2026年高考数学复习讲练测专题2 圆锥曲线的标准方程与几何性质（复习讲义）（解析版）

专题02圆锥曲线的标准方程与几何性质

目录

01析·考情精解..............................................................................................................1

02构·知能框架..............................................................................................................1

03破·题型攻坚..............................................................................................................2

考点一圆锥曲线的基本量运算..................................................................................2

真题动向

知识1圆锥曲线的概念

必备知识

知识2圆锥曲线的标准方程及几何性质

题型1圆锥曲线的标准方程题型2椭圆、双曲线的离心率

命题预测

题型3双曲线的渐近线题型4圆锥曲线中的线段与三角形问题

考点二直线与圆锥曲线的位置关系.......................................................................25

真题动向

必备知识知识1直线与圆锥曲线的位置关系

题型1直线与圆锥曲线位置关系判断题型2弦长问题

命题预测

题型3切线问题题型4最值范围问题

命题从近五年北京卷高考试题来看，圆锥曲线的标准方程与几何性质这部分内容主要考基

础考点和基本方法，多以5分选择题或填空题形式呈现（解答题考查直线与圆锥曲线

轨迹的位置关系、圆锥曲线性质综合）。

透视

考点考点2025年2024年2023年

圆锥曲线的标准方北京T6选择题4分

北京T11填空题5分

频次程与几何性质北京T12填空题5分

直线与圆锥曲线的

总结北京T13填空题5分

位置关系

2026预计在2026年北京卷高考中，解析几何基础部分仍会考圆锥曲线的几何性质，大概

率以4分单选题形式出现，侧重标准方程、基本量的运算。难度中等。

命题

预测

考点一圆锥曲线的基本量运算

1．(2025年北京高考数学真题T11填空题5分)已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则

2

．�=2𝑝(�>0)

�【=答案】【难度】0.94

【知识点】6根据抛物线方程求焦点或准线

【分析】根据抛物线的几何性质可求的值.

【详解】因为抛物线的顶点到焦距的距�离为，故，故，

��

故答案为：.22=3�=6

2．(2024年6北京高考数学真题T11填空题5分)抛物线的焦点坐标为．

2

【答案】【难度】0.94�=16�

【知识点】4,根0据抛物线方程求焦点或准线

【分析】形如的抛物线的焦点坐标为，由此即可得解.

2�

【详解】由题意�抛=物2�线�,的�标≠准0方程为，所以其焦2,点0坐标为.

2

故答案为：.�=16�4,0

3.(2023年北京4,0高考数学真题T6选择题4分)已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线

2

的距离为5，则()�:�=8������=−3

A．7|��|=B．6C．5D．4

【答案】D【难度】0.85

【知识点】抛物线定义的理解

【分析】利用抛物线的定义求解即可.

【详解】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上，

2

�:�=8��2,0�=−2��

所以到准线的距离为，

又到�直线�=−的2距离为，�所�以，故.

故选�：D.�=−35��+1=5��=4

4.(2023年北京高考数学真题T12填空题5分)已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的

方程为．(−2,0)(2,0)2

【答案】【难度】

220.85

��

【知识点】2−根据2=离1心率求双曲线的标准方程

【分析】根据给定条件，求出双曲线的实半轴、虚半轴长，再写出的方程作答.

【详解】显然双曲线的中心为原点，�焦点在x轴上，其半焦距�，

由双曲线的离心率为�，得，解得，则�=2，

�22

所以双曲线�的方程为2�=2�=2�=�−�=2

22.

��

故答案为：�2−2=1

22

��

年北2京−高2考=数1学真题填空题分双曲线的渐近线方程为，则．

5.(2022T125)2

2�3

【答案】【难度】0.85�+�=1�=±3��=

【知识点】−3根据双曲线的渐近线求标准方程

【分析】先得，可得双曲线的标准方程，从而得到、，再跟渐近线方程得到方程，解得即可；

【详解】解：对�于<双0曲线，所以，即双曲�线�的标准方程为，

22

2�2�

则，，又双�曲+线�=1的�渐<近0线方程为，�−−�=1

2

2�3

所以�=1�，=即−�，解得�+�=；1�=±3�

�313

故答案�=为3：−�=3�=−3

年北−京3高考数学真题选择题分若双曲线离心率为，过点，则该双曲线

6.(2021T54)22

��

22

的方程为()�:�−�=122,3

．．．．

AB2CD22

222�22��

【答2案�】−B�【难=度1】0.85�−3=15�−3�=12−6=1

【知识点】根据离心率求双曲线的标准方程、根据双曲线过的点求标准方程

【分析】分析可得，再将点代入双曲线的方程，求出的值，即可得出双曲线的标准方程.

【详解】�=，则3�，2,3，则双曲线的方�程为，

22

���

2222

将点∵�=的�坐=标2代入双�=曲2线�的方�=程可�得−�=3�，解得，故�−3�=，1

231

222

因此，双2,曲3线的方程为�−3�=�=1�=1�=3

2.

2�

故选：B�−3=1

知识1圆锥曲线的概念

1.椭圆

(1)平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．

(2)椭圆表示为集合：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.

①当2a>|F1F2|时，M点的轨迹为椭圆；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹为线段F1F2；

③当2a<|F1F2|时，M点的轨迹不存在．

2.双曲线

(1)与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线。

这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．

(2)双曲线表示为集合：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.

①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线；②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线；

③当2a>|F1F2|时，M点不存在．

3.抛物线

满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：

(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；(3)定点不在定直线上．

知识2圆锥曲线的标准方程及几何性质

椭圆、双曲线、抛物线性质对比(以下是焦点在x轴的情况)

名称椭圆双曲线抛物线

定义|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)|PF|＝|PM|点F不在直线l上

标准方程y2＝2px(p>0)

2222

����

2+2=1(�>�>0)2−2=1(�>�>0)

图形����

范围|x|≤a，|y|≤b|x|≥ax≥0

顶点(±a,0)，(0，±b)(±a,0)(0,0)

几

通径2p

22

何2�2�

对称性�关于x轴，y轴和原点对称�关于x轴对称

性焦点(±c,0)

p

质轴长轴长，短轴长实轴长，虚轴长

2a2b2a2b(2,0)

离心率(0<e<1)(e>1)e＝1

22

cbcb

22

e=�=1−�e=�=1+�

p

准线x＝－

222

��

渐近线�:�=无±�:�=±无

��

�

�=±��

题型1圆锥曲线的标准方程

．高二上北京西城期末已知椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合，则

1(24-25··)22()

��2

等于()6+2=1�=2𝑝�>0�

A．B．C．D．

【答2案】C【难度】0.85346

【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、根据抛物线方程求焦点或准线

【分析】由得出抛物线的焦点在轴的正半轴，从得出抛物线与椭圆的右焦点重合，求出椭圆的右焦

2

点，即可得�出抛=物2�线�的焦点，从而得解.

【详解】因为抛物线的焦点，在轴的正半轴，

2�

所以抛物线焦点与椭圆�的=右2�焦�点�重>合0，20�

又椭圆方程为，所以，所以

22

��2222

所以椭圆的右焦6+点为2=1，所以�抛=物6线,�焦=点2也是这个�，=即�−�=6−2=2

�

故选：C2,02=2,�=4.

2．(24-25高二上·北京房山·期末)条件，，条件方程表示的曲线是椭圆，则

22

是()�:�>0  �>0�:𝑝+��=1�

A．�充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】B【难度】0.85

【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围、判断命题的必要不充分条件

【分析】根据椭圆的方程特征即可结合必要不充分条件的定义即可求解.

【详解】方程表示的曲线是椭圆,则需要满足，且，

22

因此，𝑝+��不能=推1出方程表示的�曲>线0是 椭 �圆>，0�≠�

22

当时�:方�程>0  �>0表示的�:曲线是𝑝椭圆+能��得=到1，，

22

故是�:必要�而�不+充�分�条=件1，�:�>0  �>0

故选�：�B

．高二上北京朝阳期末若方程表示椭圆，则实数的取值范围是

3(23-24··)22()

��

A．B．4−�−C�．=1D．�

【答案−∞】,A0【难度】0.940,44,+∞−∞,0∪0,4

【知识点】根据方程表示椭圆求参数的范围

【分析】利用标准的椭圆方程即可判断参数范围.

【详解】方程变形得：，

2222

����

4−�−�=14−�+−�=1

该方程要表示椭圆，则需要满足，解得：，

4−�>0

−�>0�<0

故选：

A.4−�≠−�

．高二上北京海淀期末已知为椭圆上的动点，，且，

4(23-24··)P22

��

2

则()�:4+�=1�(−1,0),�(1,0)|��|+|��|=4

2

A．�1=B．2C．3D．4

【答案】C【难度】0.94

【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、椭圆定义及辨析

【分析】根据椭圆的定义求解．

【详解】为椭圆上的动点，，且，

P22

��

2

P的轨迹是以�:4+�=1为焦点的椭圆�，(−且1,0),�(1，,0即)|�，�|+|��，|=4>��

所以�(−1,0，),�(1,0)2�=4�=2�=1

222

故选：�C=．�−�=3

．高二上北京期中与椭圆有相同焦点，且短轴长为的椭圆的方程是

5(24-25··)22()

��

．．9+4．=1．45

A22B22C22D22

��������

【答2案5+】2A0【=难1度】0.8520+25=120+15=115+20=1

【知识点】求椭圆的长轴、短轴、求椭圆的焦点、焦距、根据a、b、c求椭圆标准方程

【分析】根据给定条件，求出椭圆的焦点坐标，进而求出所求方程的椭圆长半轴长即可.

【详解】椭圆的焦点坐标为，

22

��

9+4=1(−5,0),(5,0)

所求方程的椭圆长半轴长，

22

所以所求方程为�=(25)+(5)=5

22.

��

故选：A25+20=1

6．(22-23高三下·北京·开学考试)已知圆锥曲线的一个顶点为，焦距为4，则的值

22

为()�:𝑝+��=1(0, 3)�

A．7或1B．或C．7或D．或1

11

【答案】B【难度】0.657−1−17

【知识点】根据双曲线过的点求标准方程、根据方程表示双曲线求参数的范围、根据椭圆过的点求标准方

程、根据方程表示椭圆求参数的范围

【分析】先代入点坐标待定，再分类讨论根据焦距求即可.

(0, 3)��

【详解】将代入曲线方程，解得；故曲线方程为

2.

2212�

由焦距为，(0得, 3)，由�题:�意�知+��，=且1�，=方3程可化为𝑝，+3=1

4.22

1��

21

�=2�=4�≠0�≠3�+3=1

当时，曲线为椭圆，；故椭圆焦点在轴上，故，

2212

则有�>0�，解得�；=4>3��=�,�=3

211

当�=时�，−曲3=线4为双曲�线=，7且焦点在轴上，双曲线的标准方程为，

22

��

1

�<0���3−−�=1

所以，则有，解得；

22121

综上所�述=，3,�=−或�.�=3+−�=4�=−1

1

故选：B.�=7−1

7．(20-21高三上·北京·强基计划)已知一圆锥曲面顶点S，其母线与轴所成的角为，在轴线上取一点C，

使得，过点C作一个与轴线夹角为的截面，则截得的曲线方程可表示为3(0°)

A．��=5B．45°C．D．

22222222

【答�案+】2D�【=难2度5】0.65�+3�=502�+5�=502�+6�=75

【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、圆锥曲线、圆锥中截面的有关计算

【分析】根据平面截圆锥所得曲线形状的判断法则可得截得的曲线为椭圆且离心率为，求出其长轴

cos45°

后可得曲线方程.�=cos30°

【详解】根据平面截圆锥所得曲线形状的判断法则，截得的曲线为椭圆，离心率，

cos45°6

且根据正弦定理，可得椭圆的长轴长，�=cos30°=3

11

因此椭圆的半焦距，进而所求曲2线�方=程��为⋅sin30°sin75°+sin15°=56．

22

��

752522

�=52+2=1⇒2�+6�=75

故选：D.

．北京海淀一模若双曲线上的一点到焦点的距离比到焦点

8(2024··)22

��

22

的距离大，则该双曲线的方程为(�−)�=1(�>0,�>0)(−5,0)(5,0)

．�．．．

A2B2C2D2

�2�22�2�

【答4案−】�D【=难1度】0.852−�=1�−2=1�−4=1

【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、双曲线定义的理解

【分析】根据题意及双曲线的定义可知，，再结合，求出，即可求出结果.

222

【详解】由题知，根据题意，由双2�曲=线�的定�=义知5，又�+�=�，�,�

222

所以，得�到=5，所以双曲线的方程为2�=��，+�=�

2

2222�

故选：5�D.=5�=1,�=4�−4=1

9．(23-24高三上·北京通州·期末)已知双曲线的左､右焦点分别为为双曲线上一点，且

�1−3,0,�23,0,�

，则双曲线的标准方程为()

�．�2−��1=2．．．

A2B2C2D2

2�2��2�2

【答�案−】A8【=难1度】0.85�−10=18−�=110−�=1

【知识点】双曲线定义的理解、根据a、b、c求双曲线的标准方程

【分析】由题意可设双曲线标准方程为，进而确定的值，求得，即得答案

22.

��

222

【详解】由题意可设双曲线标准方程为�−�=1,(�>0,�>0)，焦距为�，,��

222c

��

22

则由双曲线的左､右焦点分别为�−�=，1,(可�知>0,�>，0)

由，知�1−3,0，,�故23,0�=3，

222

故双�曲�2线−的标��准1方=程2为2�=2,，�=1�=�−�=8

2

2�

故选：A�−8=1

．北京东城一模已知曲线的方程为，则是曲线为焦点在轴上的椭圆的

10(2020··)C22“”“Cx”()

��

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条�件−�=C1．充分�必>要�条件D．既不充分也不必要条件

【答案】B【难度】0.85

【解析】根据椭圆方程的特点，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.

【详解】若，则对应的曲线为双曲线，不是椭圆，即充分性不成立，

若曲线C为�焦>点�在>x0轴上的椭圆，则满足，

即，，满足，即必要性成�立>，−�>0

即�“>0”是�<“曲0线C为�焦>点�在x轴上的椭圆”的必要不充分条件.

故选�：>B�.

．高三上北京顺义期中已知方程表示椭圆，则实数的取值范围

11(23-24··)22

��

【答案】【难度】0.85�+2+1−�=1�

11

【知识点】−根2,据−方2程∪表−示2椭,1圆求参数的范围

【分析】依题意可得，解得即可.

�+2>0

1−�>0

【详解】因为方程表示椭圆，

2�+2≠1−�

��

�+2+1−�=1

所以，解得或，

�+2>011

1−�>0−2<�<−2−2<�<1

即实数�+的2取≠值1范−围�为.

11

故答案为�：−2,−2∪−2,1

11

．高三−2上,−北2京∪顺−义2月,1考已知斜率为的直线经过双曲线的右焦点，并且与圆

12(24-25··)2

�222

相切，则圆的半径．1�2−�=1�+�=

2

��=

【答案】【难度】0.94

6

【知识点】2由直线与圆的位置关系求参数、求双曲线的焦点坐标

【分析】求得双曲线右焦点，进而求得直线，利用点到直线的距离公式可求得圆的半径.

【详解】由，可得，�所以，

2

�22222

所以2−�的右=焦1点坐标�为=2,�，=所1以直线�的=方�程为+�=3，即，

2

�2

又圆2−�=1的圆心为坐标原(点3,0)，半径为�，又直线�与−圆0=相(切�，−所3以)�−�−3=.0

222|0−0−3|6

1+12

故答案�为+：�=.��(0,0)���==

6

13．(2025·北2京海淀·三模)抛物线的准线与圆相切，则p的值为．

222

【答案】4或8【难度】0.85�=2𝑝�>0�+3+�=1

【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、根据抛物线方程求焦点或准线

【分析】求出抛物线的准线方程，根据圆心到切线的距离等于半径求解即可

【详解】抛物线的准线方程为，

2�

又�=的2圆𝑝心�>0，半径为1，�=−2

22

又准�线+3+�与圆=1−3,0相切，所以或，

�22�

故答案为�=：−42或8�+3+�=1−2+3=1⇒�=4�=8

14．(23-24高三上·北京西城·月考)已知点在抛物线上，以为圆心作圆与抛物

2

线的准线相切，且截得轴的弦长为4，�则�0,23.�:�=2𝑝(�>0)�

【答�案】2或6【难度】0�.85�=

【知识点】根据抛物线上的点求标准方程、根据抛物线方程求焦点或准线、已知圆的弦长求方程或参数

【分析】由题意可知：抛物线的准线为，根据抛物线方程结合弦长关系列式运算求解.

�

【详解】由题意可知：抛物线�的准线为�=−2，

�

��=−2

由题意可得：，

12=2𝑝0

2�2

23+4=�0+2

消去可得�0≥，0解得或.

2

故答案�0为：�2或−68.�+12=0�=2�=6

．北京朝阳二模已知双曲线（，）的右焦点为，是双曲线的半焦距，

1(2024··)22FcC

��

22

点A是圆上一点，线段F�A:�与−双�曲=线1C的�右>支0交�于>点0B.若，则双曲线C的

离心率为(�²+)�²=�²��=�,��=2��

A．B．C．D．

73337

2272

【答案】A【难度】0.65

【知识点】双曲线定义的理解、求双曲线的离心率或离心率的取值范围

【分析】先根据条件求得，然后解直角三角形即可得答案.

【详解】设双曲线左焦点为|��|,，|�如1�图|：，可得，

1

由双曲线的定义字�1�，�=�,��=2����=2�

15

在中，|�1�|=2�+2�=2�，

222252122

111

在△���中，|��|=|��|−|��|，=即4�−4�=6�，可得.

2222222�7

故选△：��A1.�|�1�|=|��1|+|��|4�=6�+�=7��=�=2

2．(24-25高二上·北京·期末)椭圆与双曲线有公共的焦点，，，抛物线的方程

为，P为，，的一�个1公共点，�若2�1，−则�,0，�2，�,0离心�>率0的乘积为(�)3

24

A．�1=4𝑝�1�B2．2�3C．ta3n∠��2�1=3�D1．4�2�3

【答案】D【难度】0.65

【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据抛物线方

程求焦点或准线

【分析】设椭圆方程为：，双曲线方程为：，过点分别向，及轴作垂线，垂

2222

����

2222

足分别为,结合勾股定理�确+定�=1的关系即可求解；�−�=1��=−��

【详解】画�,出�简图：设椭圆方程�为,�：,�，双曲线方程为：，

2222

����

2222

因为P为，，的一个公共点，�则+�=1�−�=1，

�1�2�3��1+��2=2�,��1−��2=2�

联立可得：，

又抛物线的��方1程=为�+�,��，2所=以�焦−点�坐标为：，准线方程为：，

2

过点分别�3向，�及=轴4�作�垂线，垂足分别为�2,则�,0�=−�，

又��=−，�结合��,�，��=��2=��1=�−�

422

tan∠��2�1=3cos∠��2�1+sin∠��2�1=1

易得，所以,

3443

结合勾co股s∠定��理2�：1=5,sin∠��2�1=5，及��=5�−�=��1可,�得2�：=5�−�

222

��1=��1+���1�2=�1�+��2

8，

2�=5�−�

21622

�−�+25�−�=�+�

联立方程可得：41+5，所以，

�=41−5���88

8�⋅�=41+5×41−5=4

由抛物线离心率为�1=，所41−以5�，，离心率的乘积为4，

故选：D�1�2�3

．高二上北京延庆期末已知椭圆的左右焦点为，，上下顶点为，，

3(24-25··)22

��

22

若为等腰直角三角形，则椭圆的�:离�心+率�为=(1�)>�>0�1�2�1�2

112

A．△���B．�C．D．

1233

【答2案】B【难度】0.94242

【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围

【分析】根据椭圆的几何性质即可求解.

【详解】根据为等腰直角三角形，故,

故△�；1�1�2，�1�1⊥�1�2,�1�1=�1�2

�2

故选�=：�B,�=2��=�=2

．高二上北京大兴期末已知椭圆的右焦点为，过原点的直线与交

4(24-25··)22FlC

��

22

于A，B两点，若，且�:�，+则�椭=圆1(C�的>离�>心0率)为()

A．B．��⊥C�．���=D3．��

105102

【答案5】C【难度8】0.6545

【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆定义及辨析

【分析】设椭圆的左焦点为，由椭圆的对称性以及题设条件可得四边形为矩形，结合题设和椭圆

定义推出�，1利用勾股定理可求出关系式，即可求得答��案�.�1

�3�

【详解】设|��椭1|圆=的2左,|�焦�|点=为2，由椭圆的对称性可得�,�，