全品高考备战2027年数学一轮备用题库06增分微练2抽象函数【答案】作业手册

增分微练2抽象函数1.A[解析]对于A,若f(x)=x12,则f(x1x2)=(x1x2)12,f(x1)f(x2)=x112x212=(x1x2)12,f(x1x2)=f(x1)f(x2),A正确;对于B,若f(x)=lnx,则f(x1x2)=ln(x1x2)=lnx1+lnx2=f(x1)+f(x2),B不正确;对于C,若f(x)=2x2,则f(x1x2)=2x12x22≠f(x1)f(x2)=4x12x22,C不正确;对于D,若f(x)=-x3,则f(x1x2.D[解析]因为f(x)+f11-x=1+x,所以令x=2,可得f(2)+f(-1)=3,令x=12,可得f12+f(2)=32,两式相加可得f(-1)+f12+2f(2)=92,令x=-1,可得f(-1)+f12=0,则2f(2)=923.C[解析]∵f(x+2)f(x)=1,∴f(x+2)=1f(x),∴f(x+4)=1f(x+2)=11f(x)=f(x),即f(x+4)=f(x),∴函数f(x)的周期是4.∵f(0)∈(1,2),∴f(2026)=f(5064.D[解析]∵对任意x1,x2∈R都有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+a,∴令x1=x2=0,得f(0)=f(0)+f(0)+a,∴f(0)=-a,令x1=x,x2=-x,得f(0)=f(x)+f(-x)+a,∴f(x)+a=-f(-x)-a=-[f(-x)+a],则y=f(x)+a为奇函数.故选D.5.AC[解析]令y=0,则f(0)f(x)=f(0)+|x|,令x=y=0,则[f(0)]2=f(0),解得f(0)=0或f(0)=1,若f(0)=0,则|x|=0,不恒成立,不合题意,故f(0)=1,A选项正确;f(0)=1,则f(x)=1+|x|,则f(1)=2,B选项错误;函数f(x)=1+|x|的定义域为R,f(-x)=1+|-x|=1+|x|=f(x),f(x)为偶函数,C选项正确,D选项错误.故选AC.6.ABD[解析]令x=0,y=12,则f12+f(0)f12=0,∵f12≠0,∴f(0)=-1.令x=-12,y=12,则f(0)+f-12f12=-1,∴f-12f12=0,∴f-12=0,A正确;令y=-12,则fx-12+f(x)f-12=4x×-12,即fx-12=-2x,∴fx+1-12=-2(x+1)=-2x-2,即7.2[解析]由f(x+1)=1+f(x)1-f(x),得f(x+2)=f[(x+1)+1]=1+1+f(x)1-f(x)1-1+f(x)1-f(x)=-1f(x),则f8.D[解析]因为f(xy)+fxy=2f(x),所以f(xy)-f(x)=f(x)-fxy,所以f(2k)-f(2k-1)=f(2k-1)-f(2k-2)=…=f(2)-f(1)=12-0=12,所以f(2k)=f(2k)-f(2k-1)+f(2k-1)-f(2k-2)+…+f(2)-f(1)+f(1)=k2,所以∑k=1nf(2k)=12+1+32+…+n2=129.ACD[解析]由题意得ex-f(x)-g(x)=-y+f(y)-2g(y)恒成立,所以存在常数a,使得ex-f(x)-g(x)=a且-y+f(y)-2g(y)=a.令y=x,得ex-f(x)-g(x)=a,-x+f(x)-2g(x)=a,解得f(x)=2ex+x-a3,g(x)=ex-x-2a3,经检验,符合题意.由f(x)=2ex+x-a3,易知f(x)是增函数,显然f(-x)≠-f(x),即f(x)不是奇函数,A正确,B错误.因为g'(x)=e10.BC[解析]令x=y=0,z=1,则f[f(0)]=f(0)f(1),令x=y=z=0,则f[f(0)]=f(0)f(0),∴f(0)f(0)=f(0)f(1),∴f(0)=0或f(1)=f(0).令x=1,y=z=0,则f[f(1)]=1+f(0)f(0),若f(1)=f(0),则f[f(0)]=1+f(0)f(0)≠f(0)f(0),矛盾,∴f(0)=0,则f(1)≠f(0)=0,A选项错误.令y=z=0,则f[f(x)]=x+f(0)f(0)=x,B选项正确.令x=0,则f[f(0)+yz]=0+f(y)f(z),即f(yz)=f(y)f(z),∴f(xy)=f(x)f(y),C选项正确.令x=y=1,则f(1)=f(1)f(1),得f(1)=1,令z=1,则f[f(x)+y]=x+f(y)f(1)=x+f(y)=f[f(x)]+f(y),即f(x+y)=f(x)+f(y),D选项错误.故选BC.11.1925[解析]因为f(x+y)=f(x)+f(y)+10xy,所以f(x+y)-5(x+y)2=f(x)-5x2+f(y)-5y2.设g(x)=f(x)-5x2,那么g(x+y)=g(x)+g(y),因此g(n)=g(n-1)+g(1)=g(n-2)+g(1)+g(1)=g(n-2)+2g(1)=…=g(1)+(n-1)g(1)=ng(1)=n[f(1)-5],因此f(n)=5n2+[f(1)-5]n≥5n,取n=1,得到f(1)≥5,所以∑i=110f(i)=5∑i=110i2+[f(1)-5]∑i=11012.解:(1)方法一:由题知f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),令x=1,y=0,可得2f(1)=f(1)f(0),因为f(1)=1,所以f(0)=2.由f(0)=2,得A=2.由f(1)=1,得2cosω=1,解得cosω=12,因为0<ω<π,所以ω=π3,所以f(x)=2cosπ3x,则f(x+y)+f(x-y)=2cosπ3x+π3y+2cosπ3x-π3所以f(x)=2cosπ3x即A=2,ω=π3方法二:因为f(x)=Acosωx(0<ω<π),所以f(x+y)+f(x-y)=Acosω(x+y)+Acosω(x-y)=A(cosωxcosωy-sinωxsinωy)+A(cosωxcosωy+sinωxsinωy)=2Acosωxcosωy,f(x)f(y)=A2cosωxcosωy,又f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),所以2A=A2,解得A=0或A=2.当A=0时,f(1)=0,与f(1)=1矛盾,不符合题意,所以A=2.由f(1)=2cosω=1,且0<ω<π,得ω=π3,所以f(x)=2cosπ3x,即A=2,ω=(2)证明:由(1)得f(0)=2,令x=0,可得f(y)+f(-y)=2f(y),即f(y)=f(-y),所以函数f(x)为偶函数.(