全品高考备战2027年数学一轮学生用书09第28讲余弦定理、正弦定理【正文】听课手册

第28讲余弦定理、正弦定理【课标要求】1.掌握余弦定理、正弦定理.

2.能利用余弦定理、正弦定理解决一些简单的三角形度量问题.1.正、余弦定理在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆的半径,则正弦定理余弦定理公式asinA=bsinBa2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2accosB;c2=a2+b2-2abcosC常见变形(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC;(2)sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=(3)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC;(4)asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinAcosA=b2cosB=c2cosC=a2.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a=bsinAbsinA<a<ba≥ba>ba≤b解的个数一解两解一解一解无解3.面积公式S△ABC=12absinC=12bcsinA=12acS△ABC=abc4R=12(a+b+c)·r(r是△ABC的内切圆半径,R是△ABC的外接圆半径,并可由此计算RS△ABC=p(常用结论1.正弦定理的应用①边化角,角化边:a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC.②大边对大角,大角对大边:a>b⇔A>B⇔sinA>sinB.③合分比:a+b+csinA+sinB+sinC=a+bsinA+sinB=b+2.△ABC内角和定理:A+B+C=π.①sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB⇔c=acosB+bcosA.同理:a=bcosC+ccosB,b=ccosA+acosC.②sinA+B2=cosC2;cos③在△ABC中,内角A,B,C成等差数列⇔B=π3,A+C=2π题组一常识题1.[教材改编]在△ABC中,已知b=2,A=45°,C=75°,则a=.

2.[教材改编]在△ABC中,已知b=5,c=3,A=120°,则a=.

3.[教材改编]在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=3,b=5,c=7,则C=,△ABC的面积为.

题组二常错题◆索引:将三角形中角与角的正弦的关系弄错致误;利用正弦定理求角时将解的个数弄错致误;将余弦定理、面积公式中边与角的三角函数的对应关系弄错致误.4.在△ABC中,若sinA=sinB,则A,B的大小关系为;若sinA>sinB,则A,B的大小关系为.

5.在△ABC中,B=30°,b=2,c=22,则角A的大小为.

6.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2,c=3,B=30°,则S△ABC=,b=.

正余弦定理的直接应用例1(1)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若9sin2B=4sin2A,cosC=-14,则ca= (A.324 BC.233 D(2)[2024·全国甲卷]记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=60°,b2=94ac,则sinA+sinC= (A.32 B.2 C.72 D总结反思(1)在解三角形中,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,那么考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式,那么考虑用正弦定理.当以上特征都不明显时,要考虑两个定理都有可能用到.(2)三角形解的个数的判断:已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不确定性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.变式题1[2025·全国二卷]在△ABC中,BC=2,AC=1+3,AB=6,则A= ()A.45° B.60°C.120° D.135°变式题2已知△ABC三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且cosCc=(1)求sinC的值;(2)若△ABC的面积S=52,且c=6(a-b),求△ABC的周长.

利用余弦定理、正弦定理判定三角形的形状例2(1)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b2c2=tanBtanC,则△A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形(2)在△ABC中,a2+b2+c2=23absinC,则△ABC的形状是 ()A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等边三角形总结反思判断三角形形状的两种思路:(1)化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.(2)化角:通过三角恒等变换,得出内角的关系,从而判断三角形的形状,此时要注意应用A+B+C=π这个结论.变式题在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且acosB+(2c-b)cosA=c,则△ABC的形状为 ()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形解三角形求最值范围问题例3[2025·湖北黄石6月保温练]△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知asinA+C2=(1)求B;(2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围.

总结反思破解此类问题的关键:一是观察已知三角恒等式,判断是边往角化还是角往边化,从而利用正弦定理或余弦定理进行转化;二是把所求的取值范围或最值问题转