2026年高考数学复习讲练测查漏补缺03 集合、常用逻辑语、不等式与复数（4大考点+23种题型突破）（解析版）

查漏补缺03集合、复数、不等式与常用逻辑语

（4大考点+查补知识点+23种题型突破）

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漏洞扫描通法锤炼能力强化

考点查缺

漏洞扫描精准补漏：系统扫描知识图谱，精准定位知识薄弱环节，实施靶向弥补，夯实基础

题型突破

考点精研通法锤炼：淬炼以简驭繁的通用解题方法，实现从“会一题”到“通一类”的能力跃迁

融会贯通

实战淬炼能力强化：打破单一知识点壁垒，强化知识联动与思维迁移，完成高阶能力整合

考点01集合

1.集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．

2.元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或表示．

3.集合的表示法：列举法、描述法、图示法．∉

4.常见数集的记法．

非负整数集(或

集合正整数集整数集有理数集实数集

自然数集)

*

符号NN(或N＋)ZQR

1.子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集

合B的子集，记作AB(或BA．

2.真子集：如果集合A⊆⊆B，但⊇存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)．

3.相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B．

4.空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．

表示

集合语言图形语言记法

运算

并集{x|x∈A，或x∈B}A∪B

交集{x|x∈A，且x∈B}A∩B

补集∈，且

{x|xUx∉A}∁UA

1．元素与集合关系的判断

（1）元素与集合的关系：

①一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．

②元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属

于关系，符号表示如：a∈A或a∉A．

（2）集合中元素的特征：确定性、互异性、无序性

2．解决集合含义问题的关键有三点．

（1）确定构成集合的元素．

（2）确定元素的限制条件．

（3）根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．

1．（25-26高三上·云南昆明·月考）已知a1,0,a22，则a的值为（）

A．1或2B．0或2C．1或0D．2

【答案】B

【分析】根据元素与集合、集合元素的互异性可得出关于实数a的等式或不等式，即可解得实数a的值.

a1a0aa22

【详解】因为a1,0,a22，则a220或a220或a220，

222

a21a21a21

解得a0或a2.

故选：B.

3x

2．（2026·重庆·一模）已知集合AxZ0，则下列集合与A相等的是（）

3x

A．3，2，1，0，1，2B．3，2，1，0，1，2，3

C．3，2，1，1，2，3D．2，1，0，1，2

【答案】A

【分析】根据分式的性质，结合一元二次不等式的解法、集合相等的定义进行求解即可.

3xx3x3x30

【详解】由003x3，

3xx3x30

所以A={-3,-2,-1,0,1,2}.

故选：A

3．（25-26高三上·山东济南·期中）下列集合中，与集合1,2表示同一个集合的是（）

A．1,2,2B．xx23x20

C．xx1且x2D．1,2

【答案】B

【分析】结合相等集合的定义、集合元素特征逐一判断即可

【详解】对于A，由集合元素的互异性知，集合1,2,2表示错误，A错误；

对于B，x23x20解得x1,x2，此时与集合1,2表示同一个集合，B正确；

对于C，11,2,1xx1且x2，故两集合不表示同一集合，C错误；

对于D，集合1,2表示点集，只有一个元素，D错误.

故选：B.

4．（2026高三上·广东湛江·专题练习）已知集合A{xR|xa0}，若3A且1A，则a的取值范围为（）

A．a3B．a1C．1a3D．1a3

【答案】D

【分析】根据元素与集合的关系求得a的取值范围.

【详解】因为A{xR|xa0}{xR|xa}，

又3A且1A，则1a3.

故选：D

∣*

5．（2026·新疆·二模）已知等差数列an的公差为π，集合ScosannN，若Sa,b，则ab的值为

（）

1

A．1B．0C．D．1

2

【答案】B

【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期性，判断集合S只有两个元素，化

简后计算即得.

【详解】已知等差数列an的公差为π，则an2an2π，

所以cosan2cosan，则Scosa1,cosa1πcosa1,cosa1a,b，

即abcosa1cosa10.

故选：B.

1.如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B；如果集合A

是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即AB．

2.如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么

我们就说集合A等于集合B，即A＝B．

3.空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．

1．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知集合A{1,0,2}，B{a|a21}，则（）

A．0AB．0B

C．1BD．BA

【答案】C

【分析】先计算集合B，根据元素与集合、集合与集合之间的关系判断各个选项.

【详解】因为a21，所以a1，可知B1,1

对于A，0是集合不是集合A的元素，故0A错误，A错误；

对于B，0B，B错误；

对于C，1B，C正确；

对于D，因为1B,1A，不满足BA，D错误；

故选：C.

2．（2025·贵州遵义·模拟预测）设集合Axx2k1,kZ，Bxxk2,kZ，则（）

A．ABB．BAC．ABD．AB

【答案】A

【分析】集合A为所有奇数组成的集合，集合B为所有整数组成的集合，故A是B的子集.

【详解】Axx2k1,kZ3,1,1,3,5，

Bxxk2,kZ3,2,1,0,1,2，

集合A为所有奇数组成的集合，集合B为所有整数组成的集合，故A是B的子集.

故选：A

3．（2026·广东·模拟预测）已知集合A{x∣x不为正有理数},B{x∣x为无理数}，则（）

A．ABB．BA

C．ABD．AB

【答案】B

【分析】首先理解集合A中的元素，从而可判定集合A,B的关系.

【详解】由条件得A痧QQQ，即集合由无理数、负有理数和构成，

RRQA0

Bð

所以RQ是集合A的真子集.

故选：B.

1n1

4．（2026高三·上海·专题练习）已知集合M{x|xm,mZ}，N{x|x,nZ}，

623

p1

P{x|x,pZ}，则M、N、P的关系满足（）

26

A．MNPB．MNP

C．MNPD．NPM

【答案】A

【分析】根据给定条件，将集合M,N,P中元素化为统一形式，进而判断各选项.

n13n23(n1)1

【详解】依题意，N{x|x,nZ}{x|x,nZ}{x|x,nZ}，

2366

p13p1

P{x|x,pZ}{x|x,pZ}，

266

3n2

所以对任意xN，存在nZ使x，

6

3(p1)23p1

令pn1，则pZ且xP，所以NP.

66

3p1

同理，对任意xP，存在pZ使x，

6

3(n1)13n2

令np1，则nZ且xN，所以PN，综上，NP.

66

132m1

M{x|xm,mZ}{x|x,mZ}，则MP，

66

所以M,N,P的关系满足MNP.

故选：A

已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足

的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．特别要注意考虑空集的情况.

1．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知集合Mx|mxm2，Nx|0x6，若MN，则实数

m的取值范围为（）

A．1,2B．2,4C．0,6D．0,4

【答案】D

【分析】根据集合的包含关系列式求值即可.

m0

【详解】因为MN，所以0m4.

m26

故选：D

2

2．（2026·云南·模拟预测）设集合A1,m,B1,1,m，若A是B的子集，则实数m（）

A．-1B．0C．1D．1

【答案】B

【分析】由AB，得到m2m或m1，再结合集合元素互异性即可求解.

【详解】因为AB，1A，mA，B1,1,m2，

所以mm2或m1，且m1，

解得m1或0，

当m1时，m21，不符合集合中元素的互异性，

当m0时，A1,0，B1,1,0，AB，满足题意，

故选：B.

3．（2026·上海·高考真题）已知集合A2,4，B2,3,m，若AB，则m.

【答案】4

【分析】利用子集的定义求解.

【详解】A2,4，B2,3,m，AB，

集合A中所有的元素都在集合B中，

集合A中的元素4在集合B中，

m4.

故答案为：4.

4．（25-26高三上·安徽·月考）已知集合Axx2ax2a20，Bt1，若AB，则at（）

A．－2B．－1C．0D．1

【答案】B

【分析】根据集合相等可知关于x的方程x2ax2a20只有一个实数根，从而可得a,t的值，即可得所求.

【详解】因为集合Axx2ax2a20，Bt1，若AB，

22

所以关于x的方程x2ax2a20只有一个实数根，则Δa42a0，故a0，

所以Axx2ax2a20xx200，

则Bt1A0，故t10，所以t1，

故at1.

故选：B.

5．（2026高三·全国·专题练习）已知集合A4,x,2y,B2,x2,1y，若AB，则实数x的取值集合为

（）

A．1,0,2B．2,2

C．1,0,2D．2,1,2

【答案】B

【知识点】根据两个集合相等求参数

【分析】根据AB，可得2A，再分x2和2y2两种情况讨论即可.

【详解】因为AB，所以2A，

1

当x2时，则x24，所以2y1y，得y，

3

2

此时AB4,2,；

3

当2y2时，则y1，所以1y2，所以2A，所以x2，则x24，

此时AB4,2,2，

综上所述，实数x的取值集合为2,2.

故选：B.

交、并、补集的混合运算

（1）集合交换律：A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．

（2）集合结合律：（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．

（3）集合分配律：A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．

（4）集合的摩根律：Cu（A∩B）＝CuA∪CuB，Cu（A∪B）＝CuA∩CuB．

（5）集合吸收律：A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．

（6）集合求补律：A∪CuA＝U，A∩CuA＝∅．

1．（2026高三·北京·专题练习）已知集合AxZ1x4,Bxx23x40，则AB（）

A．x1x4B．x1x4C．1,2,3D．1,2,3,4

【答案】C

【分析】先化简集合，再根据交集的概念运算.

【详解】由AxZ1x41,2,3,Bxx23x40x1x4，

则AB1,2,3，

故选：C

x2ð

2．（25-26高三上·河南南阳·期末）已知集合Ax0，Bxx41，则ARB（）

4x

A．x2x3B．x3x4

C．x3x4D．xx4或x5

【答案】C

【分析】解分式不等式化简集合A，解绝对值不等式化简集合B，然后利用补集运算和交集运算的概念求解

即可.

x2

【详解】由0得x24x0，解得2x4，即Ax2x4；

4x

ð

由x41得x3或x5，则Bxx3或x5，所以RBx3x5，

ð

所以ARBx3x4.

故选：C.

2ð

3．（25-26高三上·河北衡水·期末）已知集合MxZx7，N1,0,2，则MN（）

A．2,1,2B．{-2,0,1}C．2,1D．1

【答案】C

【分析】化简集合M,N，根据集合的补集运算求解.

【详解】因为MxZx272,1,0,1,2，N1,0,2，

ð

所以MN2,1.

故选：C

4．（2026高三·北京·专题练习）已知集合Ax∣1x1,B{x∣0x2}，则AB（）

A．x∣1x1B．{x∣0x1}C．{x∣0x2}D．x∣1x2

【答案】D

【分析】应用并集的定义计算求解.

【详解】集合Ax∣1x1,B{x∣0x2}，则ABx∣1x2.

故选：D.

∣ð

5．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知集合UAB{xN0x10},AUB1,3,5,7，则集合B

（）

A．2,4,6,8B．2,4,6,8,9

C．0,2,4,6,8,9D．0,2,4,6,9

【答案】C

【分析】根据题设结合并集、补集、交集的定义分析求解即可.

【详解】由UAB{xN∣0x10}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，

ð

而AUB1,3,5,7，则B中不含1,3,5,7，

ðð

若0B，则0A，0UB，此时0AUB，不满足题意，故0B，

同理可得2,4,6,8,9B，则B0,2,4,6,8,9.

故选：C.

痧

6．（2026·重庆九龙坡·一模）已知集合U1,2,3,4,5,6，A1,2,3，B3,4，则UAUB（）

A．{5,6}B．1,2,4,5,6

C．1,2,5,6D．3,4,5,6

【答案】A

【分析】根据补集和交集的运算求解.

ð

【详解】U1,2,3,4,5,6，A1,2,3，UA4,5,6，

ð痧

B3,4，UB1,2,5,6，UAUB5,6，故选项A正确.

故选：A.

7．（2026·四川宜宾·一模）已知集合Ax|x4n2,n10,nN*，集合Bx|x6n4,n10,nN*，

则集合AB的元素之和等于.

【答案】80

【分析】根据题意利用列举法表示集合A,B，进而求集合AB的元素之和.

【详解】因为集合Ax|x4n2,n10,nN*2,6,10,14,18,22,26,30,34,38，

集合Bx|x6n4,n10,nN*2,8,14,20,26,32,38,44,50,56，

可得AB2,14,26,38，所以集合AB的元素之和为214263880.

故答案为：80.

8．（2026·四川遂宁·一模）已知集合A1,2,3,4，B1,3,4,5,7，C2,6,8，且D(AB)C，则集

合D中元素个数有（）

A．3个B．4个C．5个D．6个

【答案】D

【分析】根据交集和并集的定义求解即可.

【详解】AB1,3,4，则ABC1,2,3,4,6,8，

所以集合D中元素个数有6个.

故选：D.

利用集合的运算求参数的值(范围)：

（1）对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示．

（2）如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．

1．（2025·内蒙古赤峰·模拟预测）已知集合Ax21,x,B1,2,3，若AB1，则x（）

A．0B．1C．2D．0或1

【答案】A

【分析】由AB1知集合A中必有元素1，分两种情况讨论即可．

【详解】∵AB1，∴集合A中必有元素1．

①当x211时，x0．

集合A{1,0}，AB1，满足条件．

②当x1时：x211212，集合A{2,1}，那么AB{1,2}，不满足AB{1}，∴x1舍去．

综上，x0，

故选：A．

ð

2．（25-26高三上·天津红桥·期末）已知全集U{2,4,6,8,10}，集合A{2,a,8}，UA{4,10}，则a（）

A．2B．4C．6D．10

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用补集的定义求解.

ð

【详解】全集U{2,4,6,8,10}，由UA{4,10}，得A{2,6,8}，而A{2,a,8}，

所以a6.

故选：C

3．（25-26高三上·福建龙岩·月考）已知集合A{2,a2},B{1,2,a2}，若ABB，则实数a的值为（）

A．1B．0C．2D．2或1

【答案】C

【分析】由题意AB，进而有a21或a2a2求参数，注意验证元素的互异性.

【详解】由ABB，即AB，则a21或a2a2，可得a1或a2，

当a1，在集合B中a21，不满足集合元素的互异性，

当a2，则A{2,4},B{1,2,4}，满足题设.

故选：C

4

4．（2026·重庆·模拟预测）集合Ax10,B{x∣lnmx2025},AB{x∣1xn}，则

x

mn.

【答案】4e

【分析】先化简集合A，再根据交集结果确定m和n即可得出结果.

44

【详解】因为集合Ax10，解不等式10，可得：0x4.

xx

所以集合Ax0x4

又因为B{x∣lnmx2025},AB{x∣1xn}，

所以n4，且lnm1，me，mn4e，

故答案为：4e.

5．（2026·河北沧州·一模）设全集UR，集合Pxx22x30,Qxx22t1xt2t0，若

ð

UPQQ，则（）

A．3t0B．1t2C．2t2D．1t3

【答案】B

ð

【分析】先由一元二次不等式的解法结合补集的运算求出UP,Q，再由集合间的包含关系列不等式组可得.

ð2

【详解】由题得UPxx2x30x1x3,Qxtxt1，

t1

ðð

因为UPQQ，所以UPQ，所以，解得1t2．

t13

故选：B．

6．（2026·湖北荆州·一模）集合A1,2,3，Bxxa，若ABA，则实数a的取值范围是（）

A．,1B．,1

C．3,D．3,

【答案】C

【分析】分析可知AB，结合包含关系即可得结果.

【详解】因为ABA，则AB，

又集合A1,2,3，Bxxa，可得a3，

所以实数a的取值范围是3,.

故选：C.

7．（25-26高三上·贵州·月考）已知集合Axx1或x3，Bxaxa4.

ð

(1)若a2，求AB，RAB；

(2)若ABR，求a的取值范围.

【答案】ABxx1或，ðABxx3或

(1)x2Rx6

(2)1a1

【分析】（1）利用交集、并集与补集定义计算即可得；

a1

（2）由ABR，可得，解出即可得.

a43

【详解】（1）若a2，则Bx2x6，则ABxx1或x2，

ABx3x6，则ðABxx3或；

Rx6

a1

（2）由ABR，则，解得1a1.

a43

8．（2026高三·全国·专题练习）全集UR，集合Pxxm,Qx|x2,Ax|x26x50，若

ð

UPQA，求实数m的取值范围．

【答案】,5

痧痧痧

【分析】解法一：由德・摩根定律知UPQAUPUQUA，先分别求出：UP,UQ,UA，

痧

再计算交集UPUQUA，从而可确定参数范围；

解法二：直接根据题意可得PQAR，从而先计算QA,5，再计算,5m,R，从

而确定参数范围.

【详解】解法一：

∵Pxxm,Qx|x2,Ax|x26x501,5，

痧

∴UP,m,UQ2,,UA,15,，

痧

∵UQUA5,，

痧痧痧

∴UPUQUAUPUQUAm,5,

痧痧

因为要使得UPQAUPUQUA，则满足,m5,，

即只需m5；

解法二：

∵Pxxm,Qx|x2,Ax|x26x501,5，

∴QA,5，

ð

因为要使得UPQA，所以满足PQAR，则,5m,R，

即只需m5；

故答案为：,5.

已知集合A有n(n1)个元素，则它有2n个子集，它有2n1个真子集，它有2n1个非空子集，它有2n2

非空真子集。

1．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知集合A1,3，则集合A的真子集有（）

A．3个B．4个C．5个D．6个

【答案】A

【分析】根据集合A的元素个数计算真子集的个数并列出所有真子集.

【详解】集合A{1,3}，包含2个元素，

故真子集个数为2213.

故选：A.

2．（25-26高三上·贵州·月考）集合AxZ∣x26x50的真子集个数为（）

A．2B．3C．7D．15

【答案】C

【分析】解一元二次不等式求解集合A，然后利用真子集个数结论求解即可.

【详解】不等式x26x50，即(x1)(x5)0，所以1x5，

由xZ知A={2,3,4}，故其真子集个数为2317.

故选：C.

3．（2026高三上·山西临汾·专题练习）已知集合M{1,2,3,4,5}，则集合P{x|xM且2xM}的子集的

个数为（）

A．16B．8C．4D．2

【答案】B

【分析】结合题意求出集合P，再求解子集个数即可.

【详解】因为M{1,2,3,4,5}，且集合P{x|xM且2xM}，

所以P{3,4,5}，则集合P有238个子集，故B正确.

故选：B

4．（25-26高三上·广东深圳·期末）已知集合Ax|ylgx2,Bx|x14,xZ，则AB的非空

子集个数为（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【分析】解不等式化简集合，求交集进而可得结果.

【详解】因为集合Ax|ylgx2x|x20x|x2，

集合Bx|x14,xZx|3x5,xZ2,1,0,1,2,3,4，

则AB3,4，有2个元素，

所以AB的非空子集个数为2213.

故选：C.

5．（2026·河北邢台·一模）已知集合AxZ|x22x30,B{x|0x4}，则AB的子集个数为（）

A．4B．7C．8D．32

【答案】C

【分析】解一元二次不等式即可化简集合A，根据集合交集的概念计算即可得AB，从而可得子集个数.

【详解】解不等式x22x30可得1x3，所以A1,0,1,2,3，

因为B{x|0x4}，所以AB1,2,3，

故AB的子集为,1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3，故子集个数为8.

故选：C.

6．（25-26高三上·江苏·月考）已知集合Ma,b,c,d,e，若集合N1，N2，，Nk是集合M的k个不同子

集，且N1N2NkM，则k的最大值是（）

A．15B．16C．31D．32

【答案】B

【分析】根据题目条件结合集合的子集与并集运算判断选项.

【详解】集合M共有2532个子集，

条件N1N2NkM等价于并集缺少M中至少一个元素，

设缺少元素a，则所有子集Ni均不含a，即Nib,c,d,e，

集合b,c,d,e的子集个数为2416，且这些子集的并集必不含a，满足条件，

假设k17，因为要满足这些子集的并集不等于M，必须至少有一个M中的元素不在任何一个子集中，

否则并集就会等于M，设这个缺失的元素是a，那么所有这k个子集都不含a，即每个子集都是b,c,d,e的

子集，

而b,c,d,e只有2416个不同的子集，我们却要从中取出至少17个不同的子集，

这是不可能的，因此假设不成立，k不可能大于16，因此k的最大值为16.

故选：B

7．（2025高三上·安徽合肥·专题练习）如图所示的Venn图中，A,B是非空集合，定义集合AB为阴影部分

表示的集合．若AxNx3,BxZx2,AB的子集个数为（）

A．7B．8C．15D．16

【答案】B

【分析】先求出集合A,B的元素，根据Venn图求AB，进而求得子集个数.

【详解】AxNx30,1,2,3，BxZx2xZ2x22,1,0,1,2，

则AB2,1,0,1,2,3，AB0,1,2，

ð3

所以ABAB(AB)2,1,3，其子集个数为28个.

故选：B.

m

8．（2025高三上·江苏·专题练习）已知1m10,mN*，集合MxN*x,nN*有8个子集，则m

n

的一个值为（）

A．4B．5C．6D．7

【答案】A

【分析】根据已知条件得出集合M中元素的个数，从而得出m的因数个数，即可求出m的值．

m

【详解】由题意得集合MxNx,nN1m10,mN中有8个子集，

n

又238，集合M中有三个元素，即m有三个正因数，

而在正整数中，恰有3个正因数的数是质数的平方，

设p为质数，则mp2，此时正因数为1,p,p2，

1m10,mN，p210，则p2或3，

m的值可以为4或9，故A正确．

故选：A．

1.（1）解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义．

（2）结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．

2．新定义问题．

（1）看清集合中的元素．

（2）对集合进行化简使问题变得简单明了．

（3）注意数形结合思想的应用：数轴、坐标系和Venn图．

1．（25-26高三上·山东菏泽·期中）已知集合A1,2,3，BxNx23x40，若ABxxA且

xB，则AB（）

A．0,4B．1,4C．1,0D．1,0,4

【答案】A

【分析】求出集合B，结合题中定义可得结合AB.

【详解】因为集合A1,2,3，BxNx23x40xN1x40,1,2,3,4，

所以ABxxA且xB0,4.

故选：A.

2．（25-26高三上·北京·月考）已知函数fx，集合D是fx和ffx定义域的交集，集合

A{xD|f(x)x}，集合B{xD|f(f(x))x}，

①如果fx是单调递增的函数，则AB；

②如果A,B都是有限集合，两者元素个数之差一定是偶数；

③存在函数fx，使得A是空集，B不是空集；

④存在函数fx，使得A不是空集，B是空集

以上4个选项中，正确的是:.

【答案】①②③

【分析】根据题意，得到f(f(x))f(x)x，得出AB，结合选项，利用题设中的新定义，逐项分析判断，

即可求解.

【详解】由A{xD|f(x)x},B{xD|f(f(x))x}，

则若xA，则fxx，可得ffxfxx，故AB.

对于①，假设xB，若fxx，因为fx为单调递增函数，所以f(f(x))f(x)x，

与f(f(x))x矛盾；

若fxx，可得f(f(x))f(x)x，与f(f(x))x矛盾，

所以只能是f(x)x，即xA，所以BA，所以AB，所以①正确；

对于②，由AB，设BAC，对于集合C，令yfx，则yx，且fyx，

所以yC且yx，即集合C中元素成对出现，个数为偶数，

所以两者元素个数之差一定是偶数，所以②正确；

对于③，取定义D{1,2}，定义f12,f21，

则f(f(1))1,f(f(2))2，所以BD，

又因为fxx对任意xD，所以A，此时满足题意，所以③正确；

对于④，对任意xA，有xD且fxx，所以f(f(x))f(x)x，

即xB，所以AB恒成立，

若A，则AB，所以不存在这样的函数符合条件，所以④错误.

故答案为：①②③.

x2x3x

3．（25-26高三上·上海·期中）已知集合MxN|1x16，Ax,x,xM，若123Z，

1233

则满足条件的集合A个数为（）

A．408B．409C．410D．411

【答案】C

【知识点】组合数的计算、集合新定义、判断集合的子集（真子集）的个数

【分析】由题意得x1,x2除以3的余数相同，按照除以3所得余数进行分类讨论，结合组合数求解即可.

x2x3x

【详解】MxN|1x16，Ax,x,xM且123Z

1233

x2x3x

123Z,x2x能被3整除，∴x,x除以3的余数相同，

31212

Mx|1x16,xN{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16},

集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16}的元素中，

能被3整除的整数有3,6,9,12,15，

被3除余1的整数有1,4,7,10,13,16，

被3除余2的整数有2,5,8,11,14，

当x1,x2都被3整除时，则x1,x2,x3从被3整除的5个数中选取3个，

或x1,x2可从被3整除的5个数中选取2个，x3从其余11个数中选择，

32

∴A的个数为C5C511120，

当x1,x2被3除余1时，则x1,x2,x3从被3除余1的6个数中选取3个，

或x1,x2可从被3除余1的6个数中选取2个，x3从其余10个数中选择，

32

∴A的个数为C6C610170，

当x1,x2被3除余2时，则x1,x2,x3从被3除余2的5个数中选取3个，或x1,x2可从被3除余2的5个数中

选取2个，x3从其余11个数中选择，

32

∴A的个数为C5C511120，

∴满足条件的集合A共有120170120410个．

故选：C.

4．（2026高三·全国·专题练习）（多选）当一个非空数集G满足“如果a、bG，则ab、ab、abG，

a

且b0时，G”时，我们称G是一个数域．以下四个关于数域的命题中真命题的是（）

b

A．0是任何数域中的元素；B．若数域G中有非零元素，则2022G；

C．集合Px∣x2k,kZ是一个数域；D．有理数集Q是一个数域．

【答案】ABD

【知识点】集合新定义、判断元素与集合的关系

【分析】依据数域的定义逐项分析即可.

【详解】由题可设a是数域G中的一个元素，则由数域定义可知0aaG，即0是任何数域中的元素，

A正确；

a

若域G中有非零元素a，则1G，所以112G，123G，…，120212022G，B正确；

a

a1

记a2,b4,则a,bP，但P，所以集合Px∣x2k,kZ不是一个数域，故C错误；

b2

因为任意两个有理数的和差积仍是有理数，当分母不为0时，两个有理数的商仍为有理数，所以有理数集Q

是一个数域，故D正确．

故选：ABD

考点02常用逻辑语

（1）一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．判断为真的语句是真

命题，判断为假的语句是假命题。

（2）当命题表示为“若p，则q”时，p是命题的条件，q是命题的结论。

若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件

p是q的充分不必要条件p⇒q且qp

p是q的必要不充分条件pq且q⇒⇏p

p是q的充要条件⇏p⇔q

p是q的既不充分也不必要条件pq且qp

⇏⇏

（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”

表示．

（2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”

表示．

名称全称量词命题存在量词命题

结构对M中任意一个x，p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立

简记∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)

否定∃x∈M，﹁p(x)∀x∈M，﹁p(x)

一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．判断为真的语句是真

命题，判断为假的语句是假命题。

1．（2026高三·全国·专题练习）下列命题为假命题的是（）

A．有些实数是无限不循环小数

B．每一个末位是0的整数都是5的倍数

C．至少有一个整数n，使n21是4的倍数

D．对任意负数x，x2的平方是正数

【答案】C

【分析】对于A，根据实数的定义分析判断即可；对于B，根据5的倍数的特点判断即可；对于C，利用反

证法判断即可；对于D，根据负数的平方的特点判断即可.

【详解】对于A，比如π是实数，而且是无限不循环小数，故A正确；

对于B，每一个末位是0的整数都是5的倍数，故B正确；

对于C，假设有一个整数n，使n21是4的倍数，则n21为偶数，

所以n2为奇数，可设n2k1,kZ，

2

则n212k114k24k2，

所以n21除以4余2，则n21不是4的倍数，与n21是4的倍数矛盾，

所以假设不成立，则不存在整数n，使n21是4的倍数，故C错误；

对于D，对任意负数x，x2的平方是正数，故D正确.

故选：C

2．（24-25高三上·江苏盐城·月考）已知命题p:xR,x2x10，命题q:x0，x2x3，则（）

A．p和q都是真命题B．p和q都是真命题

C．p和q都是真命题D．p和q都是真命题

【答案】B

【分析】本题先判断命题p和命题q的真假，再判断p、q的真假，从而得出结果.

2

213

【详解】对于命题p，因为xx1x0，所以p是真命题；

24

对于命题q，由x2x3可得x0或x1，所以q为假命题，则q是真命题；

故选：B.

3．（25-26高三上·广东肇庆·月考）（多选）以下四个命题中，是真命题的有（）

A．∀x∈R，x2－x＋1>0

B．“x2”是“2x4”的充分不必要条件

C．若命题p：xR，x2x10，则p的否定为：xR，x2x10

D．若ab0，则a2abb2

【答案】AC

【分析】A配方即可；B根据集合的包含关系判断；C根据特称命题的否定的定义判断；D作差法判断.

13

【详解】对于选项A：x2x1(x)20，故A选项为真命题；

24

对于选项B：因为x|2x4是x|x2的真子集，

所以“x2”是“2x4”的必要不充分条件，故B选项为假命题；

对于C：由特称命题的否定可知，C选项为真命题；

对于选项D：若ab0，则aab0，即a2ab，故D选项为假