2026年高考数学复习讲练测查漏补缺02 直线与圆的方程（8大考点+30种题型突破）（原卷版）

查漏补缺02直线与圆的方程

（8大考点+查补知识点+30种题型突破）

内容导航

漏洞扫描通法锤炼能力强化

考点查缺

漏洞扫描精准补漏：系统扫描知识图谱，精准定位知识薄弱环节，实施靶向弥补，夯实基础

题型突破

考点精研通法锤炼：淬炼以简驭繁的通用解题方法，实现从“会一题”到“通一类”的能力跃迁

融会贯通

实战淬炼能力强化：打破单一知识点壁垒，强化知识联动与思维迁移，完成高阶能力整合

考点01直线的倾斜角与斜率

当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角叫做直线l的

定义倾斜角。

规定当直线l与x轴平行或重合时，规定直线l的倾斜角为0。

记法

图示

范围0180

（1）表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度；

作用（2）确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二

者缺一不可。

（1）定义与表示

90一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率

定义（为倾斜角）

90直线斜率不存在

记法常用小写字母k表示，即ktan

范围R

作用用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度

（2）由两点坐标求斜率

yy

21

如果直线经过两点P1x1,y1、P2x2,y2，且x1x2，则直线的斜率公式为k。

x2x1

注：

1.运用公式的前提是x1x2，即直线不与x轴垂直。

2.斜率公式与P1，P2在直线上的位置无关,在直线上任取两点,得到的斜率是相同的。

yy

3.需注意公式中横、纵坐标之差的顺序,也可以写成k12，即下标的顺序一致。

x1x2

（3）由方向向量求斜率

y

k0

如果直线的方向向量为ax0,y0，且x00，则直线的斜率公式为。

x0

直线的斜率k与倾斜角α之间的关系

α0°0°<α<90°90°90°<α<180°

k0k>0不存在k<0

牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．

1.正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的取值范围；

yy

12

2.熟记斜率公式k，根据该公式求出经过两点的直线斜率，当x1x2,y1y2时，直线的斜率不存

x1x2

在，倾斜角为90；

3.求斜率可用ktan(90)，其中为倾斜角，由此可见倾斜角与斜率相互关联，不可分割．

4.直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，

ππ

0，，π

要分2与2两种情况讨论．

1．（25-26高三上·海南三亚·期中）下列命题：

①任何一条直线都有唯一的倾斜角：

②任何一条直线都有唯一的斜率：

③倾斜角为90°的直线不存在：

④倾斜角为0°的直线只有一条．

其中正确的有（）

A．0个B．1个C．2个D．4个

2．（2025·上海嘉定·一模）已知直线l经过点1,1、2,2，则l的倾斜角为.

π

3．（25-26高三上·河北邢台·月考）已知直线ax3y20的倾斜角为，则a．

3

4．（25-26高三上·上海宝山·期末）已知第一象限的点m,n和6,2经过直线l，若直线l的倾斜角为135，

14

则的最小值为．

mn

π

5．（25-26高三·广东惠州·月考）直线l经过两点A1,0，B2,6，将l绕其与x轴的交点逆时针旋转得

114

到直线l2，则l2的斜率为（）

11

A．B．3C．-3D．

33

6．（25-26高三上·河北保定·期中）如图，设直线l1，l2，l3，l4的斜率分别为k1，k2，k3，k4，则下列选项

中正确的是（）

A．k4k3k2k1B．k3k4k2k1

C．k3k4k1k2D．k4k3k1k2

设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(x3,y3)，若kABkAC或kACkBC或kABkBC，则A，B，C三点一定共线.

1．（2025春•秦都区校级期中）已知A(1,2)，B(m,4)，C(3,6)，且A，B，C三点共线，则m．

2.（25-26高三上·河南周口·月考）已知a0，平面内三点A(0,a),B(1,a2),C(3,2a3)共线，则a．

11

3．（2025高三上·江苏·专题练习）若三点A3,3，Ba,0，C0,b(其中ab0)共线，则.

ab

4．（2025秋•杨浦区校级期中）若A(1,2)、B(3,4)、C(5,m)三点不能构成三角形，则m．

一般地，若已知Ax1,y1,Bx2,y2,Px0,y0，过P点作垂直于x轴的直线l，过P点的任一直线l的斜

率为k，则当l与线段AB不相交时，k夹在kPA与kPB之间；当l与线段AB相交时，k在kPA与kPB的两边．

1．（2025高三·全国·专题练习）已知点A2,0，B0,4，若过P6,8的直线l与线段AB相交，则实数k

的取值范围为（）

A．k1B．k2C．k2或k1D．1k2

2．（25-26高三上·贵州铜仁·月考）过点P1,1作直线l，若直线l与连接A2,3，B3,1两点的线段总有

交点，则直线l的斜率的取值范围为（）

11

A．1,2B．,

22

11

C．1,D．,1,

22

y1

3．（2025高三·全国·专题练习）设A2,3,B1,2，若点Px,y在线段AB上，则的取值范围是．

x

考点02直线方程的五种形式

名称方程适用范围

点斜式y－y0＝k(x－x0)不含直线x＝x0

斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线

y－y1x－x1

两点式＝(x1≠x2，y1≠y2)不含直线x＝x1和直线y＝y1

y2－y1x2－x1

xy

截距式＋＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线

ab

一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用

1．点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在．点斜式不能表示平行

于y轴的直线，即斜率不存在的直线；

2.斜截式的几种特例

b0ykx表示过原点的直线

k0，b0yb表示与x轴平行的直线

k0，b0y0表示x轴

3．斜截式的前提是直线的斜率存在．斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线．

4．斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距．

ykxbkby

5．在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为

yy1xx1

(x1x2,y1y2)

y2y1x2x1

整式形式，从而得到的方程中，包含了或的情况，但此转化

(yy1)(x2x1)(y2y1)(xx1)x1x2y1y2

过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直

x1x2y1y2

接假设两点式的整式形式．

6.截距的概念

①横截距：直线与x轴交点的横坐标。在直线方程中，令y0，解出x的值即可；

②纵截距：直线与y轴交点的横坐标。在直线方程中，令x0，解出y的值即可。

7.截距式方程应用的注意事项

①问题中涉及直线与坐标轴相交，则可考虑截距式方程，用待定系数法确定其系数即可；

②选用截距式方程时，必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直；

8.一般式方程中系数的几何意义：

AC

当B0时，k（斜率），=b（y轴上的截距）

BB

当B0时，则C（x轴上的截距），此时斜率不存在。

=a

A

求直线方程的两种方法

（1）直接法：根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程．

例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点斜式，再由其他条件确定该直线在y轴上的截

距；已知截距或两点，选择截距式或两点式.

（2）待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系

数．但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏.

3

1．（25-26高三上·上海徐汇·月考）直线l的倾斜角为，且sin，若l过点2,0，则直线l的方程

5

为．

2．（2026·四川绵阳·二模）直线l过定点1,2，且以v1,2为其方向向量，则直线l的方程为.

5π

3．（25-26高三上·河北邢台·期中）已知直线l的倾斜角为，且过点(3,1)，则直线l的一般式方程为．

6

4．（2025·上海金山·一模）已知ABC的三个顶点A5,0、B3,3、C0,2，则AC边上的高所在的直线

方程为．

5．（2026高三·全国·专题练习）已知△ABC的三个顶点A8,5，B4,2，C6,3，则经过两边AB和AC

的中点的直线方程为．

6．（2026高三·全国·专题练习）过点0,5，且在两坐标轴上的截距之和为2的直线方程为．

由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），因而可选择

斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说.

1．（2025高三·全国·专题练习）曲线fx2xlnx在点1,f1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面

积为（）

1e

A．B．1C．D．e

22

2．（2017·全国·高考真题）过点P(1,2)且斜率小于0的直线与x轴，y轴围成的封闭图形面积的最小值为（）

A．2B．22C．4D．42

3．（25-26高三上·江苏南通·期末）已知点A4,0,B0,4，直线l:mxy1m0mR.

（1）若l与线段AB有交点，直接写出m的取值范围；

（2）若m0，设l与直线AB及x轴分别交于C,D两点，求ACD面积的最小值.

考点03直线的位置关系

直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一条直线，

l2与l4是同一条直线)的位置关系如下表：

位置关系l1，l2满足的条件l3，l4满足的条件

平行k1＝k2且b1≠b2A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0

重合k1＝k2且b1＝b2A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1＝0

垂直k1·k2＝－1A1A2＋B1B2＝0

相交k1≠k2A1B2－A2B1≠0

1.与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0(m∈R且m≠C)．

2.与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋n＝0(n∈R)．

3.过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋

C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.

判断两条直线位置关系的注意点

（1）斜率不存在的特殊情况．

（2）可直接利用直线方程系数间的关系得出结论．

1．（25-26高三上·河北邢台·月考）已知直线l1:3x3ay50,l2:1ax2y70，则“a1”是“l1//l2”

的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

2．（25-26高三上·辽宁葫芦岛·月考）若直线l1平行于直线x2y0，且垂直于直线l2:mx3y10，则m

（）

33

A．B．C．6D．6

22

3．（25-26高三·全国·假期作业）已知直线l1；a1x2y10，l₂：ax1ay20，设甲：l1l2；

乙：a=2，则甲是乙的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

4．（25-26高三上·云南曲靖·月考）若直线l1：axy30与l2：x2ay10互相垂直，则a（）

A．0B．2C．1D．2

5．（25-26高三上·宁夏银川·月考）已知函数fxlnxax的图象在x1处的切线与直线x3y20垂直，

则a.

与直线AxByC0平行的直线可以设为AxByD0；

与直线AxByC0垂直的直线可以设为BxAyD0．

1．（25-26高三上·福建福州·期末）经过点A3,0，且与直线4x3y20平行的直线的方程为（）

A．4x3y120B．4x3y120

C．3x4y90D．3x4y90

2．（25-26河南驻马店·月考）经过点2,1且与直线x3y20垂直的直线的方程为（）

A．3xy50B．3xy70

C．3xy50D．x3y50

3．（25-26高三上·广东江门·期中）过定点1,2且与直线x3y10平行的直线方程为．

4．（25-26高二上·天津·月考）求满足下列条件的直线的方程：

(1)经过两条直线2xy80和x2y10的交点，且平行于直线4x3y70；

(2)垂直于直线3x4y50，且到点P1,1的距离为1.

过直线与的交点的直线系方程为

l1：A1xB1yC10l2：A2xB2yC20

，但不包括.

A1xB1yC1A2xB2yC20Rl2

1．（2025高三上·江苏宿迁·期末）已知直线l过直线x2y0与直线xy30的交点，且与直线

3xy10平行，则直线l的方程为（）

A．3xy70B．3xy70

C．3xy30D．3xy30

2．（25-26高三上·江苏苏州·期中）直线l与直线l1:x3y0及直线l2:xy40相交于同一点，且1,1为l

的一个方向向量，则l在y轴上的截距为（）

A．2B．1C．1D．2

3．（2026高三·全国·专题练习）若三条直线y2x,xy3,mx2y50相交于一点，则m的值为.

4．（2025高三·全国·专题练习）直线l过两直线3xy60和2xy30的交点，且与直线xy100平

行，则直线l的方程是．

k2k1

若直线yk1xb1与直线yk2xb2的夹角为，则tan.

1k1k2

1．（2025高三·上海·专题练习）直线3x5y10与2xy3的夹角为.

2．（25-26高三上·上海浦东新·月考）直线y1与直线3xy10的夹角大小为.

3．（2025高三上·上海）若直线l过点4,5且与直线3x4y70，12x5y60的夹角相等，则直线l的

方程是．

2

4．（25-26上海·月考）如果直线l1与l2的斜率分别是一元二次方程x4x10的两个根，那么两直线的夹角

为.

解含有参数的直线恒过定点问题的方法：

方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目

中含参数直线所过的定点，从而问题得解．

方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为，其中是参数，

A1xB1yC1A2xB2yC20

A1xB1yC10

这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组，解得．若整理成

A2xB2yC20

yy0kxx0的形式，则表示的所有直线必过定点x0,y0．

1．（2026高三·全国·专题练习）直线xm21ym20mR过定点，倾斜角的最小值是.

2．（25-26高三上·重庆·月考）若A1,2，B4,2，若直线l:m1xy10与线段AB有公共点，则实

参数m的取值范围为．

3．（2025秋•郯城县校级期中）已知直线l:(2m1)x(m1)ym0经过定点P，直线l经过点P，且l的

方向向量a(2,1)，则直线l的方程为（）

A．x2y30B．x2y30C．2xy30D．2xy30

4．（2025秋•天津校级期中）已知直线l的方程是(3a1)x(a2)y10，则对任意的实数a，直线l一定

经过（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

．（秋•河北区期中）已知直线，直线，则下列结论错误的是

52025l1:x(a1)y10l2:ax2y20

（）

．在轴上的截距为．过定点

Al1x1Bl2(0,1)

2

C．若l//l，则a1或a2D．若ll，则a

12123

6．（2025秋•罗平县校级月考）已知直线kxy2k10恒过定点A，点A也在直线mxny10上，其

12

中m，n均为正数，则的最小值为．

mn

考点04距离问题

（1）两点间的距离公式

①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．

22

②结论：|P1P2|＝x2－x1＋y2－y1.

③特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝x2＋y2.

（2）点到直线的距离

|Ax0＋By0＋C|

点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.

A2＋B2

（3）两条平行直线间的距离

|C1－C2|

两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝.

A2＋B2

22

设点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，所以|P1P2|＝x2－x1＋y2－y1.

1．（25-26高三上·江苏南通·期中）（多选）设aR，点A(1,0)，B(2,a)，若|AB|2，则直线AB的斜率可

能为（）

33

A．3B．C．D．3

33

2．（25-26北京延庆·期中）已知平行四边形ABCD的三个顶点A2,1，B2,2，C4,5，而且A，B，C，

D按逆时针方向排列，则线段AD的长度为，D点的坐标为．

3．（25-26高三上·江西抚州·期末）已知直线l1:xmy10与直线l2:xmym10（m0）交于点P，

点Q是圆C:x2y2y0上的动点，则PQ的最小值为（）

1111

A．B．C．2D．3

4222

4．（25-26高三上·广东佛山·月考）A1,2，B73,98及C145,2是直角坐标平面上的三点．设H及Q分别

是ABC的垂心及外心．求HQ的长度．（）

A．11B．21C．22D．33

AxByC

点到直线的距离00(其中点，直线方程为（22）).

dPx0,y0AxByC0AB0

A2B2

1．（2025秋•芜湖期中）（多选）对于直线l:(m1)xy2m30，下列选项正确的是()

A．直线l恒过点(2,1)

B．当m0时，直线l与y轴上的截距为3

3

C．若直线l不经过第二象限，则m(1,)

2

D．坐标原点到直线l的距离的最大值为5

2．（2026高三上·安徽合肥·专题练习）已知ABC的三个顶点分别为A5,0，B1,3，C2,1，则ABC

的面积为

3．（25-26高三上·天津·月考）求满足下列条件的直线的方程：

（1）经过两条直线2xy80和x2y10的交点，且平行于直线4x3y70；

（2）垂直于直线3x4y50，且到点P1,1的距离为1.

两平行线间的距离其中两平行线方程分别为，

CC(l:AxByC0l:AxByC0

d121122

A2B2

（A2B20）).

两条平行线间的距离公式要把两条直线方程中x，y的系数化为相等．

1．（2026·吉林白山·一模）直线l1:x3y20与直线l2:2x6y30之间的距离为（）

3101010310

A．B．C．D．

20201010

2（.25高三上·安徽·期末）若两平行直线xmy20与2x4yn0n0之间的距离是5，则mn（）

A．2B．12C．12D．14

3．（25-26高三上·河北·期中）已知a,bR，且a0,b0.若直线l1:ax4y20与直线l2:xayb0平

25

行，且两直线间的距离为，则ab的值为（）

5

A．3B．4C．5D．6

考点05对称性问题

（1）实质：该点是两对称点连线段的中点

（2）方法：利用中点坐标公式

平面内点Ax0,y0关于Pa,b对称点坐标为2ax0,2by0，

x1x2y1y2

平面内点Ax1,y1，Ax2,y2关于点P,对称

22

（1）实质：两直线平行

（2）①转化为“点关于点”的对称问题（在l上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），

求出各自关于A对称的点，然后求出直线方程）。

②利用平行性质解（求一个对称点，且斜率相等或设平行直线系，利用点到直线距离相等）。

（1）实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线

（2）①当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求

出对称点的坐标，一般地：设点x0,y0关于直线AxByC0的对称点x,y，则

yy0A

1

xxB

0

xxyy

A0B0c0

22

xx0yy0

(直线l是线段PP的垂直平分线，则kk1，PP的中点,在直线l上)

PP22

②当直线斜率不存在时：点x0,y0关于xm的对称点为2mx0,y0。

（1）当l1与l相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题；

求直线l1:axbyc0，关于直线l2:dxeyf0（两直线不平行）的对称直线l3

，，

第一步：联立l1l2算出交点P(x0y0)

，，

第二步：在l1上任找一点（非交点）Q(x1y1)，求出关于直线对称的点Q(x2y2)

第三步：利用两点式写出l3方程

（2）当l1与l平行时：对称直线与已知直线平行。

两条对称直线到已知直线的距离相等，利用平行线间距离公式建立方程即可解得。

对称问题的求解策略

(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．

(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题．

1．（2025高三·全国·专题练习）与直线3x4y50关于坐标原点对称的直线的方程为（）

A．4x3y50B．3x4y50C．4x3y50D．3x4y50

2．（2025高三·天津·专题练习）已知直线x2y30与直线ax4yb0关于点A(1,0)对称，则实数b的值

为.

3.（2025高三·全国·专题练习）已知直线l:2x3y10，点A1,2.求:

(1)点A关于直线l的对称点A的坐标;

(2)直线m:3x2y60关于直线l的对称直线m'的方程;

(3)直线l关于点A1,2对称的直线l'的方程.

求直线l关于直线l0对称的直线l'

若直线l//l0，则l//l'，且对称轴l0与直线l及l'之间的距离相等．

|CC||C'C|

此时l,l,l'分别为AxByC0,AxByC0,AxByC'0(A2B20)，由00，求得C'，

00A2B2A2B2

从而得l'．

若直线l与l0不平行，则ll0Q．在直线l上取异于Q的一点P(x1,y1)，然后求得P(x1,y1)关于直线l0对称

的点P'(x2,y2)，再由Q,P'两点确定直线l'（其中ll0l'Q）．

1．（2025高三·全国·专题练习）已知点Ma,b与N关于x轴对称，点P与点N关于y轴对称，点Q与点P关

于直线xy0对称，则点Q的坐标为（）

A．a,bB．b,aC．a,bD．b,a

2

2．（2025高三·全国·专题练习）已知:xy0.则x2y22x2y2x2y2的最小值为（）

A．5B．22C．10D．25

3．（25-26高三上·湖南长沙·月考）在平面直角坐标系xOy中，已知点

A(1,2),B(1,0)，P为直线xy10

上一动点，则|PA||PB|的最小值是（）

A．2B．22C．2D．4

4.（25-26高三上·河北石家庄·月考）已知直线l1：mxy20与直线l2：xmy20交于点M，点M关

b2

于直线xy0对称的点为N(a,b)，则的取值范围是.

a

5．（25-26高三上·云南怒江·期中）光线从点A2,1出发，经过直线l:x2y10反射，反射光线经过点

B6,5，则反射光线所在直线的方程是（）

A．4x3y390B．4x3y90

C．10x11y1150D．10x11y50

考点06圆的方程

定义平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆

圆心C(a，b)

标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)

半径为r

方程－D，－E

圆心C22

一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)

1

半径r＝D2＋E2－4F

2

222

平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)＋(y－b)＝r之间存在着下列关系：

222

(1)|MC|>r⇔M在圆外，即(x0－a)＋(y0－b)>r⇔M在圆外；

222

(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)＋(y0－b)＝r⇔M在圆上；

222

(3)|MC|<r⇔M在圆内，即(x0－a)＋(y0－b)<r⇔M在圆内．

常用结论

1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.

2．圆心在过切点且与切线垂直的直线上．

3．圆心在任一弦的垂直平分线上．

圆的标准方程：圆心为，半径长为的圆的标准方程为22。

Aa,brxaybr2

方程x2y2DxEyF0表示圆的充要条件是D2E24F0，故在解决圆的一般式方程的有关问

DE122

题时，必须注意这一隐含条件．在圆的一般方程中，圆心为,，半径rDE4F

222

1．（2025·江西景德镇·模拟预测）“关于x，y的方程x2y22mx2y50表示的曲线是圆”是“m2”的

（）条件

A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要

2．（2025·贵州黔南·三模）“关于x，y的方程：x2y2ax2y20表示圆”是“a2”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

3．（25-26高三上·上海·月考）若方程ax2by2bx3ya0表示一个圆，则b的取值范围为．

4．（25-26高三上·广东·期中）已知mR，方程3m1x2m21y28x4y5m0表示圆，则圆心坐

标是．

1.求圆的方程的常用方法

(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．

(2)待定系数法

①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；

②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．

1．（2026·四川遂宁·一模）求以抛物线x24y的焦点F为圆心，F到直线xy30的距离为半径的圆的

标准方程为（）

22

A．x2y12B．x1y22

22

C．x1y28D．x2y18

2．（2026·吉林长春·一模）过A0,0，B1,3，C4,0三点圆的方程为.

3．（25-26高三上·天津北辰·月考）已知圆C的圆心与抛物线x24y的焦点关于直线yx对称，直线

3x4y+2=0与C相交于A,B两点，且AB4，则圆C的标准方程为.

4.（25-26高三上·广东江门·月考）已知ABC的顶点分别为A(1,0)、B3,4、C4,3

(1)求BC边上的中线的方程；

(2)求ABC的外接圆的方程．

点与圆的位置关系判断

222

（1）点P(x0,y0)与圆(xa)(yb)r的位置关系：

①(xa)2(yb)2r2点P在圆外；

②(xa)2(yb)2r2点P在圆上；

③(xa)2(yb)2r2点P在圆内．

22

（2）点P(x0,y0)与圆xyDxEyF0的位置关系：

22

①x0y0Dx0Ey0F0点P在圆外；

22

②x0y0Dx0Ey0F0点P在圆上；

22

③x0y0Dx0Ey0F0点P在圆内．

1．（2026·山东·一模）点P1,1与圆x2y22x4y10的位置关系是（）

A．点P在圆上B．点P在圆外

C．点P在圆内且不是圆心D．点P在圆内且是圆心

2．（25-26高三上·重庆·期中）已知点A2,3在圆C:x2y22mx4y50外，则实数m的取值范围是（）

33

A．,1B．,1,

22

33

C．,D．,11,

22

3．（25-26高三上·安徽黄山·期末）已知m,n是方程x26x20的两个不等实数根，则点P(m,n)与圆

C:x2y28的位置关系是（）

A．点P在圆内B．点P在圆上

C．点P在圆外D．无法确定

4．（25-26高三上·湖南长沙·月考）已知圆O:x2y2r2(r0)，则“点A(1,0)在圆O外”是“点B(1,1)在圆O外”

的（

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

1.圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称

2.圆关于点对称：

①求已知圆关于某点对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程

②两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点

3.圆关于直线对称：

①求已知圆关于某条直线对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程

②两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线

．（高三上内蒙月考）若圆22和圆22关于直线对称，则直线

125-26··C1:xy4C2:xy4x4y40ll

的方程为（）

A．xy0B．xy2C．xy2D．yx2

22

2．（25-26高三上·重庆·期中）圆x1y12关于直线xy20对称的圆的方程为（）

2222

A．x1y32B．x1y32

2222

C．x1y32D．x1y32

22

3．（25-26高三上·全国·课后作业）圆x4y325关于原点0,0对称的圆的方程为（）

2222

A．x4y325B．x4y325

2222

C．x4y325D．x4y325

圆过定点问题，想办法求出含有参数b的圆的方程，然后按参数b