江西省G20联盟校联考2026届高三下学期5月模拟预测数学试卷（含解析）

江西新干中学等校2026届高三下学期5月G20联考数学试题一、单选题1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．记等差数列的前项和为，若，，则（

）A．23 B．25 C．35 D．453．已知向量，，若，则实数（

）A． B． C． D．4．若，且，则（

）A． B． C． D．5．已知点是函数图象的一个对称中心，则（

）A． B． C． D．6．已知是定义在上周期为4的奇函数，则（

）A． B．0 C．1 D．27．如图，为一个五面体，底面是矩形，//底面，侧面和侧面为全等的等腰三角形，侧面和侧面为全等的等腰梯形，其中，，，，设，，，则下列选项正确的是（

）A． B． C． D．8．设函数，则（

）A．的最小值为1 B．的最小值为C．有一个实根 D．有两个实根二、多选题9．已知某软件公司开发了一款新型智能解题软件，现将该软件上市后的月份以及当月获得的利润（单位：万元）统计如下表所示，并根据表中数据，得到经验回归方程，则（

）月份12345利润679A．B．可以估计每增加1个月份，月利润平均提高万元C．可以估计上市后的第7个月的利润为万元D．上市后的第4个月的利润的残差为万元10．设关于实数的方程为，则下列结论正确的是（

）A．若方程只有一个实数根，则B．若方程有两个实数根，则C．若方程有三个实数根，则D．若方程有三个实数根，则11．如图，在棱长为2的正方体中，是侧面上一点，则（

）

A．存在点，使B．若，则动点的轨迹长度为C．当点在线段上时，直线与平面平行D．当点在线段上时，直线与平面所成角的正弦值可以为三、填空题12．在的展开式中，其常数项为__________．13．设等比数列的前项和为，公比为．若，，则__________．14．设双曲线的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与的左、右两支分别交于，两点，为的中点且，则的离心率为__________．四、解答题15．记的内角，，的对边分别为，，．已知．(1)求A；(2)若，且的面积为，求的周长．16．如图，已知四棱锥的底面是矩形，侧棱底面，，，是的中点．(1)证明：平面；(2)求点到平面的距离；(3)求平面与平面夹角的正弦值．17．已知椭圆的离心率为，且过点．(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆的左顶点为，过点的直线与椭圆交于，两点，直线，的斜率分别为，．若，求直线的方程．18．已知函数，为的导函数．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)是否存在，使得为的极值点？若存在，求；若不存在，请说明理由；(3)若，为最小的零点，证明：当时，．19．某玩家进行一项挑战，每次挑战成功得2分，失败扣1分．该玩家第次挑战成功的概率为，且各次挑战成功与否相互独立．表示前次挑战后的总得分．(1)求的分布列及数学期望；(2)已知，在此情况下，求“至少有三个奇数局获胜”的概率；(3)某玩家共进行了局挑战，且，求“获胜的局数中，奇数局多于偶数局”的所有可能情况数．参考答案1．A【详解】，解得，集合，．2．C【详解】已知为等差数列，，，设公差为，则，解得：，所以.3．B【详解】已知向量，，则，，解得．4．A【详解】设（），则，，所以.所以，解得，代入中，解得，故.5．D【详解】依题意，则，即，由，可得.6．B【详解】因为周期为4，所以，令，得到又因为是定义在上的奇函数，所以，令，即，所以，即，即.7．C【详解】过作底面的垂线，垂足为，过作于点，连接、、，则五面体可分为四棱锥和三棱锥.由题意知，，在中，，在中，，即五面体的高为.如图取、三等分点、、、，连接、、、、、，则五面体可分为三棱柱、四棱锥和四棱锥，且.，，.，，.所以ABD选项错误，C选项正确.8．B【详解】因为，所以表示点两点间的距离，表示点到直线的距离，点在抛物线上，过点作，垂足为，则函数表示，点到直线的距离为，则当三点共线且在线段上时，有最小值，最小值为，故A错误，B正确；无解，故C错误；有一个实根，故D错误.

9．AC【详解】由统计表可知：，，则回归直线过样本中心点，代入回归方程得，，解得，故A正确；回归方程为，斜率为，则每增加1个月份，月利润平均提高万元，故B错误；时，万元，故C正确；由统计表知，第4个月，预测值，残差万元，故D错误．10．ABC【详解】令，则，若，则，则在上单调递增，因为时，时，则在上只有一个零点，此时满足；若，则当或时，单调递增，当时，单调递减，，，若方程只有一个实数根，则或，得或，满足，故A正确；若方程有两个实数根，则或，得或，满足，故B正确；若方程有三个实数根，则且，即且，因为，所以，则满足上述不等式，且；若，则成立，由得；若，则成立，由得，故C正确，D错误.11．ACD【详解】以为原点，、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，，.设（在侧面上，则坐标恒为2，，）.选项A：，.若，则，即，解得.取，则满足条件，故A正确；选项B：由得，，化简得.该方程表示在平面上，以点为圆心，半径为1的圆弧（，，实际是四分之一圆），所以轨迹长度为，故B错误；选项C：，.设平面的法向量为，则，即，令，则，，所以.因为在线段上，设（），则，所以，，所以，（）.因为，所以，又平面，所以直线与平面平行，故C正确；选项D：，.设平面的法向量为，则，即，令，则，又，所以.设直线与平面所成角为，由选项C知，（）.则，，所以，当时，取最大值，为，故D正确.12．15【详解】的展开式的通项公式为．令，解得．故的展开式中的常数项．故答案为：15．13．120【详解】方法一：等比数列中，仍成等比数列，公比为，，，则，所以，，所以,，所以.方法二：，代入，,.14．【详解】已知直线的斜率，，则直线的斜率为，设，则在直线上，即①，②，联立①②得：，即，设，代入双曲线方程并相减得：，整理得，即，化简得，，即，，解得，．15．(1)(2)【详解】（1）由已知得．由正弦定理，得，即．又，所以．因为，，所以．又，故．（2）由题意，的面积，可得，由余弦定理，得，且，所以，则，因为，所以，所以的周长为．16．(1)证明见解析(2)(3)【详解】（1）如图，连接，交于点，连接，由题意可知，分别为，的中点，故，又平面，平面，所以平面．（2）因为平面，平面，所以，．又，为的中点，所以，且．又，，，平面，所以平面．又平面，所以．又，且，平面，所以平面，所以点到平面的距离等于线段的长，即点到平面的距离为．（3）以为坐标原点，，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，，设是平面的一个法向量，则，．设是平面的一个法向量，则，．设平面与平面的夹角为，则，，所以平面与平面夹角的正弦值为．17．(1)(2)【详解】（1）因为椭圆过点，所以，又离心率，得．所以，所以椭圆的方程为．（2）由（1）知椭圆的方程为，左顶点为，点在椭圆内部，①当直线的斜率不存在时，其方程为，代入椭圆方程得，解得．不妨设，，则，，所以，不符合题意．②当直线的斜率存在时，设斜率为，则直线的方程为，设，，联立，消去，得，由韦达定理有，，又，，直线的斜率，直线的斜率，故，计算分子，，计算分母，，因此，又，得，解得，此时直线的方程为，即．18．(1)(2)不存在满足题意的；理由见解析(3)证明见解析【详解】（1）当时，，则，又，所以切点坐标为，又，所以所求的切线方程为，即．（2）不存在满足题意的．理由如下：依题意有，，若为极值点，则，即，但需判断是否为极值点，当时，，令，则，所以当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增，所以，即，且只有时，所以在上单调递增，故不是的极值点．综上，不存在使得为的极值点．（3）当，时，由为最小的零点，则，依题意有，令，则，所以在上单调递减，又，，由零点存在定理，则存在，使，即，当时，，即，当时，，即，所以在上单调递增，在上单调递减，故，又，当时，，且为最小的零点，所以．要证当时，，故需证．记，则只需证，由于，所以，而当时，，即在上单调递减，于是只需证．得证．19．(1)的分布列为：14数学期望为(2)(3)当时，满足条件的所有可能情况数为；当时，满足条件的所有可能情况数为．【详解】（1）由题设知，第次挑战成功的概率，故当是3的倍数时，；当不是3的倍数时，．对于前两局，，，且相互独立．记为第局挑战成功，的可能取值及概率如下，两局都成功，，概率为．一胜一负有两种情况（第1局胜第2局负或第1局负第2局胜），，概率为．两局都失败，，概率为．故的分布列为：14数学期望．（2）已知，设前6局中成功局，失败局，则，解得，，即成功5局，失败1局．由于第3局和第6局是3的倍数，挑战成功的概率为1，故这两局一定成功．因此，在剩下的第1，2，4，5局中，需成功3局，失败1局．奇数局为第1，3，5局，偶数局为第2，4，6局．事件“至少有三个奇数局获胜”即奇数局成功数．而奇数局共有3局，故需第1，3，5局全部成功．已知第3局成功，因此需第1局和第5局都成功．在剩下的4局（第1，2，4，5局）中，需恰好成功3局，且必须包含第1局和第5局，此时最后一个成功局只能是第2局或第4局，故满足条件的成功局集合有2种，或（注意，第3，6局已固定成功）．总序列数相当于从4局中选3局成功，共有种选择，故所求概率为．（3）①当（）时，共进行了局挑战，获得分．其中奇数必胜局为第3，9，⋯，局，共局；偶数必胜局为第6，12，⋯，局，共局．剩下的局中，奇数局有局，偶数局有局．设玩家胜利局，失败局，则，解得，．除去局奇数必胜局和局偶数必胜局，在剩下的局中需胜利局，要求“获胜的局数中，奇数局多于偶数局”，除去必胜局后，在剩下的局胜利中至少需局奇数局胜利．记满足条件的情况数为，则．令，则，考虑多项式，其项的系数为．另一方面，在的展开式中，项的系数也等于，故．②当时，共进行了局挑战，获得分．其中奇数必胜局为第3，9，⋯，局，共局；偶数必胜局为第6，12，