全品高考备战2027年数学一轮学生用书09第28讲余弦定理、正弦定理【答案】听课手册

第28讲余弦定理、正弦定理●课前基础巩固【对点演练】1.263[解析]由题意知B=180°-45°-75°=60°,由正弦定理得2sin60°=asin452.7[解析]由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=49,所以a=7.3.120°1534[解析]因为a=3,b=5,c=7,所以由余弦定理得cosC=a2+b2-c22ab=9+25-492×3×5=-12,又0°<C<180°,所以C=120°,故sin4.A=BA>B[解析]根据正弦定理知,在△ABC中,sinA=sinB⇔a=b⇔A=B,sinA>sinB⇔a>b⇔A>B.5.105°或15°[解析]由题意知B=30°,b=2,c=22,由bsinB=csinC,得sinC=csinBb=22×sin30°2=22,因为c6.321[解析]由题意知S△ABC=12acsinB=12×2×3×12=32.由余弦定理得b2=a2accosB=4+3-43cos30°=1,所以b=1.●课堂考点探究例1[思路点拨](1)首先利用正弦定理将角的正弦关系转化为边的关系,再通过余弦定理建立关于ca的等式,从而求解ca的值;(2)利用正弦定理得sinAsinC=13,再利用余弦定理得a2+c2=134ac,进而由正弦定理得到sin2A+sin(1)D(2)C[解析](1)因为9sin2B=4sin2A,所以sin2Asin2B=94.根据正弦定理可得a2b2=94,所以b=2a3.因为cosC=-14,所以根据余弦定理可得cosC=a2+b2-c22ab=a2+2a32(2)因为B=60°,b2=94ac,所以sinAsinC=49sin2B=13.由余弦定理可得b2=a2+c2-ac=94ac,即a2+c2=134ac,所以sin2A+sin2C=134sinAsinC=1312,所以(sinA+sinC)22sinAsinC=74,则sinA+sinC=72变式题1A[解析]由余弦定理得cosA=AC(1+3)2+(6)2-变式题2解:(1)由cosCc=cosA3b即3sinBcosC-sinAcosC=cosAsinC,所以3sinBcosC=sinAcosC+cosAsinC=sin(A+C).又sin(A+C)=sin(π-B)=sinB,且sinB≠0,所以cosC=13.又sinC>0,所以sinC=1-co(2)因为S=12absinC=52,所以ab=15.由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-10又c2=6(a-b)2=6(a2+b2)-180,所以a2+b2=34,c=26,所以a+b=a2+b2+2ab=8,故△ABC的周长为a+例2[思路点拨](1)根据给定条件,利用正弦定理边化角,利用同角三角函数的基本关系切化弦,再结合二倍角公式求解即可;(2)在△ABC中,a2+b2+c2=23absinC,由余弦定理得b2+a2-c2=2abcosC,两式相加,利用基本不等式及正弦函数的有界性即可判断出△ABC的形状.(1)C(2)D[解析](1)在△ABC中,由b2c2=tanBtanC及正弦定理得sin2Bsin2C=sinBcosBsinCcosC,又sinC>0,sinB>0,整理得sinBcosB=sinCcosC,故sin2B=sin2C,因为0<B<π,0<C<π,所以0<2B<2π,0<2C<2π,又B+C<π,所以2B=2C或2(2)在△ABC中,a2+b2+c2=23absinC,又由余弦定理得b2+a2-c2=2abcosC,∴两式相加得2(a2+b2)=2ab(3sinC+cosC)=4absinC+π6,∴sinC+π6=a2+b22ab≥2ab2ab=1(当且仅当a=b时取“=”),又sinC+π6≤1,∴sinC+π6=1.∵C为△ABC的内角,∴C变式题D[解析]方法一:由acosB+(2c-b)cosA=c及正弦定理,得sinAcosB+(2sinC-sinB)cosA=sinC,所以sinAcosB+2sinCcosA-sinBcosA=sin[π-(A+B)]=sin(A+B),所以sinAcosB+2sinCcosA-sinBcosA=sinAcosB+cosAsinB,即2sinCcosA-sinBcosA=cosAsinB,即(sinC-sinB)cosA=0,解得sinC=sinB或cosA=0.当sinC=sinB时,又0<B<π,0<C<π,C+B<π,所以C=B,所以△ABC为等腰三角形;当cosA=0时,又0<A<π,所以A=π2,所以△ABC为直角三角形.综上所述,△ABC为等腰三角形或直角三角形.故选D方法二:由acosB+(2c-b)cosA=c及余弦定理,得a×a2+c2-b22ac+(2c-b)×b2+c2-a22bc=c,整理得ba2-b3+b2c+c3-a2c=bc2,即(b-c)a2-(b-c)(b2+bc+c2)=bc(c-b),所以(b-c)(a2-b2-c2)=0,所以b例3解:(1)方法一(最优解:利用三角形内角和为π,结合正弦定理求角度):由三角形的内角和定理得A+C2=π2-B2,由asinA+C2=bsinA由诱导公式得sinπ2-B2=cosB2,所以acos在△ABC中,由正弦定理知a=2RsinA,b=2RsinB(R为△ABC外接圆的半径),所以sinAcosB2=sinAsinB,又sinA≠0,故cosB2=sin由二倍角的正弦公式得cosB2=sinB=2sinB2cos又0<B<π,所以cosB2≠0,所以sinB2=12,故B2=π6方法二(利用正弦定理解方程求得cosB的值,可得B的值):由题意及正弦定理得sinAsinA+C2=sinBsinA,又sinA≠0,故sinA+C2=sinB,两边平方得sin2A+C2=sin2B,即1-所以cos(A+C)=-cosB,所以1+cosB=2sin2B,可得2cos2B+cosB-1=0,解得cosB=12cosB=-1(舍去),又0<B<π,故B=π3方法三(利用正弦定理结合三角形内角和为π求得A,B,C的关系即可求B):由asinA+bsinA及正弦定理得sinAsinA+C2=sinB因为0<A<π,所以sinA>0,消去sinA得sinA+C因为0<B<π,0<A+C2<π2,所以A+C2又A+B+C=π,故A+C2+B=π不成立,所以A+C2=B,又因为A+B+C=π,所以3(2)方法一(最优解:利用△ABC为锐角三角形求得C的取值范围,然后由面积公式求面积的取值范围):因为△ABC是锐角三角形,B=π3,所以π6<A<π2,π6<C<π2.S△ABC=12acsinB=sinB=34·sinAsinC=34·sin2π3-CsinC=34·sin2π3cosC-cos2π3sinCsinC=38tanC+3方法二(利用△ABC为锐角三角形及余弦定理求得边a的取值范围,结合面积公式求面积的取值范围):由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC=34a.因为△ABC为锐角三角形,且c=1,B=π3,所以cosA=b2+1-a22b>0,cosC=b2+a2-12ab>0,即b变式题解:(1)方法一(直接法):由已知条件得sin2B+sinAsin2B=cosA+cosAcos2B,则sin2B=cosA+cosAcos2B-sinAsin2B=cosA+cos(A+2B)=cos[π-(B+C)]+cos[π-(B+C)+2B]=-cos(B+C)-cos(B-C)=-2cosBcosC,所以2sinBcosB=-2cosBcosC,所以(sinB+cosC)cosB=0.由题知1+cos2B≠0,所以B≠π2,所以cosB≠0,所以sinB=-cosC=12,又0<B<π3,所以B方法二(二倍角公式处理+直接法):因为cosA1+sinA2sinBcosB