北京市某重点校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页北京市某重点校2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。1.集合，则图中阴影部分所表示的集合为（

）

A. B. C. D.2.已知，，，则（

）A. B. C. D.3.已知，则“”是“”的（

）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.在中，、分别在边、上，且，，在边上（不包含端点）．若，则的最小值是（

）A.8 B.4 C.2 D.15.函数的图像大致为（

）A. B.

C. D.6.已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中错误的是（

）

A.

B.点是函数的图象的对称中心

C.函数在区间上是增函数

D.将函数的图象向右个单位后所得的函数为偶函数，则的最小值为7.已知非零向量，满足，，且对，恒成立，则（

）A.2 B. C.3 D.08.DeepSeek是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为20，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.3，则学习率衰减到0.4以下（不含0.4）所需的训练迭代轮数至少为（

）（参考数据：，）A.3 B.4 C.5 D.69.函数的部分图象如图所示，直线经过函数图象的最高点和最低点，则的值是（

）

A. B. C. D.10.已知点为三角形所在平面内一点，满足，（其中）以下说法错误的是（

）A.若直线过边的中点，则

B.当时，与的面积之比为

C.若，且，则

D.若，且，，则，满足二、填空题：本题共10小题，每小题5分，共50分。11.已知向量，，若，则的值为

；若，则的值为

．12.已知向量，，且与夹角为钝角，则的取值范围为

．13.已知α，β∈[0，2π]，且cosα=cosβ，sinα≠sinβ，写出满足条件的一组α，β的值α=

，β=

.14.窗花是中国传统民间工艺，承载着吉祥寓意与文化内涵.图1为一张手工制作的扇环形窗花，可视为图2扇形截去扇形所剩余部分.已知，，.则此扇环形窗花的面积为

.

15.已知函数，定义域为

，的单调增区间为

．16.已知正方形ABCD的边长为2，MN是它的内切圆的一条弦，点P为正方形四条边上的动点，当弦MN的长度最大时，的取值范围是

.17.设函数f（x）=sin（ωx+）在区间（0，π）恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是

．18.已知函数，过点，直线为其中一条对称轴，且在上单调，则ω的最大值为

.19.设，．若对任意，存在使得函数在区间上是单调函数，则实数a的取值范围是

．20.如图所示，某游乐场有一款游乐设施，该设施由转轮和转轮组成，的圆心固定在转轮上的点处，某个座椅固定在转轮上的点处．转轮的半径为10米，转轮的半径为5米，的圆心距离地面竖直高度为20米．游乐设施运行过程中，与分别绕各自的圆心逆时针方向匀速旋转，旋转一周用时分钟，旋转一周用时分钟．当在正下方且在正下方时，开始计时，设在第分钟时距离地面的竖直高度为米．给出下列四个结论：①；②的最大值是35；③在竖直方向上的速度低于40米/分；④存在，使得时，到的距离等于15米．其中所有正确结论的序号为

．

三、解答题：本题共6小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。21.(本小题8分)已知角的始边与轴的正半轴重合，终边过定点．(1)求(2)求的值．(3)若，求的值．22.(本小题8分)以下茎叶图记录了甲、乙两组同学中每位同学的植树棵数，其中乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中用a表示．(1)如果甲组同学植树棵数的平均数大于乙组同学植树棵数的平均数，求图中a的所有可能取值；(2)如果，现分别从甲、乙两组中各随机抽取一名同学，求这两名同学的植树总棵数不小于20的概率；(3)记上图中甲组同学的植树棵数的方差为．变化一：把图中甲组中每一个数据都变为原来的2倍，记得到的这组新的数据方差为，变化二：把图中甲组中每一个数据都增加2，记得到的这组新的数据方差为，试比较，，的大小．（结论不要求证明）（注：，）23.(本小题8分)已知函数是奇函数．(1)求实数的值；(2)设，判断函数在区间上的零点个数，并说明理由．24.(本小题8分)条件①对任意的，都满足；条件②最小正周期为；条件③在上为增函数，这三个条件中选择两个，补充在下面的题目中，并解答．已知（，），若________，则，唯一确定．(1)求的解析式；(2)设函数，，①求函数的值域；②若存在，关于的不等式成立，求实数的取值范围．25.(本小题9分)已知函数，定义域为．(1)已知方程在区间上有两个不同的实数解，求实数a的取值范围；(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．函数，，，若对任意的，总存在，使得成立，求实数m的取值范围．26.(本小题9分)记表示有穷集合的元素个数．已知是正整数，集合．若集合序列满足下列三个性质，则称是“平衡序列”：①，其中；②⫋，其中；③对于中的任意两个不同元素，都存在唯一的，使得．(1)设，判断下列两个集合序列是否是“平衡序列”？（结论不要求证明）(2)已知且集合序列是“平衡序列”，对于，定义：证明：（i）当时，；（ii）．

1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】B

4.【答案】C

5.【答案】A

6.【答案】C

7.【答案】C

8.【答案】D

9.【答案】D

10.【答案】B

11.【答案】1

；

12.【答案】

13.【答案】（答案不唯一）

14.【答案】

15.【答案】

；

；

；

；

；

；

16.【答案】[0，1]

17.【答案】（，]

18.【答案】5

19.【答案】

20.【答案】①③

21.【答案】解：（1）已知角的终边过定点，所以,.（2）角的始边与轴的正半轴重合，终边过定点，则，所以．所以（3）因为，所以所以．

22.【答案】解：（1）依题意有，解得，又，所以a的所有可能取值构成的集合为.（2）记甲组四名同学分别为，他们植树的棵数依次为，乙组五名同学分别为，他们植树的棵数依次为，分别从甲、乙两组中各随机抽取一名同学，所有可能的结果有20个，即，用事件C表示“选出的两名同学的植树总棵数不小于20”，则事件C中的结果有10个，它们是，故所求概率.（3）甲组同学的植树棵数的方差为，把甲组中每一个数据都变为原来的2倍，则这组新的数据方差，把甲组中每一个数据都增加2，这组新的数据方差，所以.

23.【答案】解：（1）因为，可得，即，解得；当时，，，故是奇函数，满足题意，故.（2）当，可得，则，因为在区间为单调递增函数，所以函数在区间为单调递增函数，，则在上恒成立，又因为函数和在上单调递增，所以函数在上单调递增，因为，，所以，根据零点的存在性定理，可得在区间上有一个零点，因为函数在上单调递增，所以函数在上有一个零点.

24.【答案】解：（1）（1）若选择①②：由条件②函数最小正周期为，得，所以.所以.由条件①对任意的，都在，得函数的图象关于对称.即，.由，所以或.即不能唯一确定，不合题意；若选①③：由条件①对任意的，都在，得函数的图象关于对称.由条件③在上为增函数，在处取得最大值，且，即.此时不能唯一确定，不合题意；若选②③，由条件②函数最小正周期为，得，所以.所以.由条件③在上为增函数，且，得函数在处取得最大值，且在处取得最小值，所以.由，得，唯一确定.此时，.（2）①由（1）得．由，得．令，则．因为在上单调递增，在上单调递减，且，所以，即，所以，即函数的值域为．②因为存在，所以由关于的不等式成立，得到．令，得，由解析式可知：在上是增函数，所以的最小值在处取得最小值，即最小值为，所以的取值范围是．

25.【答案】解：（1）由，由，即，则，令，，则，则，在上有两个不同的实数解，即与有两个不同的交点；如图由，解得，即实数a的取值范围；（2）将函数的图象向右平移个单位长度得函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变得当，则，可得，从而；当，则，可得，从而，当，，当，，由对任意的，总存在，使得成立，则或解得或，实数m的取值范围为．

26.【答案】（1）是平衡的，不是平衡的．理由：，，，满足，显然⫋，且对于中的任意两个不同元素，，都存在唯一的，使得．故是平衡的，，并不是的子集，故不是平衡的．（2）（i）当时，对于中的每个元