2026年高考数学复习讲练测专题 05 平面向量（高频考点专练）（原卷版）

专题05平面向量

目录

高频考情深度解读（高考命题规律透视+培优备考要求）

核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧）

聚焦题型精准解密（4大题型精讲+变式拔高训练）

题型一平面向量共线问题（）

题型二平面向量数量积问题（）

题型三平面向量垂直、模、夹角问题（）

题型四平面向量投影向量问题（）

题型五利用向量解决平面几何最值问题（）

实战演练高效提分（高考仿真模拟+限时训练提升）

有关平面向量的北京高考试题，平面向量问题以基础性为主，突出向量的线性运算和坐标运算,特别是

线性运算、夹角计算、数量积考查较多,模的计算、向量的垂直与平行也经常出现,向量的综合问题间隔考查.

平面向量重点突出其工具功能.向量备考应重视基础知识,要求考生熟练掌握基本技能。

基础知识必备：熟练掌握向量的线性运算和坐标运算；

2026高考预测：平面向量主要以选择题形式出现，也有可能会将其渗透在填空题的表达之中．具体评估为：

以选择题或填空题形式出现，考查学生基础知识，熟练掌握向量基本技能．

重难知识汇总：

1、向量数量积的性质

设a与b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量．

①eaaeacos

②abab0

2

③当a与b同向时，abab；当a与b反向时，abab．特别的aaa或aaa

ab

④cos

|a||b|

⑤abab

2、向量数量积的坐标表示

①已知两个非零向量，，

a(x1,y1)b(x2,y2)abx1x2y1y2

②设a(x,y)，则|a|2x2y2或|a|x2y2

③如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，那么

22（平面内两点间的距离公式）．

|a|(x1x2)(y1y2)

3、向量加法与减法的法则：

平行四边形法则：以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线OC就

是a与b的和.

图形表示：

字母表示：OAOB=OC，OAOBBA

坐标表示：记，则

OAx1,y1OBx2,y2OAOBx1y1,x2y2

OBOAx2x1,y2y1

三角形法则：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量

的终点为终点的向量.

图形表示：

字母表示：OAABOB

坐标表示：记，则

OAx1,y1OBx2,y2OAOBx1y1,x2y2

OBOAx2x1,y2y1

4、向量数乘的定义

实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a

图形表示：

字母表示：ABmamR

坐标表示：记a=(x,y)，则mamx,my

5、两个向量的数量积

图形表示：

字母表示：ababcosa,b

坐标表示：记，，则

a(x1,y1)b(x2,y2)abx1x2y1y2

注意：

1、向量b与非．零．向．量．a共线的充要条件是有且只有一个实数，使得ba.

2、设，，

ax1,y1,bx2,y2,a∥bx1y2x2y10

a⊥bab0x1x2y2y10.

xxyy

3、两个向量a，b的夹角公式：cos1212.

2222

x1y1x2y2

常用技巧方法：

1、向量在几何中的应用

①线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件

a//bab(b0)x1,y1x2,y2

②垂直问题，常用垂直的充要条件

abab0x1x2y1y20

abx1x2y1y2

③求夹角问题，利用cos

|a||b|2222

x1y1x2y2

④求线段的长度，可以利用2或22

aaP1P2x2x1y2y1

2、极化恒等式

向量方法证明:平行四边形的对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.

证明：不妨说ABa,ADb则ACab，DBab

22222

ACACaba2abb（1）

22222

DBDBaba2abb（2）

222222

（1）（2）两式相加得：ACDB2ab2ABAD

结论：定理：平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.

122

将上面（1）（2）两式相减，ababab极化恒等式

4

122

即：abACDB（平行四边形模式）

4

A

BMC

在三角形ABC中（M为BC的中点），恒等式：

22

因为BC2BM，所以ABACAMBM（三角形模式）

极化恒等式的作用主要在于，它可以将两个向量的数量积转化为这两个向量的“和向量”与“差向量”，

因此，当两个向量的“和向量”或“差向量”为定向量时，常常可以考虑利用极化恒等式进行转化.

常见的解决的题型:有中点或能构造中点的积的向量题。

易错避坑提效：

1.忽视平面向量基本定理的使用条件

平面内所有向量的一组基底必须是两个不共线的向量，且不能含有零向量.

2.对向量数量积的定义理解不深刻导致出错

（1）解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，一定要注意向量的夹角与已知角之间的关系是互

补还是相等．（2）向量a,b的数量积ab与代数中a，b的乘积写法不同，不能漏掉其中的“・”．

题型一平面向量共线问题

【例1】（2025·北京海淀·二模）已知向量a1,2,bx,1．若a与b共线，则x（）

11

A．B．2C．D．2

22

【变式1-1】（2023·北京·三模）已知向量a1,2b3,x，a与ab共线，则ab=（）

A．6B．20C．25D．5

【变式1-2】（2025·北京·二模）设平面向量a与b不共线，k,sR，则“akb与sa2b共线”是“sk2”

的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【变式1-3】（2023·北京门头沟·一模）已知非零向量a，b，则“a与b共线”是“|ab|ab”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．即不充分也不必要条件

题型二平面向量数量积问题

【例2】（2025·北京昌平·二模）已知向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的

边长为1，则ab；2abc．

【变式2-1】（2023·北京朝阳·一模）如图，圆E为ABC的外接圆，AB4，AC6，D为边BC的中点，

则ADAE（）

A．26B．13C．10D．5

【变式2-2】（2023·北京·模拟预测）已知O是ABC的外心，外接圆半径为2，且满足2AOABAC，

3

若BA在BC上的投影向量为BC，则AOBC（）

4

A．4B．-2C．0D．2

【变式2-3】（2023·北京通州·三模）已知等边三角形ABC的边长为2，⊙A的半径为1，PQ为⊙A的任意

一条直径，则BPCQAPCB=.

题型三平面向量垂直、模、夹角问题

【例3】（2025·北京大兴·三模）已知平面向量a1,2，b2,m，若abab，则实数m（）

A．1B．1C．1或1D．4

【变式3-1】（2025·北京·三模）已知单位向量a,b满足ab1，则a2b的模为.

【变式3-2】（2025·北京门头沟·一模）已知向量a，b满足a5，b3,4，且a，b的夹角为，则ab

3

（）

A．52B．53C．5D．10

2

【变式3-3】（2025·北京丰台·二模）已知向量a,b满足a1,b2，且aab，则a与b的夹角为（）

ππ2π5π

A．B．C．D．

6336

题型四平面向量投影向量问题

1

【例4】（2024·北京·模拟预测）已知向量a1,3，a在b上的投影向量为b，ab7，则

2

b.

【变式4-1】（2024·黑龙江·二模）已知a5，b1,2，a在b上的投影向量为m2,4，则向量a与

b夹角余弦值为（）

25525

A．B．C．D．

5555

【变式4-2】（2023·北京·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，单位圆上三点A，B，C满足：A点坐标为

1

1,0并且ABBC，OB在OA上的投影向量为,0，则OAOC．

3

【变式4-3】（25-26高三上·北京顺义·月考）在平面直角坐标xOy中，已知三点A(1,1),B(m,3),C(3,n)，若

向量OB,OC在OA上的投影向量相同，则mn的值为（）

A．-3B．0C．3D．6

题型五利用向量解决平面几何最值问题

【例5】（2025·北京西城·模拟预测）在Rt△ABC中，ACBC4，D为AB的中点，P为线段CD上的一

个动点，则(PAPB)PC的最小值为．

2

【变式5-1】（2025·北京海淀·三模）已知ABC中，AB4，sinC，则ABAC的取值范围是（）

3

A．20,4B．10,2C．2,10D．4,20

【变式5-2】（2025·北京海淀·三模）已知ABC为等腰直角三角形，C为直角，直角边长为2，点P在

三角形所在平面上，向量AP为单位向量，点D满足CDDP，则BCBD的最大值为（）

A．4B．32C．5D．6

【变式5-3】（2024·北京·三模）已知点N在边长为2的正八边形A1,A2,,A8的边上，点M在边A1A2上，

则A1MA1N的取值范围是（）

A．422,22B．4,422

C．22,422D．22,4

（限时训练：15分钟）

22

1．（2025·北京·三模）已知向量a、b满足ab3,5，ab1,1，则ab（）

A．2B．2C．0D．6

2．（2025·北京·三模）设a,b,c是非零平面向量，则“abcbca”是“abc”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

3．（2025·河南·二模）已知向量a1,3，b1,1，c2,4，则bac（）

A．8B．8C．4D．4

4．（2025·北京东城·二模）已知单位向量a,b的夹角为，若ab1，则的取值范围为（）

π2ππ2π2π

A．0,B．0,C．,D．,π

33333

5．（2025·北京房山·一模）已知向量ax,1,b1,2，若ab，则ab（）

35

A．2B．5C．D．10

2

6．（2025·北京·二模）设圆x2y24x6y50的圆心为M，直线yxt与该圆相交于两点A,B．若

MAMB4，则实数t（）

A．1B．3或1C．3D．3或1

7．（2025·北京·模拟预测）如图，OM∥AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区

1

域内（不含边界）运动，且OPOAOB，则的取值范围是（）

3

1122414

A．0,B．,C．,D．,

3333333

8．（2025·北京朝阳·二模）在矩形ABCD中，ABAD,AD2,AB2，点E为线段AD的中点，BE与AC

交于点F．设AFk1e1k2e2k1,k2R，其中e1,e2分别是与AB,AD方向相同的单位向量，则（）

2222

A．k,kB．k,k

13231323

1212

C．k,kD．k1,k2

132333

9．（2025·北京通州·一模）已知平面向量a1,0，b0,1，若c满足bcb0，设c与ca夹角为，

则cos（）

32

A．有最大值为B．有最大值为

5