

可得log12loglog332,1，即log123xx，故C错误，

222822212

故选：B.

知识点一：指数基本运算

1、有理数指数幂的分类

n个

⑴正整数指数幂anaaaaaanN⑵零指数幂a01a0

1

⑶负整数指数幂ana0,nN⑷0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.

an

2、有理数指数幂的性质

⑴amanamna0,m,nQ

n

⑵amamna0,m,nQ

⑶abmambma0,b0,mQ

m

⑷namana0,m,nQ

②全称量词命题和存在量词命题的求参数问题相对较难，要注重端点出点是否可以取到.

知识点二：对数基本运算

1、对数运算法则

M

①外和内乘：logMNlogMlogN②外差内除：loglogMlogN

aaaaNaa

nn

③提公次方法：logmblogbm,nR④特殊对数：log10

amaa

⑤指中有对，没心没肺，真数为几，直接取几：logabb

ab,logaab

2、对数的定义

一般地，如果x，那么数叫做以为底的对数，记其中叫做对数的底

aNa0,a1xaNxlogaN,a

数，N叫做对数的真数N0

3、换底公式

logb1

常用换底m②倒数原理

①logablogab

logmalogba

lgblgclgc

③约分技巧logblogclogc④具体数字归一处理：lg2lg51

ablgalgblgaa

题型1指对综合运算

2x,x1

1．（2025·北京房山·一模）已知函数fx，则f0f1.

log2x7,x1

【答案】4

【难度】0.85

【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、指数幂的运算、对数的运算

【分析】求出f01,f13，得到答案.

0

【详解】f021，f1log2173，故f0f1134.

故答案为：4

2．（2022·北京顺义·二模）已知函数fxlnx，若fab1，则fa4fb4.

【答案】4

【难度】0.85

【知识点】指数幂的运算、对数的运算

【分析】根据对数运算和指数运算，结合已知条件，即可求得结果.

【详解】因为fxlnx，则fab1，则lnab1，即abe；

4

又fa4fb4lna4lnb4lnablne44.

故答案为：4.

3．（2025·北京·二模）设alg2,blg3，则lg15（）

A．1abB．1abC．1abD．1ab

【答案】B

【难度】0.85

【知识点】对数的运算性质的应用

【分析】根据题意，利用对数的运算性质，即可求解.

【详解】由alg2,blg3，可得lg15lg3lg5lg3(1lg2)1ab.

故选：B.

lg2lg5

4．（2025·北京海淀·一模）已知四个数a，blg2lg5，clg2，dlg5，其中最小的是（）

2

A．aB．b

C．cD．d

【答案】C

【难度】0.65

【知识点】比较对数式的大小、基本不等式求和的最小值

【分析】利用对数函数单调性可求得0lg2lg5，再由基本不等式以及不等式性质比较得出四个数的大小，

即可得出结论.

lg2lg5

【详解】易知0lg2lg5，所以可得lg2<lg5，

2

即cad；

lg2lg5

再由基本不等式可得lg2lg5，即ba；

2

显然lg2lg2lg2lg2lg5，即cb；

因此可得cbad，即最小的是c.

故选：C

压力

5．（2021·北京丰台·一模）大气压强p，它的单位是“帕斯卡”（Pa，1Pa=1N/m2），大气压强p（Pa）

受力面积

kh-1

随海拔高度h（m）的变化规律是pp0e（k0.000126m），p0是海平面大气压强.已知在某高山A1,A2两

p1

1

处测得的大气压强分别为p1,p2，，那么A1,A2两处的海拔高度的差约为（）

p22

（参考数据：ln20.693）

A．550mB．1818mC．5500mD．8732m

【答案】C

【难度】0.94

【知识点】指数幂的运算、指数式与对数式的互化

kh

【分析】根据pp0e以及指数的运算即可求解.

【详解】在某高山A1,A2两处海拔高度为h1,h2，

kh1

ppekhh1

所以10e12，

kh2

p2p0e2

1

所以khhlnln2，

122

0.693

所以hh5500（m）.

120.000126

故选：C

6．（2025·北京房山·一模）自然界中，大多数生物存在着世代重叠现象，它们在生活史中会持续不断地繁殖

后代，且有时不同的世代能在同一时间进行繁殖.假定某类生物的生长发育不受密度制约时，其增长符合模

rt

型：NtN0e，其中N0为种群起始个体数量，r为增长系数，Nt为t时刻的种群个体数量.当t3时，

种群个体数量是起始个体数量的2倍.若N4150，则N10（）

A．300B．450C．600D．750

【答案】C

【难度】0.85

【知识点】指数幂的化简、求值、指数函数模型的应用（2）

【分析】根据已知函数模型计算得出e3r2，再结合指数运算计算求解.

rt

【详解】因为模型：NtN0e，其中N0为种群起始个体数量，r为增长系数，

因为当t3时，种群个体数量是起始个体数量的2倍.

3r3r

所以N3N0e=2N0，所以e=2，

4r10r4r6r2

若N4N0e150，则N10N0eN0ee1502600.

故选：C.

7．（2025·北京顺义·一模）在天文学中，天体的明暗程度可以用视星等和绝对星等来描述.视星等m是在地

球上看到的星体亮度等级，视星等受恒星距离影响.绝对星等M是假设把恒星放在距离地球10秒差距（10

秒差距≈32.6光年）时的视星等，这样能比较不同恒星本身的亮度.视星等m和绝对星等M满足

d

mM5lg，其中d是与地球的距离，单位为秒差距.若恒星A距离地球约32.6光年，恒星B距离地

10

球约326光年，恒星A，B的视星等满足mBmA4，则（）

A．MBMA4B．MBMA6C．MAMB1D．MAMB6

【答案】C

【难度】0.65

【知识点】对数的运算性质的应用

32.6326

【分析】由题意得到mAMA5lg，mBMB5lg，相减即可求解；

1010

32.6

【详解】由题意mAMA5lg，

10

326

mBMB5lg，

10

32.6326

两式相减可得：mAMAmBMB5lg5lg5，

1010

又mBmA4，

所以MBMA1，

所以MAMB1，

故选：C

8．（2025·北京门头沟·一模）某城市为推动新能源汽车普及，第1年在市区公共区域建设了2

万个新能源汽车充电桩，随着新能源汽车保有量快速增长，以及城市对绿色出行基础设施建设的持续投入，

每年新建设的充电桩数量比上一年增加20%，按照这样的发展趋势，那么该城市第3年在市区公共区域新

建设了万个充电桩；从第1年起，约年内，可使该城市市区公共区域的充电

桩总量达到30万个（结果保留到个位）.

（参考数据：lg20.301，lg30.477）

【答案】2.888

【难度】0.65

【知识点】对数运算、求等比数列前n项和、等比数列的简单应用

【分析】利用等比数列的定义，求和公式计算即可.

2

【详解】由题意可知第3年新建设210.22.88万个充电桩；

假设第n年后充电桩总量达到30万个，

n1

则2210.2210.230，

211.2n

即301.2n4，

11.2

2lg20.6020.602

取对数得n7.62，

lg6lg5lg2lg31lg20.079

即约8年内，可达到要求.

故答案为：2.88，8

考点二函数的三要素

1

1．（2022年北京卷，11，5分）函数f(x)1x的定义域是．

x

【答案】,00,1

【难度】0.94

【知识点】具体函数的定义域

【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；

11x0

【详解】解：因为fx1x，所以，解得x1且x0，

xx0

故函数的定义域为,00,1；

故答案为：,00,1

1

2．（2020年北京卷11，5分）函数f(x)lnx的定义域是．

x1

【答案】(0,)

【难度】0.94

【知识点】求对数函数的定义域

【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.

x0

【详解】由题意得，x0

x10

故答案为：(0,)

【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.

3．（2025年北京卷7,4分）已知函数f(x)的定义域为D，则“f(x)的值域为R”是“对任意MR，存在x0D，

使得fx0M”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【知识点】抽象函数的值域、判断命题的充分不必要条件

【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解.

【详解】若函数f(x)的值域为R，则对任意MR，一定存在x1D，使得fx1M1，

取x0x1，则fx0M1M，充分性成立；

x

取f(x)2，DR，则对任意MR，一定存在x1D，使得fx1M1，

取x0x1，则fx0M1M，但此时函数f(x)的值域为0,，必要性不成立；

所以“f(x)的值域为R”是“对任意MR，存在x0D，使得fx0M”的充分不必要条件.

故选：A.

ax1,xa,

4．（2022年北京卷14,5分）设函数fx2若f(x)存在最小值，则a的一个取值为；

x2,xa.

a的最大值为．

【答案】0（答案不唯一）1

【难度】0.65

【知识点】分段函数的性质及应用、根据分段函数的单调性求参数、根据分段函数的值域（最值）求参数

【分析】根据分段函数中的函数yax1的单调性进行分类讨论，可知，a0符合条件，a0不符合条件，

a0时函数yax1没有最小值，故f(x)的最小值只能取y(x2)2的最小值，根据定义域讨论可知

2

a210或a21a2，解得0a1.

1,x0

【详解】解：若a0时，f(x){，∴f(x)0；

(x2)2,x0min

若a0时，当xa时，f(x)ax1单调递增，当x时，f(x)，故f(x)没有最小值，不符合

题目要求；

若a0时，

当xa时，f(x)ax1单调递减，f(x)f(a)a21，

0(0a2)

当xa时，f(x){

min(a2)2(a2)

∴a210或a21（a2）2，

解得0a1，

综上可得0a1；

故答案为：0（答案不唯一），1

知识1求具体函数与抽象函数定义域

1.基本的函数定义域限制

(1)分式中的分母不为0;

(2)偶次方根下的数(或式)大于或等于0;

(3)零指数幂的底数不为0;

(4)对数式的底数大于0且不等于1,真数大于0;

(5)正切函数且.

�

�=tan��∈��≠𝑘+2,�∈�

2.抽象函数的定义域求法

此类型题目最关键的就是法则下的定义域不变,若的定义域为,求中的解

的范围,即为的定义域.

���,�����<��<�

����

知识2求函数解析式常用的5种方法

1.待定系数法求函数解析式

已知函数解析式的类型时,可用待定系数法求其函数解析式.

2.换元法求函数解析式

已知复合函数的表达式时,可用换元法,此时要注意“元”的取值范围.

3.配凑法求函数解��析�式

当出现大基团换元转换繁琐时,可考虑配凑法求解.

4.方程组法求函数解析式

若已知成对出现或类型的抽象函数表达式,则常用解方程组法构造另一个方程,消

1

元的方法求出.��,����,�−�

5.迭代法求函数��解析式

当出现类似“数列”类型的抽象函数表达式时,可采用递推迭代的方法求出.

��

知识3求函数值域的4种方法

由函数的定义知,自变量在对应法则下取值的集合叫做函数的值域.

1.函数值域的常规求法��

(1)与二次函数有关的函数,可用配方法(注意定义域);

(2)形如的函数,可用换元法.即设,转化成二次函数再求值域(注意

);

�=��+�±��+��=��+�

�≥0

(3)形如的函数可借助反比例函数求其值域,若用分离常数法求值域,这种函数的值域为

��+�

�=��+��≠0

;

�

�∣�≠�

(4)形如、中至少有一个不为零的函数求值域,可用判别式求值域,也可以分离常数后

2

��+��+�

2

换元.�=��+��+�(��)

2.函数值域的单调性求法

适用类型:一般能用于求复合函数的值域或最值.(原理:同增异减)

3.函数值域的换元求法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型.

换元法是数学方法中最主要的几种方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用.

适用类型:无理函数、三角函数(用三角代换)等.

4.函数值域的数形结合求法

其题型是函数解析式具有某种明显的几何意义,如两点的距离公式,直线斜率等等,这类题目若运用数形

结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目.

适用类型:函数本身可和其几何意义相联系的函数类型.

【易错提醒】

1.对于实际问题，根据实际情况计算x的取值范围；

2.用换元法和配凑法求解析式，一定要注意换元后的范围，并写出函数的定义域；

3.求值域之前一定的要先看定义域。

题型1定义域

1．（2025·北京东城·一模）下列函数中，定义域为(0,)的函数是（）

A．f(x)xB．f(x)lnxC．f(x)2xD．f(x)tanx

【答案】B

【难度】0.94

【知识点】具体函数的定义域

【分析】利用各个选项中函数的定义及要使得函数有意义即可求得定义域，由此得出答案.

【详解】对于A，要使得根号下有意义，则x0，即定义域为0,，故A错误；

对于B，要使得对数有意义，则真数x0，即定义域为0,，故B正确；

对于C，由指数函数的定义可知其定义域为R，故C错误；

ππ

对于D，要使得正切函数有意义，则xkπ,kZ，即定义域为x|xkπ,kZ，故D错误；

22

故选：B.

1

2．（2025·北京朝阳·一模）函数fxlog3x的定义域为．

1x

【答案】0,1

【难度】0.94

【知识点】具体函数的定义域、求对数函数的定义域

【分析】根据函数解析式有意义可得出关于x的不等式组，即可解得函数fx的定义域.

11x0

【详解】对于函数fxlog3x，有，解得0x1，

1xx0

1

故函数fxlog3x的定义域为0,1.

1x

故答案为：0,1.

3

3．（2025·北京·二模）函数fxx1的定义域为．

x2

【答案】1,00,

【难度】0.85

【知识点】具体函数的定义域

x10

【分析】根据函数的解析式有意义，得到不等式组2，进而求得函数的定义域，得到答案.

x0

3x10

【详解】由函数fxx1有意义，则满足2，解得x1且x0，

x2x0

所以函数fx的定义域为1,00,.

故答案为：1,00,.

ln1x

4．（2025·北京丰台·二模）函数fx的定义域为．

x

【答案】0,1

【难度】0.85

【知识点】求对数型复合函数的定义域

【分析】利用对数的真数及被开方数，以及分母不为0的条件来求解即可得定义域.

1x0

【详解】由，解得0x1，

x0

ln1x

所以函数fx的定义域为0,1，

x

故答案为：0,1

题型2求函数值或值域

x21,x0

．（北京大兴三模）已知，若，则m

52024··fxxfm8.

4,x0

3

【答案】3或

2

【难度】0.85

【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、指数函数的判定与求值

【分析】根据分段函数解析式得到方程（不等式）组，解得即可.

x21,x0

【详解】因为且，

fxxfm8

4,x0

m2184m8

所以或，

m0m0

3

解得m3或m.

2

3

故答案为：3或

2

6．（2025·北京顺义·一模）下列函数中，单调递增且值．域．为0,的是（）

2x1

A．y=xB．yx1C．y3D．ylog2x

【答案】B

【难度】0.94

【知识点】利用函数单调性求最值或值域、根据解析式直接判断函数的单调性

【分析】逐项分析函数的单调性和值域，可得正确答案.

【详解】对A：函数在,0上单调递减，在0,上单调递增，故A不满足函数的单调性；

对B：函数在1,上单调递增，且函数值域为0,，故B满足题意；

对C：函数在R上单调递增，且函数值域为0,，故C函数的值域不满足条件；

对D：函数在0,上单调递增，值域为R，故D函数的值域不满足条件.

故选：B

7．（2024·北京朝阳·模拟预测）函数fxxx24xx2的最大值为（）

A．1B．2C．2D．22

【答案】C

【难度】0.65

【知识点】柯西不等式求最值

【分析】由柯西不等式求解即可.

xx20

【详解】，由，解得，

fxx1xx4x20x1

4xx0

当x0时，fx0，当x1，fx3，

当0x1，则fx0，

此时1x0且4x0，

2

由柯西不等式可得，

x1xx4xx4x1xx4

x4x4

当且仅当，即x时取等号，此时f2x4，即fx2，

1xx5

所以函数fxxx24xx2的最大值为2.

故选：C.

2x

8．（2025·北京海淀·二模）已知函数fx，则fx的值域为，曲线yfx的对称中

2x4

心为．

1

【答案】0,12,/2,0.5

2

【难度】0.65

【知识点】求指数型复合函数的值域、判断或证明函数的对称性

1

【分析】化简解析式得出fx，结合指数函数的值域可求得函数fx的值域；计算f4xfx

122x

的值，可得出曲线fx的对称中心坐标.

2x11

fx

【详解】因为x42x，

24112

2x

2x2x1

因为20，则121，故fx0,1，即函数fx的值域为0,1，

122x

24x24x2x164

因为f4x，

24x42x24x41642x2x4

2x4

所以，fxf4x1，

2x42x4

1

因此，函数fx的对称中心为2,.

2

1

故答案为：0,1；2,.

2

题型3根据值域求参数取值范围

x2x,xa

9．（24-25高三上·北京海淀·期末）已知函数f(x)存在最小值，则a的取值范围是.

ax1,xa

3

【答案】,0

2

【难度】0.65

【知识点】利用函数单调性求最值或值域、根据函数的最值求参数

【分析】分a0、a0、a0三种情况讨论，分别说明函数的最小值，即可求出参数的取值范围.

【详解】当a0时，fxax1在,a上单调递增，

且当x时fx，显然fx不存在最小值，故舍去；

22

xx,x02111

当a0时，f(x)，则当x0时fxxxx，

1,x0244

所以fx的最小值为1，符合题意；

2

21111

当a0时，当xa时fxxxx，所以fx在a,上单调递减，在,上单调递增，

2422

11

f，

24

当xa时fxax1，则fx在,a上单调递减，

21

a1311

要使函数存在最小值，则4，解得a，此时fxf；

2min24

a0

3

综上可得a的取值范围是,0.

2

3

故答案为：,0

2

2x2,x1,

10．（2025·北京海淀·一模）已知函数fx1（a0且a1）．若fx的值域为,2，

logaax3,x1

2

则a的一个取值为；若fx的值域为R，则a的取值范围是．

【答案】12,

2

【难度】0.65

【知识点】分段函数的值域或最值、根据对数函数的值域求参数值或范围、求指数型复合函数的值域

0a1

【分析】第一空：由x1时，y2x2的值域为,2，得到当x1时需满足a求解即可；

loga32

2

a1

第二空：由x1时，y2x2的值域为,2，得到当x1时需满足a求解即可.

loga32

2

【详解】第一空：当x1时，易知y2x2的值域为,2，

若fx的值域为,2，

1

则当x1时，ylogaax3的最大值需满足小于或等于2，

2

1

因为yax3在1,上单调递增，

2

0a1

0a1

故需满足：a即，

2

loga322aa60

2

1

解得：0a1，故a的一个取值为；

2

第二空：当x1时，易知y2x2的值域为,2，

若fx的值域为R，

1

则需满足当x1时，ylogaax3的最小值需满足小于或等于2，

2

1

又yax3在1,上单调递增，

2

a1

a1

则需满足a即，

2

loga322aa60

2

解得：a2，

所以a的取值范围是2,.

故答案为：1，2,

2

exaa,xa,

11．（2025·北京门头沟·一模）已知函数fx