全品高考备战2027年数学一轮学生用书02第61讲排列与组合【正文】听课手册

第61讲排列与组合【课标要求】通过实例,理解排列、组合的概念;能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.1.排列与组合的概念名称定义区别排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照排成一列

排列有序,组合无序组合作为一组2.排列数与组合数名称定义计算公式性质联系排列数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有的个数,叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号AnAnm==(n,m∈N*,且m≤n)(1)Ann=(2)0!=1(1)Cnm=(2)应用时一般是先选(元素)后排,先分组后分配组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有的个数,叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号CnCnm==n!m!(n-m)!(n,(1)Cnn=(2)Cnm=(3)Cnm+1+常用结论1.排列的常用方法:(1)相邻问题——捆绑法;(2)不相邻问题——插空法;(3)定序问题(或相同元素)——用除法处理;(4)分排问题——直排法.2.常见分组结论(1)四个不同的小球的分三组结论:只有按2,1,1分,其分法有C42C(2)五个不同的小球的分三组结论:类型分法两组各有两个一组一个C两组各有一个一组三个C51(3)六个不同的小球的分三组结论:类型分法每组两个C一组一个,一组二个,一组三个C一组四个,另外两组各一个C64题组一常识题1.[教材改编]某校文艺部有4名学生,其中高一、高二年级各2名,从这4名学生中随机选2名参加校文艺汇演,要求这2名学生来自不同年级,则不同的选择方法共有种.

2.[教材改编]某学校组织高二学生参加社会实践研学活动,研学路线有成都、南京、西安共3条.学校安排3名男教师和3名女教师一起负责研学活动,若每条路线安排男、女教师各1名,则不同的分配方案种数为.

3.[教材改编]安排5名志愿者完成A,B,C三项工作,其中A项工作需要3人,B,C两项工作都只需要1人,则不同的安排方式共有种.

题组二常错题◆索引:不能正确区分排列与组合;不能正确运用捆绑法致误;部分均匀分配问题不明白原理;分类标准不清致误.4.从5名学生中选出4名去参加学科竞赛,有种选法;若这4名学生分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛,则不同的参赛方案种数为;若甲不参加生物竞赛,则不同的参赛方案种数为.

5.已知4个男生,3个女生站成一排,若3个女生必须排在一起,则有种不同的排法;若甲、乙2人之间恰好有3个人,则有种不同的排法.(用数字作答)

6.有五位志愿者参加三项志愿活动,每人至少参加一项,每项活动至少一人参加,则不同的参加方式种数为.

排列问题例1(1)某班有甲、乙、丙、丁四名学生依次参加接力跑的4×100m接力比赛,已知甲不能站在第一位,乙不能站在第二位,则可能的排列顺序有 ()A.8种 B.14种C.18种 D.24种(2)有甲、乙等5名同学咨询数学史知识竞赛分数.教师说:甲不是5人中分数最高的,乙不是5人中分数最低的,而且5人的分数互不相同.则这5名同学的可能排名有 ()A.42种 B.72种C.78种 D.120种总结反思求排列问题的注意点(1)有些排列的问题,可以根据机会均等的关系或每个元素出现的机会所占整个问题的比例关系使问题得到解决.(2)间接法是解决排列问题的常用方法,即遇到直接进行解题步骤多,不易计算时,可以考虑先计算出总的情况数,然后计算出不满足要求的情况数,最后用总的情况数减去不满足的情况数即得最后答案.(3)求解排列问题往往有多个不同的思路,若选择方法得当,则求解过程简单,容易让人接受,否则复杂难解且易犯“重复”或“遗漏”等错误,因此,可借助分类讨论思想来求解.变式题(1)已知4张卡片的正、反两面分别写有数字1,2;3,4;5,6;7,8.将这4张卡片排成一排,则可构成不同的四位数的个数为 ()A.384 B.360C.120 D.368(2)电视台有6个不同的节目准备当天播出,每半天播出3个节目,其中某电视剧和某专题报道必须在上午播出,则不同播出方案的种数为(用数字作答).

组合问题例2(1)某公司的一个部门有6名男员工和4名女员工,从该部门选3人组成一个项目组,要求该项目组男、女员工都有,则不同的选法种数为 ()A.84 B.90C.96 D.100(2)小明和小华两位同学准备从A,B,C,D,E5部影片中各选2部观看.若两人所选的影片至多有一部相同,且小明一定选看影片B,则两位同学不同的观影方案种数为 ()A.12 B.24C.28 D.36总结反思解决组合问题的注意点(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中选取.(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型:用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,用间接法处理.(3)成双成对的元素一般是先取双再取单.变式题(1)[2025·天津十二区重点学校二联]将5个颜色互不相同的小球全部放入编号为1和2的两个盒子里,使得放入每个盒子里的小球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有 ()A.3种 B.4种C.10种 D.25种(2)[2025·辽宁辽南协作体三模]将9本不同的书平均分成三摞,如图所示,现将这9本书全部取走,且每次只能从其中一摞的上面取1本,则不同的取法有 ()A.A99种 B.C.A993!种 排列与组合的综合应用角度1相邻、相间及特殊元素(位置)问题例3(1)某班有A,B,C,D,E五名同学要排成一排进行拍照,其中B同学不站在两端,C,D两名同学相邻,则不同的排列方法有 ()A.12种 B.24种C.36种 D.48种(2)甲、乙等6人参加某次会议,会议安排其前后两排入座,每排3人(如图所示),其中甲坐后排,乙与甲前后、左右均不相邻,则不同的坐法共有 ()A.144种 B.168种C.192种 D.216种总结反思(1)对于有限制条件的排列组合问题,分析问题时有位置分析法、元素分析法.在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法.(2)有限制条件的排列问题的常用方法:相邻问题采用捆绑法,不相邻问题采用插空法.变式题(1)某多功能体育场馆决定承包举办马术、击剑、游泳、跑步四项比赛.应主办方要求,马术比赛和跑步比赛不相邻,游泳比赛不在第一场也不在最后一场,则不同的比赛方式共有 ()A.16种 B.12种C.8种 D.6种(2)毕业前夕,某高中高三(6)班科技创新兴趣小组的5名同学与1名辅导老师,共6人合影留念,站成前后相对应的两排,每排3人,老师站在前排中间,其中甲、乙两名同学相邻(仅包括正前后或左右),则不同的站法种数为 ()A.24 B.36C.42 D.48角度2定序问题例4某学习小组A,B,C,D,E,F,G七名同学站成一排照相,要求A与B相邻,并且C在D的左边,E在D的右边,则不同的站队方法种数为 ()A.120 B.160 C.240 D.360总结反思定序问题用除法:对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一同进行排列,然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数.变式题一班有5名棋手,出场次序已经排定,二班有2名棋手,现要排出这7人的出场顺序,如果不改变一班棋手出场次序,那么不同排法有 ()A.12种 B.20种C.30种 D.42种角度3相同元素分配问题例5[2025·江苏泰州姜堰区二调]2025年央视春晚的四个分会场分别为重庆、武汉、无锡和拉萨,现有11个志愿者名额分配给这四个分会场,其中一个分会场分5个名额,在余下的三个分会场中每个会场至少分一个名额,则名额分配的不同种数为 ()A.210 B.35C.40 D.120总结反思相同元素的分配问题用隔板法:将n个相同小球放入m(m≤n)个不同的盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法,等价于将n个相同小球串成一串,从间隙里选m-1个结点,剪截成m段,共有Cn-1m变式题《九章算术》是我国古代数学名著之一,其中记载了关于粟米分配的问题.现将14斗粟米分给4个人,每人分到的粟米斗数均为整数,每人至少分到1斗粟米,则不同的分配方法有 ()A.715种 B.572种C.312种 D.286种角度4分组分配问题例6[2025·安徽合肥A10联盟模拟]甲、乙、丙、丁、戊五位同学打算去蚌埠固镇、天津陈塘关、南阳西峡县三个哪吒故里旅游打卡,每位同学只去一个地方,每个地方至少去1人,则不同的安排方法有 ()A.120种 B.150种C.180种 D.300种总结反思分组分配问题分为三类:(1)平均分组时要除以组数的阶乘:2n个元素平均分2组的分法种数是C2nnCnn(2)对于部分均分问题,解题时要注意重复的次数是均匀分组的阶乘数,即若有m组元素个数相等,则分组时应除以m!.(3)对于不均匀分组问题,首先要对每组分配数量的可能情形进行一一列举,然后