全品高考备战2027年数学一轮备用题库07培优专训(四)数列中的交汇与创新问题【答案】作业手册

培优专训(四)数列中的交汇与创新问题1.B[解析]由一次函数y=f(x)的图象在坐标轴上的截距相等且不为零,可设x+y=a(a≠0),又f(x)的图象经过点P(1,-2),则1+(-2)=a,解得a=-1,所以x+y=-1,即f(x)=-x-1,可得an=f(n)f(n+1)=(n+1)(n+2),则1an=1(n+1)(n+2)=1n+1-1n+2,则Sn=12-13+13-14+…+1n+1-1n+2=2.B[解析]记第n行的第一个数为an,则a1=1,a2=3=2a1+1,a3=8=2a2+2,a4=20=2a3+4,…,an=2an-1+2n-2,∴an2n-2=an-12n-3+1,即an2n-2是以a12-1=2为首项,1为公差的等差数列,∴an2n-2=2+(n-1)×1=n+1,∴an=(n+1)3.BC[解析]对于A,由an=n2+n,得Δan=(n+1)2+(n+1)-(n2+n)=2n+2,显然Δan有最小值4,无最大值,因此不存在M>0,使得Δan<M恒成立,A错误;对于B,由选项A知,Δan=2n+2,则Δ2an=2(n+1)+2-(2n+2)=2,显然当M>2时,Δ2an<M恒成立,B正确;对于C,由Δbn=(n+2)·2n-1,得bn+1-bn=(n+2)·2n-1,当n≥2时,bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+(b4-b3)+…+(bn-bn-1),即bn=1+3×20+4×21+5×22+…+(n+1)×2n-2,于是2bn=2×20+3×21+4×22+…+n×2n-2+(n+1)×2n-1,两式相减得-bn=1+1+21+22+…+2n-2-(n+1)×2n-1=1+1-2n-11-2-(n+1)×2n-1=-n×2n-1,因此bn=n·2n-1,显然b1=1满足上式,则bn=n·2n-1,由bn+1-bn=(n+2)·2n-1>0,得数列{bn}是递增数列,bn有最小值1,无最大值,从而对任意M>0,总存在n∈N*,使得bn>M,C正确;对于D,Δ2bn=(n+3)·2n-(n+2)·2n-1=(n+4)·2n-1,由选项C得Δ2bnbn=1+4n,显然数列1+4n是递减数列,0<1+4n≤5,因此对任意M>4.解:(1)因为7=1+2+22,所以φ(7)=1+1+1=3.(2)证明:设2n+1=a0+a1·2+…+ak·2k,即φ(2n+1)=a0+a1+…+ak,则4n+3=2(2n+1)+1=1+a0·2+a1·22+…+ak·2k+1,所以φ(4n+3)=1+a0+a1+…+ak=φ(2n+1)+1.(3)因为3·2n-1=2n+1+2n-1=2n+1+1+2+22+…+2n-1,所以φ(3·2n-1)=n+1,因此数列{φ(3·2n-1)}的前n项和Sn=2+(n+15.解:(1)因为4∉A,4∉B,所以4∉A∪B,从而{an}与{bn}不是无穷互补数列.(2)因为a4=16,所以b16=16+4=20,所以数列{bn}的前16项和为(1+2+…+20)-(2+22+23+24)=1+202×20-(25-2)=180(3)设{an}的公差为d,d∈N*,则a16=a1+15d=36.由a1=36-15d≥1,得d=1或2.若d=1,则a1=21,an=n+20,与“{an}与{bn}是无穷互补数列”矛盾;若d=2,则a1=6,an=2n+4,bn=n综上,an=2n+4,bn=n6.解:(1)由“杨辉三角”的定义可知,a1=1,当n≥2时,an-an-1=n.因为an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1,所以an=n+(n-1)+…+2+1=n(上式对a1=1也成立,所以an=n(n+1)2,(2)证明:由题意可得bn=n(n+1)2(n设Tn=b1+b2+b3+…+bn,则Tn=1×12+2×122+…+n×12n①,所以12Tn=1×122+2由①-②可得12Tn=12+122+123+所以12Tn=121-12n1-12-n·12n+1,即即Tn=2-(n+2)12n,所以b1+b2+b3+…+bn=2-n+22n,又因为n+22n>0,所以b1+b2+b37.解:(1)将点An(an,an+1)的坐标代入抛物线方程y2=x+1中,得an+1=an+1,∴an+1-an=1(n≥1),∴数列{an}是等差数列,∴an=6+(n-1)×1,即an=n+5.∵m=(1,2)为直线l的方向向量,∴直线l的斜率k=2,∴直线l的方程为y=2x+1,∵点Bn(n,bn)在直线l上,∴bn=2n+(2)由(1)知f(n)=n①当k是偶数时,k+27是奇数,由f(k+27)=4f(k)得k+27+5=4(2k+1),即k=4;②当k是奇数时,k+27是偶数,由f(k+27)=4f(k)得2(k+27)+1=4(k+5),即k=352(舍去).