全品高考备战2027年数学一轮学生用书02第61讲排列与组合【答案】听课手册

第61讲排列与组合●课前基础巩固【知识聚焦】1.一定的顺序2.不同排列n(n-1)(n-2)…(n-m+1)不同组合A【对点演练】1.4[解析]4名学生中,来自高一、高二年级的各2名,所以随机选2名学生,来自不同年级的选择方法有C212.36[解析]每条路线安排1名男教师和1名女教师,故不同的分配方案有A333.20[解析]A项工作安排3人有C53=10(种)安排方式,B,C两项工作均只安排1人,有A4.512096[解析]从5名学生中选出4名去参加学科竞赛,有C54=5(种)选法.若这4名学生分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛,则不同的参赛方案有A54=120(种).由于甲不参加生物竞赛,因此安排甲参加另外三门学科的竞赛或甲不参加任何竞赛.①当甲参加另外三门学科的竞赛时,有C31A45.720720[解析]要将这7人站成一排,且3个女生排在一起,可以分2个步骤:第1步,将3个女生全排列,有A33=6(种)方法;第2步,将3个女生“捆绑”看作1个整体与男生4人全排列,有A55=120(种)方法.根据分步乘法计数原理,3个女生排在一起共有6×120=720(种)排法.要将这7人站成一排,且甲、乙2人之间恰好有3个人,可以分3个步骤:第1步,甲、乙2人全排列,有A22=2(种)方法;第2步,从其余5个人中选出3个人,在甲、乙2人之间排列,有A6.150[解析]依题意分两类情况:第一类为(2,2,1),则有C52C32A●课堂考点探究例1[思路点拨](1)按照甲站在第二位和不站在第二位两种情况讨论,结合分类加法计数原理可得解.(2)思路一:根据题意,按甲同学的排名分两种情况讨论,求出每种情况下的可能排名数目,由分类加法计数原理计算可得答案;思路二:首先考虑没有任意限制条件的所有排名方法,然后减去不符合题意的情况,由此求得正确答案.(1)B(2)C[解析](1)当甲站在第二位时,其余三人可以全排列,则此时共有1×A33=6(种)排列顺序;当甲不站在第二位时,甲有2个位置可选,此时乙也有2个位置可选,其余两人可以全排列,则此时共有2×2×A22=8(种)排列顺序.(2)方法一(直接法):当甲的分数为最低时,其余4人的分数可任意排列,有A44种方法;当甲的分数不是最低时,首先考虑甲的分数排在中间三位,有C31种方法,乙的分数排在前4名中的余下的三个位次,有C31种方法,余下的3人的分数位置可任意排,有A33种方法,则共有C31方法二(间接法):首先考虑没有任意限制条件的所有排名方法有A55种,然后减去当甲是5人中分数最高的排名方法数,减去乙是5人中分数最低的排名方法数,注意到当甲是5人中分数最高的同时乙是5人中分数最低的排名方法数减了2次,必须加回一次,所以这5名同学的可能排名有A55-A44-A变式题(1)A(2)144[解析](1)分两步完成:第一步,排4张卡片的顺序,有A44种方法;第二步,排每一张卡片的正、反面,有2×2×2×2=16(种)方法.故可构成不同的四位数的个数为16A(2)因为上午要播出某电视剧和某专题报道,所以这2个节目有A32=3×2=6(种)排法,其他4个节目有A例2[思路点拨](1)思路一:直接法,即分1男2女,2男1女两种情况求解;思路二:间接法,即先求出无任何限制条件的选法,然后减去全是男生和全是女生的选法.(2)分三种情况,两人所选影片均不同,两人所选影片中,影片B相同,不是影片B相同,分别计算出相应的方案种数,相加即可.(1)C(2)D[解析](1)方法一(直接法):选取的员工中有1男2女,2男1女两类情况,所以不同的选法种数为C61×C42+C62方法二(间接法):从10人中任选3人的选法中减去全是男生和全是女生的选法,可得所求不同的选法种数为C103-C63-C(2)若两人所选影片均不同,则小明先从除影片B中选择一部,小华从剩余的3部中选择2部,此时共有C41C32=12(种)观影方案;若两人所选影片中,影片B相同,则两人从剩余4部中各选1部,有C41C31=12(种)观影方案;若两人所选影片中,不是影片B相同,而是相同的影片为4部中的1部,有C变式题(1)D(2)B[解析](1)根据题意,每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,可得1号盒子至少放1个,最多放3个小球,分情况讨论:①1号盒子中放1个球,其余4个放入2号盒子,有C51=5(种)放球方法;②1号盒子中放2个球,其余3个放入2号盒子,有C52=10(种)放球方法;③1号盒子中放3个球,其余2个放入2号盒子,有C53(2)对取出的书进行编号,记取出的第一本书为1,第二本书为2,依次类推,最后取出的书为9,则不同的取法对应这9个编号的书在书堆中的排列,因此不同的取法数目等于不同的排列数目,即将9本书分成三摞的摆放方法数.因为每次只能从其中一摞的最上面取1本,所以每摞书的编号从上往下依次增大,因此再摆放时每摞书的顺序唯一确定,从9本书中选3本放在第一摞,有C93种方法,再从剩下的6本书中选三本放在第二摞,有C63种方法,最后从剩下的3本书中选三本放在第三摞,有C33种方法.例3[思路点拨](1)将C,D“捆绑”,先排B同学,再将其余同学(CD看作一个整体)全排列.(2)分类讨论甲坐的位置,然后根据分类加法计数原理求解即可.(1)B(2)C[解析](1)根据题意,因为C,D两名同学相邻,所以有A22种排列方法.因为B同学不站在两端,所以有A21种排列方法,其余同学(CD看作一个整体)进行排列有A33(2)如图所示,甲坐位置①,乙有3种选择,其他人的不同坐法有A44种,共有3A44=72(种)不同坐法;甲坐位置②,乙有2种选择,其他人的不同坐法有A44种,共有2A44=48(种)不同坐法;甲坐位置③,乙有3种选择,其他人的不同坐法有A变式题(1)C(2)D[解析](1)马术比赛和跑步比赛不相邻的情况有A22A32=12(种),马术比赛和跑步比赛不相邻且游泳比赛在第一或最后一场的情况有2A22=4(种),故不同的比赛方式共有(2)当甲、乙两名同学为正前后相邻时,其中必有1人站在老师的左侧或右侧,另1人站在正后面,站法种数为2A22A33=24;当甲、乙两名同学为左右相邻时,两人必都站在后排,将甲、乙两名同学看成一个元素,从其余的3人中选2人站在老师的左右两侧,余下的1人与甲、乙两名同学看成的一个元素进行全排列,所以站法种数为A2例4[思路点拨]将A与B“捆绑”,然后要求C在D的左边,E在D的右边,结合倍缩法可得结果.C[解析]由题意可知,A与B相邻,则将A与B“捆绑”,然后要求C在D的左边,E在D的右边,由捆绑法和倍缩法可知,不同的站队方法种数为A22A66A变式题D[解析]方法一:依题意,7名棋手作全排列的排法有A77种,其中一班5名棋手的排法有A55方法二:由5名棋手位置固定,有6个空隙,先插入二班的第一名棋手有6种插法,此时有7个空隙,再插入二班的第二名棋手有7种插法,所以不同排法有7×6=42(种).例5[思路点拨]根据给定条件,选择一个分会场获取5个名额,再将余下的6个名额利用隔板法分到另外三个分会场即可.C[解析]依题意,选择一个分会场获取5个名额,有C41种方法,再将余下的6个名额分配到另外三个分会场,用隔板法有C52种方法,所以名额分配的不同种数为C变式题D[解析]本题可转化为将14个大小相同,质地均匀的小球分给甲、乙、丙、丁4个人,每人至少分到1个小球,利用隔板法在中间13个空隙(两端除外)当中插入3个隔板,可得分配的方案