2026年山东济南市中区中考二模数学试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2026年九年级学业质量检测数学试题第I卷（选择题共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个选项符合题目要求．1．在，0，，1中，最小的数是（

）A． B．0 C． D．12．下列几何体中，左视图和俯视图相同的是（

）A． B．C． D．3．根据国家统计局的数据，2025年11月中国生产芯片约颗，彰显了中国芯片产业的强大实力．数据用科学记数法可以表示为（

）A． B． C． D．4．如图，，，，则的度数是（

）A． B． C． D．5．下列各式计算正确的是（

）．A． B． C． D．6．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（

）A． B． C． D．7．如图，在正五边形中，连接对角线，，则的度数是（

）A． B． C． D．8．不透明的盒子中有三张卡片，上面分别印有2026年米兰-科尔蒂纳冬奥会的金、银、铜奖牌图案，除图案外三张卡片无其他差别．从中随机摸出一张卡片，记录其图案，放回并摇匀，再从中随机摸出一张卡片，记录其图案，那么两次记录的图案是相同奖牌图案的概率是（

）A． B． C． D．9．如图，在中，，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线交于点，再以点为圆心，以的长为半径作弧交直线于点，连接交于点，连接．以下结论不一定正确的是（

）A． B．C． D．平分10．在平面直角坐标系中，已知二次函数，将其图象在直线左侧部分沿轴翻折，其余部分保持不变，组成图形，，是图形上两点，若对于，，都有，则的取值范围是（

）A．或 B．C． D．或第II卷（非选择题共110分）二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案．11．结论开放若二次根式在实数范围内有意义，请写出一个符合要求的x的值：_________．12．在不透明的盒子中装有一个黑球，两个白球，三个红球，四个绿球，这十个球除颜色外完全相同．那么从中随机摸出一个球是绿球的概率为________．13．将一把直尺和一个含角的直角三角板按如图方式放置．若，那么的度数是__________．14．共享电动车是一种新理念下的交通工具，现有，两种品牌的共享电动车，图象反映了收费（元）与骑行时间（分钟）的关系，其中品牌共享电动车的收费方式对应，品牌共享电动车的收费方式对应．当骑行时间为25分钟时，品牌共享电动车比品牌共享电动车收费少__________元．15．如图，在矩形纸片中，，是上一点，将纸片沿过点的直线翻折，使点落在点处，点恰好落在延长线上的点处，折痕交于点．若，，则__________．三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．计算：．17．解不等式组：，并写出所有正整数解．18．如图，在菱形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且CE＝CF，求证：∠BAE＝∠DAF．19．数学兴趣小组借助无人机开展实物测量的社会实践活动．如图所示，兴趣小组令一架无人机从河岸边的处，沿仰角方向飞行130米到达点处，然后无人机沿水平线方向继续飞行30米至处，测得此时河对岸处的俯角为．线段的长为无人机距地面的铅直高度，点，，在同一条直线上．(1)求无人机的飞行高度；(2)求的长．（结果精确到．参考数据：，，，，，）20．如图，是四边形的外接圆，点在上，过点作的切线交延长线于点，对角线，交于点，是的直径．(1)求证：(2)若，，求直径的长．21．某校举行校园体育文化节，体育社团为了解学生日常体育锻炼的情况开展了统计活动．【收集数据】体育社团设计了如下调查问卷，在全校随机抽取部分学生进行调查，收集得到“问题1”和“问题2”的数据．（被调查学生两个问题全部按要求作答并提交）调查问卷问题1：你日常体育锻炼的主要项目是（）．（单选）A．跑步类B．球类C．健身操类D．其他问题2：你每周体育锻炼的时间是_______分钟．【整理和表示数据】第一步：将“问题1”的数据进行整理后，绘制成如下的人数统计表和扇形统计图；第二步：将“问题2”中每周体育锻炼的时间（分钟）整理分成4组：①，②，③，④，并绘制成如下的频数分布直方图．学生体育锻炼项目的人数统计表和扇形统计图项目人数A30BmC15D3(1)求随机抽取的学生人数；(2)统计表中的________，扇形统计图中D项目所对应扇形的圆心角为_______度；(3)补全频数分布直方图；【分析数据，解答问题】(4)已知“”这组的数据是：60，61，63，63，64，65，65，65，70，70，75，75，75，75，75，80，80，80，80，85．被调查的全部学生每周体育锻炼时间的中位数为________分钟；(5)若该校共有4200名学生，请你估计该校全体学生中每周体育锻炼时间不少于60分钟的学生人数．22．为构建蓝色粮仓，某沿海新区启动“深蓝计划”，在远海部署两种新型智能养殖单元：A型深海网箱与B型水下机器人．已知用180万元购买A型网箱的数量与用300万元购买B型机器人的数量相等，且B型机器人的单价比A型网箱的单价多40万元．(1)求A型网箱和B型机器人的单价；(2)若该海域计划共采购A，B两种单元共20个（两种单元均需采购），且采购B型机器人的数量不少于A型网箱数量的，则采购A单元多少个时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？23．已知反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点，一次函数的图象经过点，交轴于点，交轴于点．为反比例函数图象上点右侧一动点，连接，将沿着的方向平移，的对应点为，的对应点为，连接．(1)求，的值；(2)如图1，若四边形的面积为6，求坐标；(3)如图2，连接，若，求的坐标．24．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点．直线经过点，与轴交于点．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，为直线与抛物线对称轴在第一象限的交点，连接，，，若是锐角三角形，求的取值范围；(3)如图2，若，点是抛物线第四象限图象上一点，连接并延长，交直线与点，连接，，求面积的最大值．25．在中，，，，在中，，且，连接，．【初步感知】(1)如图1，判断线段与的数量关系并给出证明；【深入探究】(2)如图2，点在在内部，若，，共线，且，求线段的长；(3)如图3，点在在内部，，过点作于点，点为线段上一点，且，连接，当的面积取最大值时，求的值．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．A【分析】利用有理数大小比较的基本规则：正数大于0，0大于负数，两个负数比较，绝对值大的数更小，即可求解．【详解】解：∵，，且，∴，∴，故最小的数是．2．B【分析】本题考查几何体的三视图，具体为左视图（从几何体左面看得到的视图）和俯视图（从几何体上面看得到的视图）的形状判断．解题关键在于准确把握从不同方向观察几何体时所呈现的形状，明确左视图和俯视图的观察角度及对应的图形特征．分别分析每个选项中几何体的左视图和俯视图的形状，然后对比它们是否相同，从而得出答案．【详解】选项A：圆柱的左视图是一个矩形．圆柱的俯视图是一个圆．左视图和俯视图形状不同，不符合题意．选项B：球无论从哪个方向看，得到的视图都是圆．所以球的左视图是圆，俯视图也是圆．左视图和俯视图形状相同，符合题意．选项C：三棱柱的左视图是一个矩形（中间有一条竖直的虚线，用于表示三棱柱内部的棱）．从三棱柱的左面看，看到的是三棱柱的一个侧面，其形状为矩形．俯视图为三角形，左视图和俯视图形状不同．不符合题意．选项D：四棱锥的左视图是一个三角形，四棱锥的俯视图是一个四边形（内部有顶点与各边中点相连的线段，用于表示四棱锥的顶点和底面的连接关系）．不符合题意．故选：B．3．C【详解】解：．4．C【详解】解：∵，，∴，∵，∴．5．D【详解】试题分析：根据幂的运算性质可知，A．不能合并，故错误；B．，故错误；C．，故错误；D．，故正确．故选D．考点：幂的运算性质．6．A【分析】先根据数轴确定a、b、c的大小，然后利用绝对值的性质和不等式的基本性质，对每个选项逐一验证．【详解】解：由数轴上可知：在和之间，即；在和之间，即；在和之间，即；A．∵，，∴，∴，故本选项正确，符合题意；B．不等式两边同时减去a，得到：，即．但从数轴上看，矛盾，故本选项错误，不符合题意；C．∵，不等式两边同时除以c，不等号方向不变，得到：．但从数轴上看，矛盾，故本选项错误，不符合题意；D．∵，不等式两边同时除以a，不等号方向改变，得到：．但从数轴上看，矛盾，故本选项错误，不符合题意；7．C【分析】根据题意得到，，根据三角形内角和定理得到，同理得到，计算即可得到答案．【详解】解：五边形是正五边形，，，，，同理得到，．8．B【分析】画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【详解】解：画树状图如下：由树状图知，共有9种等可能结果，其中两次记录的图案是相同奖牌图案的情况有3种，所以两次记录的图案是相同奖牌图案的概率是．9．B【分析】连接，可得是等边三角形，然后证明，再由四点共圆判断各选项即可．【详解】解：连接，由作图可得，垂直平分，∴∴是等边三角形，∴，故A正确；∵∴∴∴∴，故C正确；∵∴四点共圆，∴∴∴平分，故D正确，对于B，现有条件不足以证明，故B不一定成立．10．D【分析】先求出翻折后图形G的分段解析式，计算对应的，再根据所在区间的位置分情况讨论，求出区间内的最大值，当时，一定成立；当时，不一定成立；当时，可使一定成立；当时，一定成立；综合四种情况即可得出结果．【详解】解：∵二次函数，将其图象在直线左侧部分沿轴翻折，其余部分保持不变，组成图形，∴当时，图形的解析式为；当时，图形的解析式为，即图形的解析式为，其图像如图1所示：∵二次函数，∴二次函数关于直线对称，下面我们来结合图象对的范围进行分类讨论：∵，∴当，即时，此时，都在二次函数的图象上，如图1所示，∴将代入，得：，∵当时，；当时，；∴当时，，一定小于与中的较大值，∵当时，；，即当时，；，∴当时，，即符合题意；当，即时，此时，，点在二次函数的图象上，如图2所示，此时，当时，取最大值为，而当，，即此时对于，，不都有，∴不符合题意；当，即时，此时点在图象上，∵，∴点在二次函数的图象上，如图3所示，此时，，若对于，，都有，即，∴，解得：或（舍去），∵，∴符合题意；当，即时，此时点，都在图象上，如图4所示：此时在图象上随着的增大而增大，∵，∴，∴符合题意；综上：或．11．3（答案不唯一）【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件（被开方数为非负数），熟练掌握该条件并据此列不等式求解是解题的关键．要使二次根式在实数范围内有意义，被开方数需是非负数，据此列出不等式求解，再取一个满足条件的值即可．【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，则被开方数解不等式，得，那么取，满足故答案为：（答案不唯一）．12．【分析】根据简单事件的概率公式计算即可得．【详解】解：因为在不透明的盒子中，总共有10个球，其中有四个绿球，并且这十个球除颜色外，完全相同，所以从中随机摸出一个球是绿球的概率为，故答案为：．【点睛】本题考查了求概率，熟练掌握概率公式是解题关键．13．##度【分析】根据直角三角形两锐角互余的性质得出，根据平行线的性质结合对顶角相等得出，进而可得出答案．【详解】解：如图所示，∵将一把直尺和一个含角的直角三角板按如图方式放置，∴，，∴，∵，∴，∵，∴．14．1【分析】利用待定系数法，根据图象上的关键点坐标分别求解出和的函数表达式，需要注意的是是分段函数；求解出当骑行时间为25分钟时，对应的和，再求解价格差．【详解】解：是分段函数，由图可知，当时，，当时，设，将，代入中，可得，解得，当时，设，所以；是正比例函数图象，设，将代入中，可得，解得，所以的解析式为；当时，，，．15．【分析】过点F作于点G，连接，设，，由矩形的性质和折叠的性质可知，，，，，由勾股定理可得，，则有，，在中，由勾股定理可得，即，同理在中可得，即，则有，最后求解即可．【详解】如图，过点F作于点G，连接，在矩形纸片中，，，，设，，由折叠可知：，，在中，，在中，，有，即，，，，，在中，，即，，在中，，即，，，解得：，即．16．【分析】先运算算术平方根，零次幂，负整数指数幂，化简特殊角的三角函数值以及绝对值，再运算乘法，最后运算加减法，即可作答．【详解】解：原式．17．不等式组的解集为，正整数解为【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．先分别解两个不等式，再求不等式组的解集，最后找出正整数解.【详解】解：解①得：；解②得：∴不等式组的解集为∴所有正整数解为．18．见解析【分析】只需要证明△ABE≌△ADF，即可得到答案.【详解】证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠B＝∠D，∵CE＝CF，∴BC－CE＝CD－CF，∴BE＝DF，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴∠BAE＝∠DAF，【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.19．(1)无人机的飞行高度为(2)的长为【分析】（1）由题意可得，再代入数据计算即可；（2）过点作，垂足为，先求出，再在中，根据，求得的长，最后再求解即可．【详解】（1）解：，，在中，，，；答：无人机的飞行高度为；（2）解：过点作于点，，，，，，∴四边形为矩形，，，在中，，，∴MC=AC⋅cos在中，，，∴DN=BN∴CD=MD−MC=MN+DN−MC≈30+184.0−50.7=163.3(m答：的长为．20．(1)见解析(2)【分析】（1）连接，根据切线的性质得出，由题可知是的直径，得出，进而根据等角的余角相等以及同弧所对的圆周角相等，即可得证；（2）先证明得出∴∠AED=∠GCD，求得sin∠GCD=DGCG=135，设，【详解】（1）解：如图，连接，为的切线，，∴∠ADF+∠ADO=90由题可知是的直径，，，，，∴∠ACD=∠OBD，．（2）连接是的直径，∴∠CDG=∠ADB=90°，，∴∠DAE=∠DGC，∴△DAE∽△DGC，∴∠AED=∠GCD．在中，sin设，，即(13解得∴CG=5321．(1)60人(2)12，18(3)图见解析(4)62(5)估计该校全体学生中每周体育锻炼时间不少于60分钟的学生人数是2240人【分析】（1）由B项目对应人数除以占比即可解答；（2）由D项目人数除以总数求出占比，再乘以即可；（3）用总人数减去其余三组的人数求出在这一组的人数，即可补全频数分布直方图；（4）由中位数的定义求解；（5）用样本估计总体的方法解即可．【详解】（1）解：∵健身操类占比为，对应人数为15人．∴总人数人．（2）解：∵总人数为60，，，，∴∵D项目人数为3，占比为，∴图中D项目所对应扇形的圆心角为：；（3）解：∵总人数为60（人），∴每周体育锻炼的时间在这一组的人数为：，∴补全频数分布直方图为：（4）解：∵在和人数分别为12，16，而总人数为人，则中位数为第30、31个数据的平均数，第30、31个数据都落在这一组，该组数据按顺序排列为：60，61，63，63，64，65，65，65，70，70，75，75，75，75，75，80，80，80，80，85（共20个）∴第30个数据是这组中的第个，即61；第31个数据是这组中的第3个，即63；∴中位数，答：中位数为62分钟．（5）解：∵不少于60分钟的人数：人，占比为．∴（人）答：估计该校全体学生中每周体育锻炼时间不少于60分钟的学生人数是2240人．22．(1)A型网箱的单价是60万元，B型机器人的单价是100万元(2)采购A网箱15个投资总额最少，最少投资总额为1400万元【分析】（1）先设A型网箱单价，结合价格差表示出B型机器人单价，依据花费金额÷单价=数量，利用两种器材购买数量相等列出分式方程，解方程并检验，求出两种器材单价即可．（2）先设购进A型网箱数量，表示出B型数量，根据数量之间不等关系列出一元一次不等式，求出自变量取值范围；再根据总价公式列出总投资的一次函数关系式，利用一次函数增减性，确定自变量取值，求出最少投资金额．【详解】（1）解：设型网箱的单价是万元，则型机器人的单价是万元由题意得：180x解得：，经检验是原方程的根，且符合题意，，答：型网箱的单价是60万元，型机器人的单价是100万元．（2）设购买型网箱个，则购买型机器人个，∵两种单元均需采购，∴且，故m的取值范围为的整数，∵采购B型机器人的数量不少于A型网箱数量的，∴，解得：，综上m的取值范围为的整数，设投资总额为万元，由题意得：，，随的增大而减小，∵m为正整数，∴当，有最小值，此时w=−40×15+2000=1400（万元），答：采购网箱15个时总投资总额最少，最少投资总额为1400万元．23．(1)，(2)(3)【分析】（1）先将点A坐标代入正比例函数求出a，得到A点坐标；再将A点坐标分别代入反比例函数和一次函数，即可求解k和m的值；（2）由平移性质可知四边形是平行四边形，所以其面积等于以为底、对应高为参数的平行四边形面积，或者用坐标割补法表示面积；结合P在反比例函数上的坐标关系，联立方程求解P点坐标；（3）根据平移的坐标变换规律，用P点坐标表示出Q点坐标；先求出C点坐标，结合直线的斜率，构造所在的直角三角形，利用建立斜率关系或边长比例方程，联立Q点坐标满足的平移关系求解Q点坐标．【详解】（1）解：（1）∵正比例函数经过点，∴，∴点，∵反比例函数经过点，∴，∵一次函数经过点，∴，∴．（2）∵沿方向平移得到，∴且，∴四边形为平行四边形，连接，∵平行四边形为面积为6，∴的面积为3，∴，∵一次函数，∴，设，则，解得，∴．（3）过点作，交的延长线于点，过点作轴的平行线，过点和点，分别作，，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵一次函数，∴，∴，∴，∴，∴，又∵，∴解析式：，设，∵四边形为平行四边形，∴，∵在反比例函数上，∴，解得，（舍去）∴．【点睛】本题考查了函数图象上点的坐标特征、正比例函数、反比例函数、一次函数的性质与解析式求解、平移的性质、平行四边形的面积计算等知识点，本题掌握函数图像与性质是解题的关键．24．(1)(2)−3+(3)【分析】（1）利用待定系数法求解抛物线的表达式。将已知点和B的坐标代入抛物线方程中，得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可求得和的值，从而确定抛物线的解析式；（2）通过勾股定理的逆定理判定三角形形状。首先根据直线过点确定与的关系，结合抛物线对称轴方程求出交点的坐标；然后计算线段、、的平方值；最后利用“锐角三角形中任意两边的平方和大于第