2025-2026学年甘肃省张掖二中高二（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年甘肃省张掖二中高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知f′(x)是函数f(x)的导函数，f(x)=e2x+cosx，则f′(0)=A.0 B.1 C.2 D.32.已知向量a=(4,−2,3)，b=(1,5,x)，满足a⊥b，则xA.2 B.−2 C.143 D.3.函数f(x)=(x−3)ex的单调递增区间是(

)A.(−∞,+∞) B.(0,3) C.(−∞,3) D.(2,+∞)4.在下列各图中，两个变量具有相关关系的是(

)

A.①② B.①③ C.②④ D.②③5.已知变量x和y有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为y=2.8x+ax2345y47813A.经验回归直线必过点(3.5,7.5) B.a=1.8

C.当x=6时，预测值y=14 D.当6.已知某班级中，喜欢文学阅读的学生占75%，喜欢文学阅读而且喜欢科普阅读的学生占30%.若从这个班级的学生中任意抽取一人，则在抽到的学生喜欢文学阅读的条件下，该学生也喜欢科普阅读的概率为(

)A.22.5% B.30% C.40% D.75%7.向量a=(2,2,0)在向量b=(2,0,2)上的投影向量为(

)A.(2,0,2) B.(8.若关于x的不等式x2−2lnx+m≥0恒成立，则实数m的取值范围为(

)A.[−1,+∞) B.[e,+∞) C.(−∞,−1] D.(−∞,e]二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)的导函数f′(x)在[−4,3]上的图象如图所示，则下列说法正确的是(

)A.f(x)在(−2,2)上单调递增 B.当x=−2时，f(x)取得极大值

C.当x=2时，f(x)取得极小值 D.f(3)是f(x)在[−4,3]上的最大值10.下列结论正确的是(

)A.随机变量X服从二项分布B(3,12)，Y=2X+1，则D(Y)=3

B.相关系数r的值越小，两个变量之间的线性相关性越弱

C.在线性回归分析中，若R2值越小则模型的拟合效果越好

D.随机变量X服从正态分布N(5,11.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=2，PA⊥平面ABCD，E为PB中点，则(

)A.DE=12AB−AD+12AP

B.异面直线DE与PC所成角的余弦值为23

C.DE=5

D.点12.某人从甲地到乙地，乘火车、飞机的概率分别为0.4和0.6，乘火车迟到的概率为0.2，乘飞机迟到的概率为0.5，则这个人迟到的概率为

．13.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=1，AB=2，AA1=3，点E，F分别在BB1，14.已知f(x)=x4+3x3−2x,x<0elnx,x>0，若函数g(x)=f(x)−mx有两个零点，则正数四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知函数f(x)=(x+a)ex在x=1处有极值．

(1)求a的值；

(2)求f(x)在[−1,3]上的最值．16.(本小题15分)

为研究不同性别对取暖器“最佳舒适温度”是否不低于24℃的认同差异，某公司随机对400名用户(男女用户各占一半)进行了调查，其中，认为“最佳舒适温度”不低于24℃的女性用户数量占女性用户总数的34，认为“最佳舒适温度”不低于24℃的男性用户数量占总用户数的14性别最佳舒适温度合计≥24℃<24℃男女合计400(1)完成列联表，并根据小概率值α=0.05的独立性检验，分析认同取暖器“最佳舒适温度”是否不低于24℃是否与性别有关；

(2)从样本中认为取暖器“最佳舒适温度”低于24℃的用户中随机抽取2人，求这2人中至少有1名女性的概率．

附：χ2P(0.10.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.82817.(本小题15分)

如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥平面ABCD，PD=4，E，F，G分别为PC，PD，BC的中点．

(1)求证：FG//平面PAB；

(2)求直线FG与平面PBC所成角的正弦值．18.(本小题17分)

已知函数f(x)=12x2−(a+1)x+alnx,a>0．

(1)若a=1，求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程；

(2)求函数y=f(x)的单调增区间；

(3)若f(x)存在极大值点x19.(本小题17分)

开封古称汴梁、汴京，作为北宋都城长达168年，是当时世界上最大的都市，《清明上河图》描绘的正是当年汴河两岸的繁华盛景.如今的开封，依托深厚的历史文化底蕴，打造了以清明上河园、开封府、大相国寺、龙亭公园为代表的宋文化景区群，让游客穿越千年，感受“东京梦华”的独特魅力.为深化游客对宋代文化的体验，开封旅游局推出了“宋文化深度游”项目.某旅行社组织了一个20人的“宋文化研学团”，其中12人购买了景点联票(深度体验游客)，8人只购买了部分景点门票(精选游览游客).为增强文化体验，旅行社准备从20人中随机抽取3人，赠送珍贵的《大宋御河夜游》船票，并可在船上自愿参与北宋蹴鞠体验活动．

(Ⅰ)求抽到的3人中恰有1人为“深度体验游客”的概率；

(Ⅱ)如果游客参加“蹴鞠体验”活动的概率为0.6，且是否参与相互独立.设X=“抽到的3人中实际参加蹴鞠体验的游客人数”，求X的分布列及数学期望E(X)．

(Ⅲ)该旅行社对某天1000位精选游览游客的游览情况进行统计，得到如下数据：景点编号一二三四景点名称清明上河园开封府大相国寺龙亭公园游览人数(人)829653499347假设每个景点得到人们喜欢的概率与该景点的参观率相等，用ξk=1表示第k个景点得到游客喜欢，用ξk=0表示第k个景点没有得到游客喜欢(k=1,2,3,4).结合上表数据，写出方差Dξ1，Dξ2，D参考答案1.C

2.A

3.D

4.D

5.D

6.C

7.C

8.A

9.BC

10.AD

11.ABD

12.0.38

13.314.(1,2)

15.解：(1)由题意，f′(x)=(x+a+1)ex，

因为函数f(x)=(x+a)ex在x=1处有极值，所以f′(1)=(2+a)e=0，解得a=−2，

此时f′(x)=(x−1)ex，

则x∈(−∞,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；

当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，

所以函数f(x)=(x+a)ex在x=1处有极值，所以a=−2．

(2)由(1)可知函数f(x)在(−1,1)上单调递减，在(1,3)上单调递增，

又f(−1)=−16.解：(1)依题意可知，女性用户共有200人，“最佳舒适温度”不低于24℃的女性用户数量占女性用户总数的34，

所以“最佳舒适温度”不低于24℃的女性用户有34×200=150人，

因为“最佳舒适温度”不低于24℃的男性用户数量占总用户数的14，

所以男性用户中认为“最佳舒适温度”不低于24℃的人数为性别最佳舒适温度合计≥24℃<24℃男100100200女15050200合计250150400零假设为H0：认同取暖器“最佳舒适温度”是否不低于24℃与性别无关．

根据表中的数据，计算得到χ2=400×(50×100−100×150)22002×250×150=803≈26.7．

因为26.7>3.841，所以根据小概率值α=0.05的独立性检验，有充分证据推断H0不成立，

因此可以认为认同取暖器“最佳舒适温度”是否不低于24℃与性别有关

(2)由(1)得，认为取暖器“最佳舒适温度”低于17.解：(1)证明：因为E，F，G分别为PC，PD，BC的中点，

所以EF//CD//AB，

又因为AB⊂平面PAB，EF⊄平面PAB，

所以EF//平面PAB，

同理EG//平面PAB，EF∩EG=E，EF⊂平面EFG，EG⊂平面EFG，

所以平面EFG//平面PAB，

又因为FG⊂平面EFG，

所以FG//平面PAB；

(2)因为PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，

所以以D为坐标原点，{DA,DC,DP}为基底建立空间直角坐标系，

所以P(0,0,4)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，F(0,0,2)，G(1,2,0)，

PB=(2,2,−4)，PC=(0,2,−4)，FG=(1,2,−2)，

设平面PBC的法向量为n=(x,y,z)，

由n⋅PB=0n⋅PC=0，所以2x+2y−4z=02y−4z=0，

令y=2，所以n=(0,2,1)，

设直线FG与平面18.(1)若a=1，则f(x)=12x2−2x+lnx，

故f(1)=−32，f′(x)=x−2+1x，

所以曲线在x=1处切线的斜率k=f′(1)=0，

所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=−32；

(2)定义域为(0,+∞)，因为f(x)=12x2−(a+1)x+alnx，

所以f′(x)=x−a−1+ax=x2−(a+1)x+ax=(x−1)(x−a)x，

当a>1时，令f′(x)>0，得0<x<1或x>a，

所以函数f(x)的单调增区间为(0,1)和(a,+∞)；

当a=1时，f′(x)=(x−1)2x≥0，当且仅当x=1取“=”，

所以函数f(x)的单调增区间为(0,+∞)；

当0<a<1时，令f′(x)>0，得0<x<a或x>1，所以函数f(x)的单调增区间为(0,a)和(1,+∞)．

综上，当a>1时，增区间为(0,1)和(a,+∞)，

当a=1时，增区间为(0,+∞)，

当0<a<1时，增区间为(0,a)和(1,+∞)；

(3)证明：由(2)可知，当a>1时，函数f(x)在(0,1)和(a,+∞)上单调递增，在(1,a)上单调递减，

所以f(x)的极大值为f(1)=−12−a<0；

当0<a<1时，函数f(x)在(0,a)和(1,+∞)上单调递增，在(a,1)上单调递减，

所以f(x)的极大值为f(a)=12a2