全品高考备战2027年数学一轮学生用书02第42讲空间点、直线、平面之间的位置关系【正文】听课手册

第42讲空间点、直线、平面之间的位置关系【课标要求】1.借助长方体,在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上,抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.

2.了解4个基本事实和1个定理.1.基本事实基本事实1:过的三个点,有且只有一个平面.

基本事实2:如果一条直线上的在一个平面内,那么这条直线在这个平面内.

基本事实3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.基本事实4:平行于同一条直线的两条直线.

2.三个推论推论1:经过一条直线和一点,有且只有一个平面.

推论2:经过两条直线,有且只有一个平面.

推论3:经过两条直线,有且只有一个平面.

3.空间直线的位置关系(1)位置关系的分类共面直线(2)等角定理:如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角.

4.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系图形语言符号语言公共点直线与平面相交a∩α=A个

平行a∥α个

在平面内a⊂α个

平面与平面平行α∥β个

相交α∩β=l个

题组一常识题1.[教材改编]已知下列四个说法:①三点确定一个平面;②两个平面可以只有一个公共点;③三条平行直线一定共面;④三条直线两两相交,可以确定1个或3个平面.其中正确的说法的序号是.

2.[教材改编]如图所示,平面α∩平面β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,C∉l,则平面ABC与平面β的交线是.

3.[教材改编]已知角α的两边和角β的两边分别平行且α=60°,则β=.

题组二常错题◆索引:对异面直线的概念理解不清致误;等角定理理解不透致误;判断空间点、线、面位置关系时不全面或不清楚致误.4.已知α是一个平面,m,n是两条不同的直线,A是一个点,若m⊄α,n⊂α,且A∈m,A∈α,则m,n的位置关系不可能是.(填序号)

①垂直;②相交;③异面;④平行.5.如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面是梯形,AB∥CD,则所有与∠A1AB相等的角是.

6.如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则(1)当AC,BD满足条件时,四边形EFGH为菱形;

(2)当AC,BD满足条件时,四边形EFGH为正方形.

平面的基本事实与推论的应用例1如图,在多面体ABCDEFGH中,四边形ABCD和四边形EFGH均为正方形,四边形ABGF和四边形ADEF均为梯形,其中AB∥FG,AD∥EF,且AB=2FG.(1)证明:B,D,E,G四点共面.(2)证明:AF,BG,DE三条直线交于一点.

总结反思证明共面、共线、共点问题的一般方法:(1)证明共面的方法:①先确定一个平面,然后证明其余的线(或点)在这个平面内;②证明两平面重合.(2)证明共线的方法:①先由两点确定一条直线,再证明其他各点都在这条直线上;②直接证明这些点都在同一条特定直线上.(3)证明共点的方法:先证其中两条直线交于一点,再证其他直线经过该点.变式题在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:(1)D,B,F,E四点共面;(2)若A1C交平面DBFE于点R,则P,Q,R三点共线;(3)DE,BF,CC1三线交于一点.

异面直线的判定例2(1)[2025·山东济南三模]如图,下列正方体中,M,N,P,Q分别为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线MN和PQ为异面直线的是 () A B C D(2)若a和b是异面直线,b和c是异面直线,则a和c的位置关系是 ()A.异面或平行 B.异面或相交C.异面 D.相交、平行或异面总结反思异面直线的判定方法:①利用反证法,先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交,由假设出发,经过严格的推理,导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线是异面直线;②根据定理:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线来判断.变式题(1)已知直线a,m,n,l,且m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.若l满足l⊥m,l⊥n,则下列说法中正确的是 ()A.l∥αB.l⊥βC.若α∩β=a,则a∥lD.α⊥β(2)(多选题)[2025·福建宁德联考]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,则以下四个结论中,正确的有 ()A.直线AM与CC1是相交直线B.直线BN与MB1是异面直线C.AM与BN平行D.直线A1M与BN共面等角定理的应用例3如图所示,△ABC和△A'B'C'的对应顶点的连线AA',BB',CC'交于同一点O,且OAOA'=OBOB'=OCOC'=2总结反思利用等角定理解题的步骤:①找平行:即观察空间图形,判断两个角的两边是否分别对应平行;②用定理:利用等角定理,得两个角相等或互补,从而解决相关的问题;③下结论:若是证明角相等,需注意角两边的方向,即可得证;若是面积比,就利用任意三角形的面积公式,即可得结果.