全品高考备战2027年数学一轮学生用书09第12讲对数与对数函数【正文】听课手册

第12讲对数与对数函数【课标要求】1.理解对数的概念和运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.

2.通过具体实例,了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点.

3.知道对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数(a>0,且a≠1).1.对数的概念(1)定义:一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫作以a为底N的,记作x=logaN,其中a叫作对数的底数,N叫作真数.

(2)常用对数与自然对数通常,我们将以为底的对数叫作常用对数,即log10N是常用对数,通常简写为.

以无理数e=2.71828…为底的对数称为,自然对数logeN通常简写为.

2.对数的性质(1)loga1=(a>0且a≠1);

(2)logaa=1(a>0且a≠1);(3)alogaN=(a>0且a3.对数的运算法则与换底公式(1)运算法则:如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么loga(MN)=;

logaMN=logaMn=(n∈R).

(2)换底公式与推论换底公式:logab=logcblogca(a>0,且a≠1;推论:logambn=(a>0,且a≠1;b>0,且b≠1;m≠0),logab=1logba(a>0,且a4.对数函数的概念、图象与性质概念函数y=logax(a>0,且a≠1)叫作函数

底数a>10<a<1图象定义域

值域

性质过定点,即当x=1时,y=0

在区间(0,+∞)上是函数

在区间(0,+∞)上是函数

5.反函数指数函数y=ax(a>0且a≠1)与对数函数互为反函数,它们的图象关于直线对称.

常用结论1.logab·logba=1,logambn=nmlogab(a>0且a≠1,b>0且b≠1,m≠0,n2.如图,给出4个对数函数的图象,则b>a>1>d>c>0.3.对数函数y=logax(a>0且a≠1)的图象过点(1,0),(a,1),1a题组一常识题1.[教材改编]化简logab·logbc·logca(a>0且a≠1,b>0且b≠1,c>0且c≠1)的结果是.

2.[教材改编]设a=log20.3,b=ln3,c=log32,则a,b,c的大小关系是.

3.[教材改编]函数f(x)=1+loga(2x-3)(a>0,a≠1)的图象恒过定点.

题组二常错题◆索引:忽略真数大于零致错;不能充分运用对数函数的性质致错;忽略对底数的讨论致错.4.已知lgx+lgy=2lg(x-2y),则xy=5.函数y=log12(x2-1)的单调递增区间是6.若函数y=logax(a>0且a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1,则a=.

对数式的化简与求值例1(1)(多选题)已知a=log26,3b=6,则 ()A.a<b B.1a+1C.(a-1)(b-1)=1 D.log186=b(2)计算:lg2×lg2500+8×(lg5)2+2log49+log29×log总结反思(1)利用幂的运算把底数或真数进行变形,化为分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后运用对数的运算性质化简合并;(2)对数运算法则是在化为同底的情况下进行的,因此经常会用到换底公式及其推论,利用对数运算法则,在真数的积、商、幂与对数的和、差、倍之间进行转化.变式题(1)[2024·北京卷]生物丰富度指数d=S-1lnN是河流水质的一个评价指标,其中S,N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大,水质越好.如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化,生物个体总数由N1变为N2,生物丰富度指数由2.1提高到3.15,则A.3N2=2N1 B.2N2=3N1 C.N22=N13 D(2)[2025·安徽皖南八校三联]已知a,b>0,log2a=1.7,log2b=-0.15,则ab=(3)[2024·全国甲卷]已知a>1且1log8a-1loga4对数函数的图象及应用例2(1)(多选题)已知a>0且a≠1,b>0且b≠1,若ax=b-x,则函数y=loga(-x)与y=bx在同一坐标系中的大致图象可能是 () A B C D(2)[2024·北京卷]已知(x1,y1),(x2,y2)是函数y=2x的图象上两个不同的点,则 ()A.log2y1+yB.log2y1+C.log2y1+y22<xD.log2y1+y22>总结反思(1)在研究对数函数的图象时一定要注意其定义域,善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)解题.(2)熟知对数函数图象的凹凸性有利于解题.变式题(1)已知函数f(x)=log2x-x+1,则不等式f(x)<0的解集是 ()A.(1,2) B.(-∞,1)∪(2,+∞)C.(0,2) D.(0,1)∪(2,+∞)(2)已知函数f(x)=log2(x+2),若a>b>c>0,则 ()A.f(a)aB.f(c)cC.f(c)cD.f(a)a解决对数函数性质有关的问题微点1比较大小例3(1)已知a=log32,b=log43,c=log0.20.3,则 ()A.a<c<b B.a<b<cC.c<a<b D.b<a<c(2)[2025·全国一卷]若实数x,y,z满足2+log2x=3+log3y=5+log5z,则x,y,z的大小关系不可能是 ()A.x>y>z B.x>z>yC.y>x>z D.y>z>x总结反思1.比较对数式的大小的常用方法:一是将对数式转化为同底数的形式,再根据对数函数的单调性进行比较;二是利用中间值0或1等进行比较;三是通过构造函数,利用所构造函数的单调性确定或估算范围,进而达到比较大小的目的.2.估值法要记住常用对数近似值,如:lg2≈0.3010,lg3≈0.4771,lg5≈0.6990,lg7≈0.8451,ln2≈0.6931,ln3≈1.0986,ln5≈1.6094.微点2解对数方程或不等式例4(1)若1+lgx-lgy=lgy2,则y3x=(2)[2025·福建宁德三模]设函数f(x)=|log2x|,则不等式f(x)<f(x-1)的解集是.

总结反思对于形如logaf(x)>b的不等式,一般转化为logaf(x)>logaab的形式,再根据底数的范围转化为f(x)>ab或0<f(x)<ab.而对于形如logaf(x)>logbg(x)的不等式,一般要转化为同底的不等式来解.微点3对数函数性质的综合问题例5[2025·南通模拟]已知函数f(x)=log21-(1)判断并证明f(x)的奇偶性;(2)若对任意x∈-13,13,t∈[-2,2],不等式f(x)≥t2+

总结反思利用对数函数的性质,解与对数函数有关的函数值域、最值和复合函数的单调性等问题,必须弄清三方面的问题:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外,解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用.1.[2024·天津卷]若a=4.2-0.3,b=4.20.3,c=log4.20.2,则a,b,c的大小关系为 ()A.a>b>c B.b>a>cC.c>a>b D.b>c>a2.[2025·浙江金华十校模拟]已知a=log32,b=log54,c=log98,则 ()A.c<b<a B.a<c<bC.b<a<c D.a<b<c3.已知函数f(x)=log12(3x2-ax+8)在[-1,+∞)上单调